云南省昆明市官渡區(qū)官渡區(qū)云南師范大學(xué)附屬官渡學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

云南省昆明市官渡區(qū)云南師范大學(xué)附屬官渡學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1.下列防控疫情的圖標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，“一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形”，“如果一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形”，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A，即不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；B，即不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；C，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；D，即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；故選D．2.的直徑為，圓心到直線的距離為，下列位置關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓O的半徑和圓心O到直線l的距離的大小，相交：；相切：；相離：；即可選出答案.【詳解】解：⊙的直徑為，⊙的半徑為，圓心到直線的距離為，，即：，直線與⊙的位置關(guān)系是相交.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能熟練地運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行判斷.3.一天晚上，小偉幫助媽媽清洗兩個(gè)只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉只好把杯蓋和茶杯隨機(jī)搭配在一起，則顏色搭配正確的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查樹狀圖法求概率，用A和a分別表示第一個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯，列樹狀圖得出總結(jié)果數(shù)和顏色搭配正確的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可得答案．【詳解】解：用A和a分別表示第一個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知：總結(jié)果數(shù)有種，其中顏色搭配正確的有種，∴顏色搭配正確的概率是；故選：C．4.已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x一元二次方程x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因?yàn)?m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．綜合知，m的取值范圍是m≤2且m≠1，因此本題選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．5.下列說法中，正確的是（）A.弦是直徑 B.半圓是弧C.過圓心的線段是直徑 D.平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的基本概念，垂徑定理逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A.最長的弦是直徑，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.半圓是弧，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.過圓心且端點(diǎn)在圓上的線段是直徑，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念，垂徑定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6.如圖，內(nèi)接于，，，為的直徑，，那么的值為（）A.4 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】本題考查了等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出，由圓周角定理得出，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：，，∴，∵，，為直徑，，在中，，∴，故選：A．7.某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照斤問全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送2970張照片，如果設(shè)全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（）A.x（x+1）=2970 B.x（x-1）=2×2970C.x（x-1）=2970 D.2x（x+1）=2970【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得出每名同學(xué)需送出（x﹣1）張照片，利用全班共送出的照片數(shù)量＝全班人數(shù)×（全班人數(shù)﹣1），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，且全班有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)需送出（x﹣1）張照片．依題意得：x（x﹣1）＝2970．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，開口向上，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，開口向下，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小．據(jù)此求解即可．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為直線，與對稱軸距離越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，，，故選B．9.如果二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么一次函數(shù)的圖像經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限【答案】B【解析】【分析】由二次函數(shù)解析式表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到頂點(diǎn)在第四象限，求出m與n的正負(fù)，即可作出判斷．【詳解】根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），且在第四象限，

∴m＞0，n＜0，

則一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過第一、三、四象限．

故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，為的直徑，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形兩個(gè)銳角互余，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，為的直徑，，．故選：C．11.如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側(cè)面積為240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（）度．A.120° B.135° C.150° D.160°【答案】C【解析】【分析】先設(shè)圓錐的母線長為lcm,由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)扇形的面積公式得到×20π×l=240π，解得l=24，然后設(shè)這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是n°，利用弧長公式得到，最后解方程即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為lcm，則×20π×l＝240π，解得l＝24，設(shè)這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是n°，根據(jù)題意得，解得n＝150，即這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是150°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式．12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了等角對等邊、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，過點(diǎn)作軸于，由等角對等邊得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出，，求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，，，故選：A．13.如圖，在扇形中，已知，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OC，易證，進(jìn)一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長即可求得正方形的面積，根據(jù)扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積等于扇形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案．【詳解】連接OC點(diǎn)為中點(diǎn)在和中又四邊形CDOE為正方形由扇形面積公式得故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算、正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，若兩點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動過程中，的最大面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過，的面積為，則，，進(jìn)而得出的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，再結(jié)合的取值范圍即可得出答案，根據(jù)題意列出二次函數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過，的面積為，則，，則，，點(diǎn)的運(yùn)動速度為，點(diǎn)的運(yùn)動速度為，，，時(shí)，有最大值，即的最大面積為．故選：C．15.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．現(xiàn)有四個(gè)推斷：①拋物線開口向下；②當(dāng)時(shí)，y取最大值；③當(dāng)時(shí)．關(guān)于x的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線經(jīng)過點(diǎn)A，C，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；其中推斷正確的是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖象可知點(diǎn)，代入得到，，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴拋物線開口向下，故①正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，故②錯(cuò)誤；∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故③正確；∵直線經(jīng)過點(diǎn)A，C，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是,故④錯(cuò)誤，綜上可知，正確的是①③，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圖象法判斷方程的根和求不等式的解集等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）16.若點(diǎn)M（3，a﹣2），N（b，a）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a＋b＝_____．【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到a，b的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)M（3，a﹣2），N（b，a）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴b=-3，a-2=-a，∴a=1，∴a+b=-2．故答案是：-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫縱左邊分別互為相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．17.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)對稱軸和與x軸的一個(gè)交點(diǎn)確定另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)其圖象確定自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴時(shí)，x的取值范圍為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸求得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，難度不大．18.劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積．如圖，已知的半徑為2，則的內(nèi)接正六邊形的面積為________．【答案】6【解析】【分析】連接、，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用勾股定理即可求出長，進(jìn)而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，由題意可得：，，為等邊三角形，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，，，的面積約為．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為米，高度為米．則離地面米處的水平寬度（即的長）為

________．【答案】米##【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，數(shù)形結(jié)合．先建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可求出拋物線的解析式，最后將代入求出的值，即可得到的值．【詳解】解：以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，，設(shè)內(nèi)側(cè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，內(nèi)側(cè)拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，，，，故答案為：米．三、解答題（本大題共8小題，共58分）20.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法直接解一元二次方程；（2）先對等號右邊進(jìn)行因式分解，再移項(xiàng)，再進(jìn)行因式分解求解．小問1詳解】解：，【小問2詳解】解：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法和因式分解法是解答此題．21.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）請畫出關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的圖形，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請畫出繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圖形；（3）求在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）【答案】（1）畫圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的圖形，進(jìn)而可以寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圖形，進(jìn)而可以寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)弧長公式即可求出點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路徑長．【小問1詳解】解：如圖，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；【小問2詳解】如圖，即為所求，；【小問3詳解】解：根據(jù)題意可知：，，∴點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．22.2020年是特殊的一年，武漢新冠肺炎疫情給國人帶來傷痛的同時(shí)，也向世界展示了中國人民的團(tuán)結(jié)、制度的優(yōu)越、國家的強(qiáng)盛，突如其來的疫情使醫(yī)用口罩需求量巨大，我市某口罩廠2019年12月份生產(chǎn)了50萬個(gè)，為馳援武漢，該廠添制設(shè)備，2020年2月份生產(chǎn)口罩72萬個(gè)，該廠生產(chǎn)能力月增長率相同．（1）求該廠生產(chǎn)口罩的月增長率是多少？（2）如該廠生產(chǎn)口罩的月增長率保持不變，則2020年3月份生產(chǎn)的口罩個(gè)數(shù)為多少萬個(gè)？【答案】（1）該廠生產(chǎn)口罩的月增長率是20%．（2）2020年3月份生產(chǎn)的口罩個(gè)數(shù)為86.4萬個(gè)．【解析】【分析】（1）根據(jù)原產(chǎn)量×（1+增長率）=現(xiàn)產(chǎn)量，列出方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)（1）中求出的增長率，可計(jì)算出3月份的產(chǎn)量．【小問1詳解】解：設(shè)該廠生產(chǎn)口罩的月增長率是x，則由題意可得，，解得，所以該廠生產(chǎn)口罩的月增長率是20%．【小問2詳解】解：（萬個(gè)），如該廠生產(chǎn)口罩的月增長率保持不變，則2020年3月份生產(chǎn)的口罩個(gè)數(shù)為86.4萬個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程式解題的關(guān)鍵．23.甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中，分別裝有大小材質(zhì)完全相同的小球，其中甲口袋中小球編號分別是1，2，3，4，乙口袋中小球編號分別2，3，4，先從甲口袋中任意摸出一個(gè)小球，記下編號為m，再從乙袋中摸出一個(gè)小球，記下編號為n．（1）請用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能情況；（2）規(guī)定：若m，n都是方程的解時(shí)，小明獲勝；m，n都不是方程的解時(shí)，小剛獲勝，請說明此游戲規(guī)則是否公平？【答案】（1）見解析（2）不公平【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出畫樹狀圖即可；（2）先解一元二次方程，根據(jù)（1）結(jié)論即可求解．【小問1詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：由圖知共有12種等可能結(jié)果．【小問2詳解】解：解得：，．m，n都是方程的解時(shí)，共有4種情況，則小明獲勝的概率為，m，n都不是方程的解時(shí)，共有2種情況，則小剛獲勝的概率為，故游戲不公平．【點(diǎn)睛】本題考查了畫樹狀圖法求概率，解一元二次方程，掌握概率的求法是解題的關(guān)鍵．24.我市某化工材料經(jīng)銷商購進(jìn)一種化工材料若干千克，成本為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于成本價(jià)的2倍，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費(fèi)用450元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？【答案】（1）；（2）每千克60元，最大獲利為1950元【解析】【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖像中的兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）由獲利，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為由圖象可得，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，∴，解得∴與之間的關(guān)系式為．（2）設(shè)該公司日獲利為元，由題意得∵；∴拋物線開口向下；∵對稱軸；∴當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大；∵，∴時(shí)，有最大值；．即，銷售單價(jià)為每千克60元時(shí)，日獲利最大，最大獲利為1950元．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的性質(zhì).25.某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查圓錐側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求陰影面積是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，由底面圓直徑與母線長之比為，可得，根據(jù)圓的周長求弧長，利用弧長公式求解即可；（2）由，，可得為等腰直角三角形，由可求，利用即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)．由題意得：，，，；【小問2詳解】，，，，為等腰直角三角形，，，，．26.如圖，在菱形中，是的直徑，為菱形的一條對角線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）詳見解析（2）的半徑為【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．（1）連接，證明得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）連接，首先根據(jù)圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得，設(shè)的半徑為，則，則，再由勾股定理，列出方程，解方程即可得出答案．【小問1詳解