變化率與導(dǎo)數(shù)的概念

關(guān)于變化率與導(dǎo)數(shù)的概念(2)在經(jīng)營某商品中，甲用5年時(shí)間掙到10萬元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬元，如何比較和評價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營成果？(1)在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，如何比較和評價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營成果？想一想本題說明:△y與△t中僅比較一個(gè)量的變化是不行的.問題情境1第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

過山車是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂工具。那種風(fēng)馳電掣、有驚無險(xiǎn)的快感令不少人著迷。

問題情境3第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天oxy容易看出點(diǎn)B,C之間的曲線較點(diǎn)A,B之間的曲線更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？該比值近似量化B,C之間這一段曲線的陡峭程度.稱該比值為曲線在B,C之間這一段平均變化率.●B●A●C交流與討論第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天平均變化率的定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．建構(gòu)數(shù)學(xué)理論說明:(1)平均變化率的實(shí)質(zhì)就是:兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.（以直代曲思想）（數(shù)形結(jié)合思想）“數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”——華羅庚第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天平均變化率一般的，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。結(jié)論：第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1、已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均變化率.

數(shù)學(xué)應(yīng)用思考:一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2、已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

432.12.001（5）[0.9，1]；（6）[0.99，1]；（7）[0.999，1].變題:1.991.91.999課后思考:為什么趨近于2呢？2的幾何意義是什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用xyp13第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念高二數(shù)學(xué)選修1-1

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2時(shí)的瞬時(shí)速度？2△ｔ＜0時(shí)2＋△ｔ△ｔ＞0時(shí)2＋△ｔ二.新授課學(xué)習(xí)第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天△t<0時(shí),在[2+△t,2]這段時(shí)間內(nèi)△t>0時(shí),在[2,2+△t]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時(shí),當(dāng)△t=

0.01時(shí),當(dāng)△t=–0.001時(shí),當(dāng)△t=0.001時(shí),當(dāng)△t=–0.0001時(shí),當(dāng)△t=0.0001時(shí),△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢?第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天瞬時(shí)速度第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天１、函數(shù)的平均變化率怎么表示？思考：第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天導(dǎo)數(shù)的作用：導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù).

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.一差、二比、三極限第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.三．典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).三．典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1.(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．三．典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1.(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.三．典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù).第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共29頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算第3（h）和第5