《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)》（附答案）第19講 重疊問題

《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)專題》第19講重疊問題

一、知識(shí)要點(diǎn)

三(1)班準(zhǔn)備給參加班級(jí)繪畫比賽的16位同學(xué)和參加朗讀比賽的12位同

學(xué)每人發(fā)一份紀(jì)念品，當(dāng)中隊(duì)長(zhǎng)玲玲將28份紀(jì)念品發(fā)下去時(shí)，卻多出5份，這

是怎么回事？對(duì)了，因?yàn)橛?位同學(xué)既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，

所以獎(jiǎng)品就多出了5份。數(shù)學(xué)中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理一一包含與排除原理，即當(dāng)兩

個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。

解答重疊問題的應(yīng)用題，必須從條件入手進(jìn)行認(rèn)真的分析，有時(shí)還要畫出

圖示，借助圖形進(jìn)行思考，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？明確求的是哪一

部分，從而找出解答方法。

二、精講精練

【例題1】六一兒童節(jié)，學(xué)校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面;

從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？

練習(xí)1：

1、小朋友排隊(duì)做操，小明從前數(shù)起排在第4個(gè)，從后數(shù)起排在第7個(gè)。這隊(duì)小

朋友共有多少人？

2、學(xué)校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個(gè)，從右數(shù)起是第21個(gè)。

這一行座位有多少個(gè)？

【例題2】同學(xué)們排隊(duì)做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個(gè),

從右數(shù)起是第3個(gè)，從前數(shù)起是第5個(gè)，從后數(shù)起是第6個(gè)。做操的同學(xué)共有

多少個(gè)？

練習(xí)2：

1、同學(xué)們排隊(duì)跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù),

從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個(gè)。跳舞的共有多少人？

2、為慶?！傲弧保瑢W(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊(duì)，小華的位置從左數(shù)第

2個(gè)，從右數(shù)第4個(gè)；從前數(shù)第3個(gè)，從后數(shù)第5個(gè)。鮮花隊(duì)共多少人？

【例題3］把兩塊一樣長(zhǎng)的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘

在一起的木板長(zhǎng)120厘米，中間重疊部分是16厘米,這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？

練習(xí)3：

1、把兩段一樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，形成一段更長(zhǎng)的紙條。這段更長(zhǎng)的紙條長(zhǎng)

30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長(zhǎng)多少厘米？

2、把兩塊一樣長(zhǎng)的木板釘在一起，釘成一塊長(zhǎng)35厘米的木板。中間重合部分

長(zhǎng)11厘米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？

【例題4】一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班36人中，做對(duì)第一道聰明題的有21人，做對(duì)第

二道聰明題的有18人，每人至少做對(duì)一道。問兩道聰明題都做對(duì)的有幾人？

練習(xí)4：

1、三(1)班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加

賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項(xiàng)比賽都參加的有幾人？

2、兩塊木板各長(zhǎng)75厘米，像下圖這樣釘成一塊長(zhǎng)130厘米的木板，中間重合

部分是多少厘米？

130cm

75cm75cm

【例題5】三(1)班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂《閱讀報(bào)》的有30人，兩份

報(bào)紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報(bào)紙。三(1)班有學(xué)生多少人？

訂兩份報(bào)紙的人數(shù)

練習(xí)5：

1、三(4)班做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都

完成的有31人，每人至少完成一種作業(yè)。三(4)班共有學(xué)生多少人？

2、兩塊木板各長(zhǎng)90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米,

這塊釘在一起的木板總長(zhǎng)多少厘米？

三、課后作業(yè)

1、同學(xué)們排隊(duì)去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個(gè)。這

一排共有多少個(gè)同學(xué)？

2、三(5)班有42名同學(xué)，會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下圍棋的有17名，兩

種棋都不會(huì)的有10名。兩種棋都會(huì)下的有多少名？

3、三年級(jí)有107個(gè)小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每

人至少帶一種。三年級(jí)既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？

4、三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊(duì)伍入場(chǎng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，梅梅的位置從前數(shù)

是第6個(gè)，從后數(shù)是第5個(gè)；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個(gè)。三（4）班共有學(xué)生

多少人？

5、兩根木棍放在一起，從頭到尾共長(zhǎng)66厘米，其中一根木棍長(zhǎng)48厘米，中間

重疊部分長(zhǎng)12厘米。另一根木棍長(zhǎng)多少厘米？

66cm

48cm

12cm

?cm

答案第19講重疊問題

一、知識(shí)要點(diǎn)

三（1）班準(zhǔn)備給參加班級(jí)繪畫比賽的16位同學(xué)和參加朗讀比賽的12位同學(xué)每人發(fā)一份

紀(jì)念品，當(dāng)中隊(duì)長(zhǎng)玲玲將28份紀(jì)念品發(fā)下去時(shí)，卻多出5份，這是怎么回事？對(duì)了，因?yàn)橛?/p>

5位同學(xué)既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎(jiǎng)品就多出了5份。數(shù)學(xué)中，我們將

這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理一一包含與排除原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有

重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。

解答重疊問題的應(yīng)用題，必須從條件入手進(jìn)行認(rèn)真的分析，有時(shí)還要畫出圖示，借助圖

形進(jìn)行思考，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。

二、精講精練

【例題1】六一兒童節(jié)，學(xué)校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后

數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，畫出下圖：

從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第8面，從后數(shù)起........門城

是第10面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復(fù)了一次，所以這行、---------v一咽一

?面

彩旗共有8+10—1=17面。

練習(xí)1：

1.小朋友排隊(duì)做操，小明從前數(shù)起排在第4個(gè)，從后數(shù)起排在第7個(gè)。這隊(duì)小朋友共有

多少人？答案

解:（4-1）+（7-1）+1

=3+6+1

=10（人）

答：這隊(duì)小朋友共有10人.

故答案為：

10人

解析

根據(jù)題干知道，小明從前數(shù)起排在第四，那么它的前面有4—1=3（人），從后數(shù)起在第七個(gè)，他的后面

有7—1=6（人），再加上小明本人，據(jù)此解答.

本題考查的是1?10各數(shù)的排列順序，掌握1?10各數(shù)的排列順序，能用、前面、后面和第幾個(gè)等表

示數(shù)與數(shù)之間的順序和位置是解題的關(guān)鍵.

2.學(xué)校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個(gè)，從右數(shù)起是第21個(gè)。這一行

座位有多少個(gè)？

答案

解：12+21—1=32（個(gè)）故答案為：32個(gè)

解析

把左邊的12個(gè)座位加右邊的21個(gè)座位，再減去1,就是這一行座位的總個(gè)數(shù)，因?yàn)閺淖髷?shù)起的第12

個(gè)與從右數(shù)起的第21個(gè)是同一個(gè).

解答此題時(shí)記得把和減去1,因?yàn)橛幸粋€(gè)座位重復(fù)了.

3.同學(xué)們排隊(duì)去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個(gè)。這一排共有

多少個(gè)同學(xué)？

答案

解：

把前后兩次數(shù)起的數(shù)值相加，則李華被加了兩次，所以所得之和需再減掉一次李華的位置，8+8-1

=15

故答案為：b

解析

根據(jù)李華的位置，利用容斥原理推算這一排的同學(xué)人數(shù).

【例題2】同學(xué)們排隊(duì)做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個(gè)，從右數(shù)

起是第3個(gè)，從前數(shù)起是第5個(gè)，從后數(shù)起是第6個(gè)。做操的同學(xué)共有多少個(gè)？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，畫出下圖：

前

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

左

OOOeOO右

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

由圖可看出：小明的位置從左數(shù)第4個(gè)，右數(shù)第3個(gè)，說明橫行有4+3—1=6個(gè)人；從

前數(shù)第5個(gè)，從后數(shù)第6個(gè)，說明豎行有5+6—1=10人，所以做操的同學(xué)共有：6X10=60

人。

練習(xí)2：

1.同學(xué)們排隊(duì)跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還

是從右數(shù)起都是第4個(gè)。跳舞的共有多少人？

答案

解：4+4-1=7（A）7x7=49（人）

答：跳舞的同學(xué)共有49人.

故答案為：

49人.

噴

小紅的位置無論從前數(shù)、后數(shù)、左數(shù)、右數(shù)，都是第4個(gè)，說明小紅在的這一行有7個(gè)人，同理，這個(gè)隊(duì)伍也有7行，因此7x7=49（人），就是總?cè)藬?shù).

小紅的位置無論從前數(shù)、后數(shù)、左數(shù)、右數(shù)，都是第4個(gè)，求出小紅在的這一行的人數(shù)，同理，得知這個(gè)隊(duì)伍的行數(shù)和一行的人數(shù)一樣，根據(jù)一行的人數(shù)x行數(shù)=總?cè)藬?shù),

得出結(jié)果即可.

2.為慶?！傲弧保瑢W(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊(duì)，小華的位置從左數(shù)第2個(gè)，從

右數(shù)第4個(gè)；從前數(shù)第3個(gè)，從后數(shù)第5個(gè)。鮮花隊(duì)共多少人？

答案

解：2+4-1=5

3+5-1=7

5x7=35（人）

答：鮮花降35人。

解析

1、仔細(xì)分析題意，可在草稿紙上試著畫出〃嘩的位置；

2、由〃曄的位置從左數(shù)第2個(gè)，從右數(shù)第4個(gè)，可知鮮花隊(duì)的列數(shù)；

3、再由從前數(shù)第3個(gè)，從后數(shù)第5個(gè)，可知鮮花隊(duì)的行數(shù)，至此，相信你不難解答此題了。

3.三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊(duì)伍入場(chǎng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，梅梅的位置從前數(shù)是第6個(gè),

從后數(shù)是第5個(gè)；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個(gè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？

答案

解：

5+&1=10人，3+34=5排；10x5=50人.

故答案為：

50人.

解決此類題目需把整個(gè)隊(duì)伍看作一個(gè)方陣，首先求出方陣的長(zhǎng)，再求出方陣的寬，在本題中也就是求出每持有幾人，共兒排，既而求出總?cè)藬?shù).

而

把整個(gè)隊(duì)伍看作一個(gè)方陣，梅梅的位置從前數(shù)是第6個(gè)，從后數(shù)是第5個(gè)，可求出每排有10人；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個(gè)可知該方陣共5排，每排10人乘以5排共50人.

的小伙僅1ZU國不，十問里簟郁刀、犯10年不，4M狀小伙食長(zhǎng)天少年不I

【思路導(dǎo)航】把等長(zhǎng)的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長(zhǎng)度就是重疊部分，重疊的

部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長(zhǎng)度是120+16=136厘/------71

米，每塊木板的長(zhǎng)度是136+2=68厘米。//，/

練習(xí)3：

1.把兩段一樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，形成一段更長(zhǎng)的紙條。這段更長(zhǎng)的紙條長(zhǎng)30厘米,

中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長(zhǎng)多少厘米？

答案

解；（30+6）4-2

=36+2

=18（厘米）?

答；原來兩段紙條各長(zhǎng)18厘米.故答案為：18瓶米.

本題實(shí)際是和差問題的滅活應(yīng)用，關(guān)鍵是理解羽及部分的長(zhǎng)度就是現(xiàn)在的總長(zhǎng)度比原來的總長(zhǎng)度減少J'的長(zhǎng)度.

麗

把兩段?樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，總長(zhǎng)度比原來減少了重疊部分的長(zhǎng)度即6厘米，所以原來兩條的總長(zhǎng)度是：30+6=36厘米，那么原來兩段紙條各長(zhǎng)：36+2=18厘米；據(jù)

此解答.

2.把兩塊一樣長(zhǎng)的木板釘在一起，釘成一塊長(zhǎng)35厘米的木板。中間重合部分長(zhǎng)n厘

米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米?

66cm

48cm

答案

解：（35+11）4-2

=46+2

=23（厘米）；

答：這兩塊木板各長(zhǎng)23厘米.

故答案為：23厘米.

解答此類問題，應(yīng)注意：如果求重疊的兩塊木板各自的長(zhǎng)度，就要用“（釘在一起的木板長(zhǎng)+重疊部分）+2”計(jì)算.

解析

3.兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長(zhǎng)66厘米，其中一根木棍長(zhǎng)48厘米，中間

重疊部分長(zhǎng)12厘米。另一根木棍長(zhǎng)多少厘米？

解，

12+66-48

=78-48

=30（即米）；

答?另?根木棍長(zhǎng)30厘米.

故答案為：30厘米.

明題

一現(xiàn)?的總!減少「

把兩根木棍鈴放在起，總長(zhǎng)度比原來此少/乖離部分的長(zhǎng)度即12帆米，所以原來兩條的總長(zhǎng)度是：12+66=78機(jī)米，那么處一根木棍長(zhǎng)：78*48=30（厘米）：據(jù)此解

道題空

36=3人,這多出的3人既在做對(duì)第一題的人數(shù)中算過，也在做對(duì)第二道2S?is/題

的人數(shù)中算過，即表示兩道題都做對(duì)的人數(shù)。

練習(xí)4：

1.三（1）班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有

36人，參加跳繩的有38人。兩項(xiàng)比賽都參加的有幾人？

130cm

75cm75cm

答案

解：36+38-55

=74-55

-19（A）

答:兩項(xiàng)比賽都參力口的有19A.

先計(jì)算出參加兩項(xiàng)比賽的總?cè)擞P因?yàn)槊咳酥辽賲⒓右豁?xiàng)，有部分同學(xué)兩項(xiàng)都參加了，重復(fù)數(shù)了，所以總?cè)藬?shù)比實(shí)際全班人數(shù)多，比全班實(shí)際人數(shù)多出的人數(shù)就是兩項(xiàng)都參力勵(lì)

2.兩塊木板各長(zhǎng)75厘米，像下圖這樣釘成一塊長(zhǎng)130厘米的木板，中間重合部分是多少

厘米？

兩塊木板各長(zhǎng)75厘米像如圖這樣釘成一塊長(zhǎng)130厘米的木板中間重合部分是多少厘米？

—130cm」

|?cm|

75cm75cm

答案

解：75x2-130

=150-130

3.三(5)班有42名同學(xué)，會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下圍棋的有17名，兩種棋都不

會(huì)的有10名。兩種棋都會(huì)下的有多少名？

解：42—10=32(名)

21+17-32=6⑻

谷：兩種棋都公卜的有6名.

故答案為1

6名.

這道題是加法和M法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本鹿中的這個(gè)班族右42名同學(xué)，公下象棋的有21名同學(xué)，公下圍機(jī)的有17名，兩種極都不公的有10名，這個(gè)班的總?cè)藬?shù)減去兩

種極都不公的人數(shù)就是公卜棋的；公卜象機(jī)的仃21名同學(xué).會(huì)卜國棋的仃17名，兩個(gè)數(shù)相加再M(fèi)去32就是既公卜象棋,也公卜圍棋的.

這個(gè)班共有42名同學(xué),兩種機(jī)都不會(huì)的仃10名,兩個(gè)數(shù)出城就是會(huì)卜根的；會(huì)卜象機(jī)的仃21名同學(xué).會(huì)卜圍棋的有17名,兩個(gè)數(shù)相加再M(fèi)去32就是既會(huì)卜皇機(jī)，也會(huì)卜臨

棋的.

【例題5】三(1)班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂《閱讀報(bào)》的有30人，兩份報(bào)紙都訂

的有10人，全班每人至少訂一種報(bào)紙。三(1)班有學(xué)生多少人？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，畫出下圖：

MP

從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份訂兩份報(bào)紙的人數(shù)報(bào)紙都訂的10人，這10

人既被包括在訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的32人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報(bào)》的30人內(nèi)，重復(fù)算了一次,

所以要算出全班人數(shù)，必須從32+30=62人中去掉被重復(fù)算過的10人。所以全班人數(shù)應(yīng)是

62-10=52人。

練習(xí)5：

1.三(4)班做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都完成的有

31人，每人至少完成一種作業(yè)。三(4)班共有學(xué)生多少人？

由題意行，三(4)班學(xué)生人數(shù)為:

37+42-31=48(人)

故答案為；48人

本虺關(guān)鍵是要知道兩種作業(yè)都做的被包括進(jìn)r只做其中腫作業(yè)的人數(shù)里/

2.兩塊木板各長(zhǎng)90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一

起的木板總長(zhǎng)多少厘米？/---------/7

答案

解：90+90-15=165（厘米）

答：這塊釘在一起的木板總長(zhǎng)是165厘米.

故答案為?

165匣米

3.三解析

一根據(jù)題意，認(rèn)真觀察題”給出的圖形以及數(shù)吊.這塊釘在上的木板J5厘米.

二月此矍考查學(xué)生的觀察能力；合出的圖形以及數(shù)就這塊釘住一起的小，

15郵米.

解：78+77-107

=155-107

=48（人）.

答：既帶礦泉水又帶水果的小朋也48人.

1、解答此題的方法依據(jù)是容斥原理，回憶容斥原理的意義和解題的方法；

2、儂容斥顆的意義，計(jì)算出舸泉水的人數(shù)界水果的人蛆和；

3、再用帶礦泉水的人數(shù)量水果的人蚯和減去實(shí)際的總?cè)藬?shù)，所醐差就是本題的答案。

三、課后作業(yè)

1、同學(xué)們排隊(duì)去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個(gè)。這

一排共有多少個(gè)同學(xué)？

答案

解：7+1+7=15（4"）

答：這一排同學(xué)共有15個(gè).

故答案為：

15個(gè)

解析

無論從前還是后數(shù)起，李華都排在第8個(gè)，即是李華前面有7個(gè)同學(xué)，后面有7個(gè)同學(xué)，從而可求此題結(jié)果.

2、三（5）班有42名同學(xué)，會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下圍棋的有17名，兩

種棋都不會(huì)的有10名。兩種棋都會(huì)下的有多少名？

解：42-10=32（名）

21+17—32=6（名）

答：兩種棋都會(huì)卜.的仃6名.

故答案為：

6名.

這道題是加法和減法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中的這個(gè)班共有42名同學(xué),會(huì)卜象棋的有21名同學(xué)，會(huì)卜闈棋的有17名，兩種棋都不會(huì)的有10名，這個(gè)班的總?cè)藬?shù)減去兩

種棋都不會(huì)的人數(shù)就是會(huì)卜棋的；會(huì)卜象棋的有21名同學(xué)，會(huì)卜圍棋的有17名，兩個(gè)數(shù)相加梅i成去32就是既會(huì)卜象棋，也會(huì)卜圍棋的.

而

這個(gè)班共有42名同學(xué)，兩種棋都不會(huì)的仃108,兩個(gè)數(shù)相減就是會(huì)下根的；會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下困棋的有17名，兩個(gè)數(shù)相加再減去32就是既會(huì)下象根，也會(huì)下雨

棋的.