空間平面方程

關(guān)于空間平面方程一、平面的確定條件

由立體幾何知道，過(guò)空間一點(diǎn)可以而且只可以作一個(gè)垂直于一條已知直線的平面．利用這個(gè)結(jié)論，若平面經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)M0(x0,y0,z0),

且與向量n={A,B,C}垂直,則這個(gè)平面就唯一確定了．與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向量．那么，可以確定平面的兩個(gè)條件是：返回下一頁(yè)上一頁(yè)第2頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天返回下一頁(yè)上一頁(yè)下面我們利用以上結(jié)論建立平面的方程．第3頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)在來(lái)建立平面

的方程.設(shè)平面

過(guò)點(diǎn)是平面

的法向量.

在平面

上任取一點(diǎn)

M(x,y,z)，則點(diǎn)

M

在平面

上的充要條件是nMM0

二、點(diǎn)法式方程返回下一頁(yè)上一頁(yè)第4頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天該方程稱為平面

的點(diǎn)法式方程.所以有返回下一頁(yè)上一頁(yè)第5頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

5-10

求過(guò)點(diǎn)(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k

的平面方程.

解

所求平面的法向量n=i+2j+3k

，又因?yàn)槠矫孢^(guò)(2,1,1)，所以由公式可得該平面方程為即

x+2y+3z－7=0.返回下一頁(yè)上一頁(yè)第6頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天解所求平面方程為化簡(jiǎn)得例5-11求過(guò)三點(diǎn))4,1,2(-A、)2,3,1(--B和)3,2,0(C的平面方程.返回下一頁(yè)上一頁(yè)取第7頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量三、平面的一般方程返回下一頁(yè)上一頁(yè)第8頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論

情形.類似地可討論情形返回下一頁(yè)上一頁(yè)第9頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5-12

設(shè)一平面通過(guò)

x軸和點(diǎn)M(4,

3,1)，試求該平面的方程.解因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)x軸，

所以可設(shè)它的方程為By+Cz=0.由于點(diǎn)M

在所求的平面上，因此有3B

C=0，將C=3B

代回方程④，并簡(jiǎn)化，即得所求平面方程為y

3z=0④返回下一頁(yè)上一頁(yè)第10頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)平面兩平面法向量的夾角稱為兩平面的夾角.它們的夾角為

.④四、兩平面的夾角返回下一頁(yè)上一頁(yè)第11頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天返回下一頁(yè)上一頁(yè)則平面

1、

2

垂直的充要條件是A1A2+B1B2+C1C2=0