應(yīng)力應(yīng)變概念

關(guān)于應(yīng)力應(yīng)變概念2.剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變負(fù)荷作用在面積為S的ABCD面上，剪切應(yīng)力：

=P/S;剪切應(yīng)變：=U/L=tg.正應(yīng)力引起材料的伸長(zhǎng)或縮短，剪應(yīng)力引起材料的畸變，并使材料發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。PABCDEA

B

ULF

第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天xyz

zx

xy

yy

xx

zz

yz

zy

yx

xz應(yīng)力分量S圍繞材料內(nèi)部一點(diǎn)P，取一體積單元2.1.2任意的力在任意方向上作用于物體1.應(yīng)力第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天說明：下腳標(biāo)的意義：每個(gè)面上有一個(gè)法向應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，應(yīng)力分量下標(biāo)：第一個(gè)字母表示應(yīng)力作用面的法線方向；第二個(gè)字母表示應(yīng)力的作用方向。方向的規(guī)定正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力（張應(yīng)力）為正，壓應(yīng)力為負(fù)。剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：正剪應(yīng)力負(fù)剪應(yīng)力第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)力間存在以下關(guān)系：根據(jù)平衡條件，體積元上相對(duì)的兩個(gè)平行平面上的法向應(yīng)力大小相等，方向相反；剪應(yīng)力作用在物體上的總力矩等于零。應(yīng)力張量T1T2T3T4T5T6

xx

yy

zz

yz

zx

xy結(jié)論：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有六個(gè)分量決定體積元上任意面上的法向應(yīng)力與坐標(biāo)軸的正方向相同，則該面上的剪應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的正方向者為正；如果該面上的法向應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則剪應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的正方向者為負(fù)。第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.應(yīng)變dxdyBCACBA(v/y)dy(v/x)dx(u/x)dx(u/y)dy

xy0XY面上的剪應(yīng)變

xy

yx第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天已知：O點(diǎn)沿x,y,z方向的位移分量分別為u,v,w應(yīng)變?yōu)椋簎/x，用偏微分表示：

u/

x在O點(diǎn)處沿x方向的正應(yīng)變是：

xx=u/x同理：yy=v/y

zz=w/z.uxOA

xA′O′

u（1）正應(yīng)變第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天A點(diǎn)在x方向的位移是：u+(u/x)dx，OA的長(zhǎng)度增加(u/x)dx.O點(diǎn)在y方向的應(yīng)變：v/x,A點(diǎn)在y方向的位移v+(v/x)dx,A點(diǎn)在y方向相對(duì)O點(diǎn)的位移為：(v/x)dx,同理：B點(diǎn)在x方向相對(duì)O點(diǎn)的位移為：(u/y)dy（2）剪切應(yīng)變第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天線段OA及OB之間的夾角變化OA與OA

間的夾角=(v/x)dx/dx=v/xOB與OB

間的夾角=(u/y)dy/dy=u/y線段OA及OB之間的夾角減少了

v/x+u/y，xz平面的剪應(yīng)變?yōu)?

xy=v/x+u/y（xy與yx)第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天同理可以得出其他兩個(gè)剪切應(yīng)變：

yz=v/z+w/y

zx=w/x+u/z結(jié)論：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用六個(gè)應(yīng)變分量來決定，即三個(gè)剪應(yīng)變分量及三個(gè)正應(yīng)變分量。第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天（1）各向同性體的虎克定律

xLLbcc

b

xzxy長(zhǎng)方體在軸向的相對(duì)伸長(zhǎng)為：

x=

x/E應(yīng)力與應(yīng)變之間為線性關(guān)系，E------彈性模量，對(duì)各向同性體，彈性模量為一常數(shù)。2.1.3彈性形變1.廣義虎克定律（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)長(zhǎng)方體伸長(zhǎng)時(shí)，橫向收縮：

y=－

c/c

z=－

b/b橫向變形系數(shù)（泊松比）：=|y/x|=|z/x|則y=－x=－x/E

z=－x/E如果長(zhǎng)方體在

x

y

z的正應(yīng)力作用下，虎克定律表示為：

x=

x/E－y/E－z/E=[

x－（y＋z

）]

/E

y=

y/E－x/E－y/E=[

y－（x＋z

）]

/E

z=

z/E－x/E－y/E=[

z－（x＋y

）]

/E第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于剪切應(yīng)變，則有如下虎克定律：

xy=xy/G

yz=yz/G

zx=zx/GG------剪切模量或剛性模量。G,E,參數(shù)的關(guān)系：G=E/2(1+)如果x=y=z

，材料的體積模量K------各向同等的壓力與其引起的體積變化率之比。

K=－p/(V/V)=E/[3(1－2)]第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天作用力對(duì)不同方向正應(yīng)變的影響各種彈性常數(shù)隨方向而不同，即：Ex

Ey

Ez,

xy

yz

zx在單向受力x時(shí)，在y,z方向的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

yy=－yx

x=－yx

x/Ex=（－yx/Ex

）

x=S21

x

zz=－zx

x=－zx

x/Ex=S31

xS21,S31為彈性柔順系數(shù)。1,2,3分別表示x,y,z(2)各向異性第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天同時(shí)受三個(gè)方向的正應(yīng)力，在x,y,z方向的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

xx=xx/Ex+S12

yy+S13

zz

yy=yy/Ey+S21

yy+S23

zz

zz=zz/Ez+S31

yy+S32

zz第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天正應(yīng)力對(duì)剪應(yīng)變有影響，剪應(yīng)力對(duì)正應(yīng)變也有影響，通式為：

xx=S11

xx+S12

yy+S13

zz+S14

yz+S15

zx+S16

xy

yy=S22

yy+S21

xx+S23

zzS24

yz+S25

zx+S26

xy

zz=S33

zz+S31

yy+S32

zzS34

yz+S35

zx+S36

xy

yz=S41

xx+S42

yy+S43

zz+S44

yz+S45

zx+S46

xy

zx=S51

xx+S52

yy+S53

zz+S54

yz+S55

zx+S56

xy

xy=S61

xx+S62

yy+S63

zz+S64

yz+S65

zx+S66

xy

總共有36個(gè)系數(shù)。第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)倒順關(guān)系有（由彈性應(yīng)變能導(dǎo)出）：

Sij=Sji,－21/E1

－12/E2，系數(shù)減少至21個(gè)考慮晶體的對(duì)稱性，例如：斜方晶系，剪應(yīng)力只影響與其平行的平面的應(yīng)變，不影響正應(yīng)變，S數(shù)為9個(gè)(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有5個(gè)S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系為3個(gè)S(S11,S44,S12)MgO的柔順系數(shù)在25oC時(shí)，S11=4.03×10-12Pa-1;

S12

=－0.94×10-12Pa-1;S44=6.47×10-12Pa-1.由此可知，各向異性晶體的彈性常數(shù)不是均勻的。第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.彈性變形機(jī)理虎克定律表明，對(duì)于足夠小的形變，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性模量E。作用力和位移成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性常數(shù)K。第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天rrror

12＋－＋－FUm在r=ro時(shí)，原子1和2處于平衡狀態(tài)，其合力F=0.當(dāng)原子受到拉伸時(shí)，原子2向右位移，起初作用力與位移呈線性變化，后逐漸偏離，達(dá)到r

時(shí)，合力最大，此后又減小。合力有一最大值，該值相當(dāng)于材料斷裂時(shí)的作用力。斷裂時(shí)的相對(duì)位移：r

－ro=

把合力與相對(duì)位移的關(guān)系看作線性關(guān)系，則彈性常數(shù)：

KF/=tg(1)原子間相互作用力和彈性常數(shù)的關(guān)系第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

U(ro+

）=U(ro)+(dU/dr)ro+1/2(d2U/dr2)ro

2=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro

2F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K=(d2U/dr2)ro就是勢(shì)能曲線在最小值u(ro)處的曲率。結(jié)論：K是在作用力曲線r=ro時(shí)的斜率，因此K的大小反映了原子間的作用力曲線在r=ro處斜率的大小.(2)原子間的勢(shì)能與彈性常數(shù)的關(guān)系結(jié)論：彈性常數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上反映了原子間勢(shì)能曲線極小值尖峭度的大小。第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天使原子間的作用力平行于x軸，作用于原子上的作用力：

F=－u/r,應(yīng)力：xx

－(u/r)/ro2dxx

－(2u/r2)dr/ro2,相應(yīng)的應(yīng)變：dxx=dr/rodxx=C11dxxC11

－(d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1C------彈性剛度系數(shù)（與彈性柔順系數(shù)S成反比）結(jié)論：彈性剛度系數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上也反映了原子間勢(shì)能曲線極小值尖峭度的大小。大部分無機(jī)材料具有離子鍵和共價(jià)鍵，共價(jià)鍵勢(shì)能曲線的谷比金屬鍵和離子鍵的深，即：彈性剛度系數(shù)大。(3)彈性剛度系數(shù)第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天晶體C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51NaCl型晶體的彈性剛度系數(shù)（1011達(dá)因/厘米2，200C）第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天（4）用原子間振動(dòng)模型求彈性常數(shù)原子振動(dòng)時(shí)有以下關(guān)系：m1r1=m2r2,r=r1+r2=r1(1+m1/m2)外力使其產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，則：F=m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2=－K(r－ro)得:md2(r－ro)/dt2=－K(r－ro)或md2/dt2=－K

其中：m=m1·m2/(m1+m2)（折合質(zhì)量）解此方程可以得共振頻率：

=(K/m)1/2/

2

(與晶格振動(dòng)中的長(zhǎng)光學(xué)縱波相似，也叫極化波，能引起靜電極化)，則：K=m(2)2=m(2c/)2可以利用晶體的紅外吸收波長(zhǎng)測(cè)出彈性常數(shù)。rm1m2r1r2第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3.影響彈性模量的因素架狀結(jié)構(gòu)石英和石英玻璃的架狀結(jié)構(gòu)是三維空間網(wǎng)絡(luò)，不同方向上的鍵結(jié)合幾乎相同------幾乎各向同性。單鏈結(jié)構(gòu)Si2O6

雙鏈結(jié)構(gòu)Si4O11

環(huán)狀結(jié)構(gòu)（島狀結(jié)構(gòu)）Si6O18

方向不同彈性模量不一樣（1）晶體結(jié)構(gòu)第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天架狀結(jié)構(gòu)－石英SiO2C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃SiO2C11=C22=C33=0.8單鏈狀硅酸鹽霓輝石NaFeSi2O6C11=1.9C22=1.8C33=2.3普通輝石(CaMgFe)SiO3C11=1.8C22=1.5C33=2.2透輝石CaMgSi2O6C11=2.0C22=1.8C33=2.4雙鏈狀硅酸鹽角閃石普通角閃石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2C11=1.2C22=1.8C33=2.8環(huán)狀硅酸鹽綠柱石Be3Al2Si6O8C11=C22=3.1C33=0.6電氣石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18C11=C22=2.7C33=1.6層狀硅酸鹽黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.9C33=0.5白云母KAl2(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.6金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.5×1012達(dá)因/厘米2第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

大部分固體，受熱后漸漸開始變軟，彈性常數(shù)隨溫度升高而降低。彈性模量與溫度的定量關(guān)系：E=Eo－bTexp(-To/T)

或(E－Eo)/T=－bexp(-To/T)Eo,b,To是經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，對(duì)MgO,Al2O3，ThO2等氧化物，b=2.7～5.6,To=180～320溫度對(duì)彈性剛度系數(shù)的影響，通常用彈性剛度系數(shù)的溫度系數(shù)表示：Tc=(dC/dT)/C對(duì)在電子儀器中的所謂延遲線和標(biāo)準(zhǔn)頻率器件十分重要，因?yàn)樗鼈儗で罅銣囟认禂?shù)材料。(2)溫度第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天溫度補(bǔ)償材料：一種異常的彈性性質(zhì)材料（Tc是正的），補(bǔ)償一般材料的負(fù)Tc值.且壓電偶合因子大。MgOTc11=－2.3Tc44=－1.0SrTiO3Tc11=－2.6