2020-2021學(xué)年遼寧省丹東市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年遼寧省丹東市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.經(jīng)過點(diǎn)P（5,2）且平行于直線/：3x-y+l=O的直線方程為（）

A.x+3y+ll=0B.3x-y+13=0C.x+3y-11=0D.3x-y-13=0

2.5名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)活動(dòng)小組，每人限報(bào)1個(gè)活動(dòng)小組，不同的報(bào)名方法種數(shù)為（）

A.45B.54C.A5D.4!

3.如圖1,從某個(gè)角度觀看籃球，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形如圖2,籃球的外輪廓為圓

O,將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的

周長八等分，且AB=30=0C=CO=l,則該雙曲線的方程為（）

圖I

圖2

222

A.x2-y2=1B__V__1C__y_=1D__Y_=1

234

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長

與短半軸長的乘積.已知橢圓C的面積為2?兀，F(xiàn)i,B分別是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過B

的直線交C于A,2兩點(diǎn)，若△ABF2的周長為8,則C的離心率為（）

A.—B.返C.返D.—

2223

,5

5.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為則C的漸近線方程為（）

O

A.3%±5y=0B.5%±3y=0C.3x±4y=0D.4x±3y=0

6.使得（x+T=）"的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小正整數(shù)〃為（）

XVx

A.2B.4C.5D.6

7.圓C與圓（X+1）2+y2=l相外切，與圓（尤-1）-+y2—9相內(nèi)切，則圓C的圓心在（）

A.一個(gè)橢圓上B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上D,一個(gè)圓上

8.已知A,8為二面角a-/-0棱/上不同兩點(diǎn)，C,O分別在半平面a,0內(nèi)，ACM,BD

±/,AC^BD=2AB,若直線AB與CO所成角的余弦值為艱，則二面角a-/-0的大

5

小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

二、選擇題（共4小題）?

9.若（2-X）6=ao+〃ix+“2x2+Q3x3+a4T4+〃5%5+。6%6,貝（J（）

A.6zo=64

B.〃o+〃l+〃2+。3+〃4+〃5+〃6=1

C.-〃1+〃2-〃3+。4-。5+。6=36

D.。3是〃0、41、〃2、〃3、〃4、"5、。6中的最大值

22

io.已知曲線c：——，—=i，（）

m+lm-3

A.若機(jī)＜-1,則C表示橢圓

B.若相＞3,則C表示橢圓

C.若-1＜機(jī)＜3,則C表示雙曲線

D.若機(jī)＞-1且機(jī)W3,則C的焦距為4

11.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加

公益活動(dòng)的安排方法種數(shù)為（）

A.A422

B.24-2

「3A2

J2H2“'3H2

D.C4C2+CJC3A2

12.已知”為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線

與他，〃都垂直，斜邊以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則（）

A.直線AB與機(jī)所成角的最小值為45°

B.直線A8與機(jī)所成角的最大值為60°

C.當(dāng)直線A3與相成60°角時(shí)，A2與〃成60°角

D.當(dāng)直線AB與機(jī)成90°角時(shí)，與九成45°角

三、填空題(共4小題).

13.已知｝=(1,2,-1)為平面a的一個(gè)法向量，之=(-2,入，1)為直線/的方向向

量.若/〃a,貝！|入=.

14.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為R/為C上一點(diǎn)，點(diǎn)N(0,4),若/MNF=90。，

則|明=.

15.(尤2-X+2)5的展開式中尤3的系數(shù)為.

16.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有種.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是菱形，PA=AB=2,P4_L平面ABC。，E

為PO的中點(diǎn).

(1)證明：尸8〃平面AEC；

(2)在①NABC=60°,②EC_LA。這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并

18.如圖，已知臺(tái)風(fēng)中心從。地以每小時(shí)20衣碗的速度向東北方向移動(dòng)，f小時(shí)后到達(dá)〃

地，距離臺(tái)風(fēng)臺(tái)風(fēng)中心不超過12立kir的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.設(shè)直線型高速公路/與正東

方向夾角為。(tan0=2),且經(jīng)過。地正東處的點(diǎn)P.

(1)在平面直角坐標(biāo)xOy系內(nèi)，寫出直線/的方程，寫出在f時(shí)刻臺(tái)風(fēng)危險(xiǎn)區(qū)域邊界軌

跡C的方程；

(2)計(jì)算高速公路/處于危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的時(shí)間長.

Wkm)\f型方向

19.在平行六面體A8CD-AiBCbDi中，瓦=（2,-1,4）,AD=（4,2,0），

西=（-1,2,1）.

（1）證明：平面A8CD；

）

（2）對(duì)于空間向量a=（x］,了］,Z［）,b=（x2,y2>z2）>c=（口，”，Z3,

定義運(yùn)算：（軟義b），《=尤1》223-尤U3Z2+X2_X3Z1-尤2ylz3+X3V1Z2-X3y2Zl.

證明：（屈xM）?西的絕對(duì)值等于平行六面體ABC。-A1B1C1D1的體積.

20.世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”--500機(jī)口徑拋物面射電

望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），

其邊緣距離底部的落差約為156.25米，是由我國天文學(xué)家南仁東先生于1994年提出構(gòu)想，

歷時(shí)22年建成，于2016年9月25日落成啟用，2020年1月11日，“中國天眼”通過

國家驗(yàn)收，投入正式運(yùn)行，截至2020年11月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)脈沖星數(shù)量超過240

顆.它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系內(nèi).

（1）求C的方程；

（2）一束平行于y軸的脈沖信號(hào)射到C上的尸點(diǎn)，反射信號(hào)經(jīng)過C的焦點(diǎn)尸后，再由

C上點(diǎn)Q反射出平行脈沖信號(hào)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的路程

最短.

21.如圖，直三棱柱ABC-中，AC=BC=CG,ACLBC.

（1）求直線AG與CBi所成的角;

9

（2）在線段AB是否存在點(diǎn)M,使平面BiMC與平面ACCiAi所成銳二面角的余弦值為仔?

O

若存在，求衰的值，若不存在，說明理由.

22.已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（飛/耳，0）,（V3-0），且經(jīng)過點(diǎn)。（2,1）.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過。點(diǎn)且與C相交于M,N兩點(diǎn)，若以線段MN為直徑的圓經(jīng)過。

點(diǎn)，證明：/過定點(diǎn).

參考答案

一、選擇題（共8小題）.

1.經(jīng)過點(diǎn)尸（5,2）且平行于直線/：3x-y+l=0的直線方程為（）

A.x+3y+ll=0B.3x-y+13=0C.x+3y-11=0D.3x-y-13=0

【分析】利用平行直線系方程設(shè)出所求直線方程，再將點(diǎn)尸代入求解即可.

解：因?yàn)樗笾本€平行于直線/：3x-y+l=0,

故設(shè)所求直線的方程為3尤-y+c=0,

又直線經(jīng)過點(diǎn)P（5,2）,

所以3X5-2+c=0,解得c=-13,

故所求直線方程為3x-y-13=0.

故選：D.

2.5名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)活動(dòng)小組，每人限報(bào)1個(gè)活動(dòng)小組，不同的報(bào)名方法種數(shù)為（）

A.45B.54C.A：D.4!

【分析】根據(jù)題意，分析可得5名同學(xué)每人都有4種報(bào)名方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可

得答案.

解：根據(jù)題意，5名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)活動(dòng)小組，每人限報(bào)1個(gè)活動(dòng)小組，

則每人都有4種報(bào)名方法，則5人有4X4X4X4X4=45種報(bào)名方法，

故選：A.

3.如圖1,從某個(gè)角度觀看籃球，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形如圖2,籃球的外輪廓為圓

O,將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓。的交點(diǎn)將圓的

周長八等分，且A2=30=0C=a）=l,則該雙曲線的方程為（）

圖I

222

A.x23-y2=lx2-^-=lc2y7D.~~~=1

J4

【分析】建立坐標(biāo)系，利用已知條件求出雙曲線的實(shí)半軸的長，虛半軸的長，然后求解

雙曲線方程即可.

解：以。為原點(diǎn)，所在直線為無軸建系,

AB=BO=OC=CD=1,

則該雙曲線過點(diǎn)（衣，衣）且。=1,

將點(diǎn)（J5，代入方程￥'-2y=l，可得

ay

2

2

所以雙曲線方程為：x-^-=i.

3

故選：C.

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長

與短半軸長的乘積.已知橢圓C的面積為2次兀，F(xiàn)l,尸2分別是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過八

的直線交C于A,8兩點(diǎn)，若△ABB的周長為8,則C的離心率為（）

A1R版「V32

D.----------D.

-2223

【分析】由新定義可知。與6的等量關(guān)系，由三角形ABB的周長可知。的值，即可解出

離心率.

（兀=ab兀r-

解：由題意可知：《,解得，a=2,b=M，

14a=8

又c2=d2-b1,c—1,

■"eT"7'

故選：A.

一5

5.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在1軸上的雙曲線。的離心率為玲，則。的漸近線方程為（）

O

A.3%±5y=0B.5x±3y=0C.3%±4y=0D.4x±3y=0

【分析】利用雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的漸近線方程即可.

一R

解：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。的禺心率為合，

O

可得￡=言，所以1片=給

2

a3a9

所以包

a3

所以雙曲線的漸近線方程為：尸土條，即4x±3y=0.

O

故選：D.

6.使得（x+-4=）"的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小正整數(shù)w為（）

XVx

A.2B.4C.5D.6

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得〃的最小正值.

15r

解：???（XH—=）"的展開式的通項(xiàng)公式為T,+1=Cr：?n-,

xVXnx/

5r

令〃-可得2〃=5r,r=0,1,2,?,,,幾,

故〃的最小正值為5,此時(shí)，丫=2,

故選：C.

7.圓。與圓（x+l）2+y2=i相外切，與圓（X-1）2+y2=9相內(nèi)切，則圓C的圓心在（）

A.一個(gè)橢圓上B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上D.一個(gè)圓上

【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距和半徑的關(guān)系得到點(diǎn)C的軌跡是以G、C2

為焦點(diǎn)（c=l）,長軸長2a=4的橢圓.

解：：動(dòng)圓C與圓C1：（尤+1）2+y2=l相外切，與圓C2:（X-1）2+y2=9相內(nèi)切，

.-.|CCi|=r+l,|CC2|=3-r,

.,.|CCI|+|CC2|=4,

...點(diǎn)c的軌跡是以Cl、C2為焦點(diǎn)（c=l）,長軸長2a=4的橢圓，

故選：A.

8.己知A,8為二面角a-/-0棱/上不同兩點(diǎn)，C,。分別在半平面a,0內(nèi)，ACLl,BD

±/,AC=BD=2AB,若直線AB與CD所成角的余弦值為艱，則二面角a-/-0的大

5

小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】由題意畫出圖形，作出直線A8與C。所成角及二面角a-/-0的平面角，設(shè)

AC=8D=2AB=2a,由已知直線AB與CD所成角的余弦值為理，即可求解二面角a-

l-P的大小.

解：如圖，

在a內(nèi)，過8作BE//AC,且BE=AC,連接CE,

則四邊形ACEB為矩形，可得CE=AB,

由BEVI,得為二面角a-/-0的平面角，

設(shè)AC=B￡）=2AB=2a,則A3=CE=a,

又直線AB與CD所成角的余弦值為點(diǎn)，...cos/DCEn'Sn*

5CD5

得CO=J^CE=V^a,則DE=2a,

.?.△OBE為等邊三角形，即ND8E=60°.

故二面角a-/-P的大小為60°.

故選：B.

二、選擇題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.若(2-x)6=ao-^-a[x+a2X1+a3X3+a4J^+a5X5+a6X6,貝U()

A.＜20=64

B.〃0+41+〃2+的+〃4+。5+〃6=1

C.〃0-41+〃2-〃3+〃4-。5+〃6=36

D.〃3是。0、0、〃2、〃3、〃4、〃5、〃6中的最大值

【分析】先利用賦值法驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、。的正誤，再計(jì)算出的的值，驗(yàn)證選項(xiàng)。的正

誤即可.

6

解：*.*(2-X)6=〃0+〃1%+〃加2+4313+〃4A4+4515+q6x,

???令x=0,有26=〃O=64,故選項(xiàng)A正確；

令X=l,有(2-1)6=1=〃0+〃1+〃2+…+Q6,故選項(xiàng)B正確；

令％=-1,有(2+1)6=〃0-〃1+。2-的+〃4-〃5+〃6=36,故選項(xiàng)C正確，

又。3=煜?23(-1)3＜〃0,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：ABC.

22

io.已知曲線c：3一J—=i，()

m+lm-3

A.若/〃＜-1,則C表示橢圓

B.若加＞3,則C表示橢圓

C.若-1＜相＜3,則C表示雙曲線

D.若相＞-1且〃層3,則C的焦距為4

【分析】通過機(jī)的范圍，判斷曲線的形狀，判斷選項(xiàng)即可.

解：m＜-1,則C表示的軌跡不存在，所以A不正確；

若機(jī)＞3,則C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)的龍軸上的橢圓，所以B正確；

若-1＜冽＜3,則C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上的雙曲線，所以C正確；

若相＞-1且相#3,則C的焦距為4,正確，所以。正確；

故選：BCD.

11.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加

公益活動(dòng)的安排方法種數(shù)為()

A.A422

B.24-2

J2H2乜。3H2

D.C4C2+C4C3AI

【分析】利用整體排除法和分類法計(jì)算出結(jié)果即可.

解：當(dāng)使用整體排除法時(shí)，安排方法有（C；）4-C；C：=24-2種；

當(dāng)使用分類法時(shí)，安排方法有C久分C：C理種，

故選：BD.

12.已知加，"為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線

與根，〃都垂直，斜邊A8以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則（）

A.直線A8與機(jī)所成角的最小值為45°

B.直線A8與〃2所成角的最大值為60°

C.當(dāng)直線AB與相成60°角時(shí)，42與"成60°角

D.當(dāng)直線AB與加成90°角時(shí)，AB與“成45°角

【分析】由題意知，m、n、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方

體，|AC|=1,|AB|=&,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌

跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以C。為無軸，CB為y軸，CA為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果.

解：由題意知，7小〃、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,|48|=五，

斜邊A3以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，

8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以C。為x軸，C8為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。（1,0,0）,A（0,0,1）,

直線機(jī)的方向單位向量7=（0,1,0）,苒=1，

直線”的方向單位向量7=（1，0,0）,前=1,

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)夕（cose,sine,0）,

其中。為2,C與CD的夾角，0￡[0,2TT）,

?'?ABr在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，杷，'=（cos6,sin6,-1）,|杷，?尸加，

設(shè)AB''與7所成夾角為5],

|(-COS0p

-sin?,1)(0,*=冬皿9廝,

貝！Jcosa=---------

lal'lAB7^|

7U兀.

aG[——,—T—],?'.A正確，B錯(cuò)樂.

42

設(shè)AB'?與1所成夾角為此[0,；],

I(-cos0sinS,1)?(1,0,0)多四,

cosk叵「以

|AB'Idb|Ibl-lAy'|

當(dāng)市L與7夾角為60°時(shí)，即a=3,

|sin0|=V^cosa=^/^sin~^-=^^

V2,川1

cos20+sin20=1COS0=—|cos9|=—,

Vpe[0,—],Ap=—,此時(shí)咫尸與W的夾角為60°

/o

C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知言=（1，2,-1）為平面a的一個(gè)法向量，2=（-2,入，1）為直線/的方向向

量.若/〃a,則入=4.

一2一

【分析】由/〃a,可得；2=0,即可得出.

解：'：l//a,-2+2A-1=0,

可得入

故答案為：.

14.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為F,M為C上一點(diǎn),點(diǎn)N(0,4),若NMNF=90。，

則|MF|=10.

【分析】設(shè)M的坐標(biāo)，由拋物線的方程可得尸的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，由/跖\4=90°,可

得而?而=0,求出M的坐標(biāo)，再由拋物線的性質(zhì)，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

可得阿川的值.

解：由題意設(shè)M(―,6),

8

由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸(2,0),準(zhǔn)線方程為：x=-2,

因?yàn)?跖\不=90。，N(0,4),

所以可得而?1^=0,

即(B_,6-4)?(2,-4)=0,

8

整理可得：b=8,

所以M(8,8),

所以|MF|=8+2=10,

故答案為：10.

15.(x2-x+2)5的展開式中2的系數(shù)為-200.

【分析】先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令尤的幕指數(shù)等于3,求得八/的值，即

可求得x3項(xiàng)的系數(shù).

解：式子(%2-尤+2)5=[-X)+2]5的展開式的通項(xiàng)公式為7什1=(X2-x)5'r,2r,

25rr102rr

對(duì)于Cx-x)~,它的通項(xiàng)公式為7>+i=(-1),Cg_r,x-',

其中，OWNW5-r,0WrW5,r、r'都是自然數(shù).

令lOf=3,可得卜了，或卜了，

lr=3lr=1

故一項(xiàng)的系數(shù)為吟22?(-C3)+C|?23?(-Cj)=-200,

故答案為:-200.

16.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有72種.

【分析】可以先做出3個(gè)人在6個(gè)位置的所有做法，再減去不是恰有兩個(gè)空座位相鄰的

結(jié)果，其中空坐各不相鄰的坐法和三個(gè)空坐相連的坐法.

解：3人坐6個(gè)座位，坐法共有A63

其中空坐各不相鄰的坐法為C43A33

三個(gè)空坐相連的坐法C4%3

.?.滿足條件的坐法共有A63-C43A3^-C41A3^=72

故答案為：72.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。是菱形，PA=AB=2,PA_L平面48C。，E

為尸。的中點(diǎn).

(1)證明：尸8〃平面AEC；

(2)在①NABC=60°,②EC,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并

作答.若，求EC與平面PAO所成的角.

【分析】(1)連接交AC于O,連接OE,推導(dǎo)出OE〃尸8,由此能證明〃平面

AEC.

(2)選①：以。為原點(diǎn)，。2為無軸，OC為y軸，過。作平面A2CD的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出EC與平面PAD所成的角.

選②：以。為原點(diǎn)，為x軸，OC為y軸，過。作平面ABCD的垂線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，取中點(diǎn)R連接所，CF,推導(dǎo)出EF〃尸4從而平面ABC。,

CF±AD,AC=C￡>=2,利用向量法能求出EC與平面24。所成的角.

解：(1)證明：連接8。，交AC于。，連接OE,

:底面A8CD是菱形，是8。中點(diǎn)，

為尸。的中點(diǎn)，J.OE//PB,

平面AEC,OEu平面AEC,

.?.P8〃平面AEC.

(2)選①：

以。為原點(diǎn)，08為尤軸，OC為y軸，過。作平面48CO的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

:底面A8CD是菱形，PA=AB=2,ZABC=60°,

：.D(-e，0,0),尸(0,-1,2),E(-二-5，1),C(0,1,0),A(0,

22

-1,0),

前=(舁，亭-1)，AP=(。，。,2)，AD=(-"行1’0),

設(shè)平面PAD的法向量(x,y,z),

[npAP=2z=0-i—

則-,，?。?1,得口=(1,E，0),

n*AD=-V3x+y=0

設(shè)EC與平面PAD所成的角為e,

_|EC>n|_2V3_V3

則。

sinlECl-lnl^22

：.EC與平面PAD所成的角為〒.

o

選②：

以。為原點(diǎn)，為x軸，OC為y軸，過O作平面A8C。的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系,

取中點(diǎn)尸，連接EF,CF,

:底面ABCZ）是菱形，PA=AB=2,ECLAD,PA_L平面ABC。，E為P。的中點(diǎn).

J.EF//PA,J.EFV^^ABCD,：.CF1AD,；.AC=CZ)=2,

：.D(-V3-o,0),P(0,-1,2),E(-孚-卷，1),C(0,1,0),A(0,

乙乙

-1,0),

前=(洋右T)，AP=(O,O,2),AD=(-?,1,0),

設(shè)平面PAD的法向量若=(x,y,z),

n*AP=2z=0宣

則_.,取尤=1,得n=(1，M，0),

n"AD=-v3x+y=0

設(shè)EC與平面PAD所成的角為e,

|EC>n|_2V3_V3

則sin0

lECl-lnl爾'"2"

；.EC與平面PAD所成的角為〒.

o

18.如圖，已知臺(tái)風(fēng)中心從。地以每小時(shí)20衣碗的速度向東北方向移動(dòng)，，小時(shí)后到達(dá)M

地，距離臺(tái)風(fēng)臺(tái)風(fēng)中心不超過12jMkir的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.設(shè)直線型高速公路I與正東

方向夾角為。(tan0=2),且經(jīng)過。地正東40歷w處的點(diǎn)P.

(1)在平面直角坐標(biāo)xOy系內(nèi)，寫出直線/的方程，寫出在f時(shí)刻臺(tái)風(fēng)危險(xiǎn)區(qū)域邊界軌

跡C的方程；

(2)計(jì)算高速公路/處于危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的時(shí)間長.

【分析】(1)利用/與x軸正方向的夾角為180°-&且tan0=2,求出直線/的斜率，

再利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；臺(tái)風(fēng)在f小時(shí)后到達(dá)M地，利用OM=20&t,解出/

點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到臺(tái)風(fēng)危險(xiǎn)區(qū)域邊界軌跡C的方程；

(2)設(shè)R時(shí)高速公路/恰好處于危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)，f2時(shí)高速公路/恰好離開危險(xiǎn)區(qū)域，分別

求出兩種狀態(tài)下的臺(tái)風(fēng)中心，然后利用01。2=002-°01=4岫，結(jié)合臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)速度，

即可得到答案.

解：(1)因?yàn)?與x軸正方向的夾角為180°-0,且tan?=2,

所以tan(180°-0)=-tan0=-2,

故直線/的斜率為-2,

所以直線I的方程為y-0=-2(尤-40),即2x+y-80=0,

當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心在O地時(shí)，臺(tái)風(fēng)危險(xiǎn)區(qū)域是一個(gè)以。為圓心，以12小kir為半徑的圓，

因?yàn)榕_(tái)風(fēng)中心從。地以每小時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，

設(shè)臺(tái)風(fēng)在t小時(shí)后到達(dá)M地，

所以O(shè)M=20&t,設(shè)M（a,a）,則有a2+a2=（20加）？，解得。=20f,

所以M（20/,20t）,所以移動(dòng)后的圓心為（20f,20r）,

故/時(shí)刻臺(tái)風(fēng)危險(xiǎn)區(qū)域邊界軌跡C的方程為（x-20t）2+（y-20t）2=（12jQ2,即（x

-20?）2+（y-2002=720；

（2）臺(tái)風(fēng)方向滿足的方程為y=x,

設(shè)fi時(shí)高速公路/恰好處于危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)，歷時(shí)高速公路/恰好離開危險(xiǎn)區(qū)域，

設(shè)G時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為。1（XI,尤1）,f2時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為。2（尤2,尤2）,

①九時(shí)臺(tái)風(fēng)中心到高速公路I的距離恰好為半徑12泥，

|2xi+x「80|20、140

貝U有J.2=12V5?確星得x]■"或x]=（舍）

所以臺(tái)風(fēng)中心0]巧~）;

OO

②f2時(shí)臺(tái)風(fēng)中心到高速公路I的距離也恰好為半徑1275，

|2x]+xi-80|Un90

則有一1===^—=1275.解得xi符?或xi再?（舍），

12+133

所以臺(tái)風(fēng)中心為0?（」鐺，等）.

貝100[翁）2+翁）2駕

Wig）?+苧丁學(xué)”

故0[02=0。2-00[=4啦，

。1。24072

則時(shí)間t'=20V2=20V2=2

所以高速公路I處于危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的時(shí)間為2小時(shí).

19.在平行六面體A8CZ)-AiBiGDi中，標(biāo)=(2,-1,4),麗=(4,2,0)，

AD[=(T,2,1).

（1）證明：AP_L平面A8CD；

（2）對(duì)于空間向量a=（x],yj,勺），b=（x2?y2，工3=（后，”，Z3）

定義運(yùn)算：?]=Xiy2Z3-Xiy3Z2+X2y3Zl-X2yiZ3+X3yiZ2-X3y2Zl.

證明：（ABXAD）-ADi的絕對(duì)值等于平行六面體ABC。-A1B1C1D1的體積.

【分析】（1）由已知結(jié)合數(shù)量積為0證明ADi±AD,再由直線與平面垂直的

判定可得平面ABCD；

（2）由定義求得（豆X標(biāo)）.西的值，再由棱柱體積公式求出直平行六面體A3CD-

A\B\C\D\的體積，則結(jié)論得證.

【解答】證明：(1)???瓦=(2)-1,4),AD=(4,2,0)，AD^C-l,2,1),

...--?

/.ADj,AB=-2-2+4=0,ADj-AD=-4+4=0,

可得SUB,ADi±AD,又AOriAB=A,

平面ABC。；

(2)(ABXAD)-AD1=2X2X1-2X2X0+4X2X4-4X(-1)X1+(-1)X(-1)

xo

-(-1)X2X4=4+32+4+8=48；

設(shè)標(biāo)與正的夾角為。，AB>AD_8-2_3

COS0|AB|-|AD|-V21-2V5W105

??sin6=Vl-cos29?

則丫=|AB|?|AD|,sinQ?|ADj|=61"2A/5'"V6=48.

/.(ABXAD)-ADi的絕對(duì)值等于平行六面體ABC。-AbBCiOi的體積.

20.世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”--500%口徑拋物面射電

望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），

其邊緣距離底部的落差約為156.25米，是由我國天文學(xué)家南仁東先生于1994年提出構(gòu)想，

歷時(shí)22年建成，于2016年9月25日落成啟用，2020年1月11日，“中國天眼”通過

國家驗(yàn)收，投入正式運(yùn)行，截至2020年11月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)脈沖星數(shù)量超過240

顆.它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系內(nèi).

(I)求C的方程；

(2)一束平行于y軸的脈沖信號(hào)射到C上的尸點(diǎn)，反射信號(hào)經(jīng)過C的焦點(diǎn)P后，再由

C上點(diǎn)。反射出平行脈沖信號(hào)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)。的路程

最短.

【分析】(1)利用題中給出的信息，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出p,即可得到答

案；

(2)問題即求過焦點(diǎn)尸最短的弦長，轉(zhuǎn)化為求拋物線的通徑，即可得到答案.

解：(1)設(shè)拋物線C的方程為尤2=2Q(0>0),

因?yàn)檫吘壘嚯x底部的落差約為156.25,

嗎F56.25,

所以p=312.5,

故拋物線C的方程為N=625y；

(2)由題意可知，求過尸點(diǎn)最小的弦長尸。，

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線的通徑時(shí)最短的弦長，即當(dāng)與y軸垂直時(shí)弦長最短，

由無2=625y,則焦點(diǎn)為(0,156.25),

故當(dāng)>=156.25時(shí)，X2=625X156.25=156.252X4,

所以x=±V156.252X4=±312.5，

所以PQ加“=312.5X2=625,

故從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的路程最短為625m.

21.如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=CCi,AC±BC.

(1)求直線ACi與CBi所成的角；

9

(2)在線段A3是否存在點(diǎn)使平面與平面ACGAi所成銳二面角的余弦值為母？

O

若存在，求色的值，若不存在，說明理由.

H

【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量，利

用公式求解即可；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M符合條件，設(shè)設(shè)絆=入（0W入W1）,求出兩個(gè)平面的法向量，利用

AB

9

二面角的余弦值為母，列出關(guān)于人的方程，求解即可.

o

解：（1）由已知ACL8C,三棱柱為直三棱柱，故CC底面ABC,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線為無軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=BC=CG=1,則C(0,0,0),A(1,0,0）,Ai（1,0,1）,B（0,1,0）,

Bi(0,1,1),Ci(0,0,1),

故商=(-1,o,1),國=(o,1,1),

,,AC1,CB<1

則COS、A"，Cb[/",——.，，——=r-r-=[,

11|ACj|ICBj|V2XV22

TT

因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為（0,—

所以直線AC1與CB1所成的角為:；

（2）設(shè)存在點(diǎn)M滿足條件，設(shè)黑=入（0W入W1）,

AB

則正入屈，

所以M(1-X,入，0),

因?yàn)镃C」底面ABC,BCu平面ABC,

所以BC_LCG,又AC_LBC,且CCiCAC=C,CCi,ACc^ffiACC1A1,

所以平面ACC1A1,

則平面ACC1A1的一個(gè)法向量為取=（0,1,0）,

又西=（O,1,1）,而=（1-入，入，0）,

設(shè)平面的法向量為n=（x,y,z）,

則CBjn=。產(chǎn)0

lcii-n=O11-入)x+WO

令尸1，則U*’1，-1)'

因?yàn)槠矫鍮iMC與平面ACCiAi所成銳二面角的余弦值為泉9