2016年數(shù)列歷年高考試題

數(shù)列

一、選擇題

1.（2009年廣東卷文）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為正數(shù)，且〃3?。廣？%>6Z2=1,則4=

A.—B.---C.5/2D.2

22

【答案】B

【解析】設(shè)公比為4,由已知得％d.//=2（%/）[即42=2,又因為等比數(shù)列｛%｝的公

?5

比為正數(shù)，所以4=正，故4=亍=正=手，選B

2.（2009安徽卷文）已知⑷為等差數(shù)列，■+―+-=+■+■=",則~等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】:%+a3+as=105即3a3=儂:.a｝=35同理可得知=33；.公差d=%-q=-2/.

。川=4+（20-4）xrf=1.選B。

【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S..若4是%與%的等比中

項，58=32,貝1」51。等于

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由a：=a3a7得（q+3d）2=（q+2d）（q+6d）得2q+3d=0,再由

S8=8a,+yJ=32得2q+7d=8則d=2,q=—3,所以

90.

S1（）=10〃]H---d=60,.故選C

2

4.（2009湖南卷文）設(shè)S〃是等差數(shù)列｛q｝的前n項和，已知出=3,a6=11,則S,等于

（）

A.13B.35C.49D.63

［解析】57=73+%）=7他+&）=7（3+"）=49.故選C.

222

a?！狢i,4~—-3a,—\

或由《-=><,a-,=1+6x2=13.

4=q+5d=11d=2

所以S7（q+"7）=7（1+13）=49故選c

722

5.（2009福建卷理）等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，且S3=6,%=4,則公差d等于

5

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］S3=6=耳⑷+%）且%=為+21%=4d=2.故選C

6.（2009遼寧卷文）已知｛”“｝為等差數(shù)列，且%—24=—1，則公差d=

A.-2B.--C.-D.2

22

【解析】a?-2a4=a3+4d—2（a3+d）=2d=—1=>d=—

2

【答案】B

7.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛?！埃墓畈粸榱?，首項q=1,電是4和火的等比中

項，則數(shù)列的前10項之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】設(shè)公差為d，則（l+d）2=l.（l+4d）.W0,解得d=2,；.S1o=100

8.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列｛勺｝的前n項和為S“，已知凡一+《“+1一出,=。，

《M-I=38,則m=

A.38B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】因為｛叫是等差數(shù)列，所以，am.l+ain+l=2am,由屋=0,得：2am

一。,「=0,所以，/“=2,又5,,“1=38,即（2〃？T）（、+>2”一）=38,即（2m-l）X2

2

=38,解得m=10,故選.C。

9..（2009重慶卷文）設(shè)｛6｝是公差不為0的等差數(shù)列，%=2且4,小,。6成等比數(shù)列，則

｛4“｝的前〃項和S“=（）

n2Inn25nn23〃,

A.—+—B.—+—C.—+—D.n+n

443324

【答案】A

【解析】設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,則根據(jù)題意得（2+2d）2=2-（2+5d）,解得d=〈或

d=O（舍去），所以數(shù)列｛%｝的前〃項和S.=2〃+”“（尸”一]）x；1=^n"+彳7/J

二、填空題

10.（2009全國卷I理）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S"，若S9=72，則出+%+為=_

答案24

解析v｛a,,｝是等差數(shù)列,由S9=72,得S9=9%,%=8

/.七+%+為=（〃2+或）+%=（。5+&）+〃4=3%=24.

11.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比。=工，前〃項和為S,，則且=__________.

2a4

答案：15

且T1Wr_LP"l（l-4，）3L1-彳41e

解析對于％=---------，?=—=-；----------------=15

l-q&q（if）

12.（2009北京文）若數(shù)列｛氏｝滿足：％=La,,+|=2a,,（〃eN*）,則的=;

前8項的和§8=.（用數(shù)字作答）

答案225

解析本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算

的考查.

q—?1,ci）—2q—2,。3=4,。4=2a3=8,—2a4=16,

28-]

易知Sg==255,J應(yīng)填255.

13.（2009全國卷II文）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前n項和為sn。若q=1,$6=4s3，則。4=___X

答案：3

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由4=1,"=453得心3故a產(chǎn)a/=3

14.(2009全國卷II理)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，若%=5%則顯=

q

解析?.?｛2｝為等差數(shù)列，.??也=乂=9

$55%

答案9

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列｛七｝的前〃項和為S〃，且6s5-5§3=5,則%=

解析VSn=nai+-n(n—l)d

2

/.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d

.,,6S5-5S3=30a1+60d-(15ai+15d)=15a,+45d=15(aI+3d)=15al

答案i

三、解答題

16.(2009浙江文)設(shè)為數(shù)列｛a,J的前幾項和，S?=kn2+n,nGN*,其中k是常數(shù).

(I)求4及%;

(II)若對于任意的加eN*,am,a2m,“成等比數(shù)列，求％的值.

解(I)當(dāng)〃=1,%=S|=k+l,

22

n>2,an=Sn-S“_]=kn+n-[k(n-1)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

經(jīng)驗，n-\,(*)式成立，an-2kn—k+1

(IDam,a2m,a4m成等比數(shù)列，=。"4,"，

即(4&機一左+1)2=(2h〃一人+l)(8hn—k+l),整理得：機4伏一1)=0,

對任意的機wN*成立，；.&=0或k=1

17.(2009北京文)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項公式為a,=pn+q(〃wN*,P>0).數(shù)列也,｝定義

如下：對于正整數(shù)必超是使得不等式2〃?成立的所有〃中的最小值.

(I)若p=g,q=_；,求/；

(n)若p=2,q=-1,求數(shù)列也“｝的前2而項和公式;

(Ill)是否存在。和g,使得耙=3機+2(機wN*)?如果存在，求0和g的取值范圍；如

果不存在，請說明理由.

【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.

解(I)由題意，得—,解一〃—>3,得?肛N—.

"23233

3成立的所有〃中的最小整數(shù)為7,即仇=7.

23

(II)由題意，得%=2〃-1,

m+1

對于正整數(shù)，由42加，得〃2—^—.

根據(jù)以的定義可知

當(dāng)m=2人一1時，bm=k(kwN*)；當(dāng)機=2及時，鬣=k+l(keN").

4+為+…+”,“=(4+4+…+%"-1)+(。2+。4+,?,+%?,)

=(1+2+3+-一+機)+[2+3+4+--+(〃?+1)]

m(m+1)tn(in+3]。

=—----1+—------1=m2+2m.

22

m-n

(III)假設(shè)存在。和q滿足條件，由不等式p〃+q2〃?及p>0得〃2—：

P

???bm=3m+2(meN*),根據(jù)耙的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有

3m+l<絲且<3加+2,即—2p—q<(3〃—1)加<—p—q對任意的正整數(shù)m都成立.

P

當(dāng)3p—l>0(或3p-l<0)時，得加〈一更主義(或機4—生上幺)，

3p-l3/7-1

這與上述結(jié)論矛盾！

12121

當(dāng)3p-l=0,即p=§時，得解得

存在p和g,使得超=3>m+2(mwN*)；

121

。和0的取值范圍分別是p=5，

18.(2009山東卷文)等比數(shù)列｛g｝的前n項和為S“，已知對任意的〃eN,，點

均在函數(shù)y=bx+r(b>OS.b^1力/均為常數(shù))的圖像匕

(1)求r的值：

774-1

(11)當(dāng)b=2時，記b?=——(〃wN+)求數(shù)列｛2｝的前w項和7；

4%

解:因為對任意的〃eN+,點(〃,S“)，均在函數(shù)y=勿+〉0且6W1力,r均為常數(shù))的圖

像上.所以得S“=b"+r,

當(dāng)〃=1忖，q=S[=匕+r,

當(dāng)〃N2時，”“=Sn-S,-=加'+一(加“+r)=9—"I=3—I)/”,

又因為｛4｝為等比數(shù)列，所以廠=—1,公比為。，所以a“=3—l)b"T

⑵當(dāng)"時）*3,/1胃=/=養(yǎng)

234n+1

則（=齊+尹+亍■+…+?2〃+i

1_234n+l

..+--n-+----

于=7+F+F+，2”+12"+2

山…小1f21111"+1

相減，得域+尹+呼+尹+…+尹-廣

1八

委'X1一

1〃+131〃+1

—+

22〃+242"]2"+2

1--

2

31"+13〃+3

所以7；

22"2"+'-22,,+1

【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項公式,以及己知S“求。”的基本題型，并

運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前八項和T”.

19.(2009全國卷H文)已知等差數(shù)列｛”“｝中，%%=-16,%+。6=°，求｛。〃｝前n項

和加

解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。

解：設(shè)｛%｝的公差為d,則

(q+2d)(q+6d)=-16

q+3d+q+5d=0

+Sdci,+12d——16

即r1

百=—4d

a,=-8,3[a,=8

解得41或1

d=2,[d=-2

因此Sn=-8/i+=〃（〃一9）,或S〃=8及一〃（九一1）二一〃（〃一9）

20.（2009安徽卷文）已知數(shù)列盧｝的前n項和與=卻//如，數(shù)列｛入｝的前n項和

石=2-4

（I）求數(shù)列｛邑｝與｛3｝的通項公式；

（II）設(shè)?=卓,4,證明：當(dāng)且僅當(dāng)n23時，Jyj

【思路】由“=（”=1）可求出%和么，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在

U.-S,T5*2）

求出明和生后，進而得到c“，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

【解析】(1)由于q=訪=4

22

當(dāng)九N2時,an-s〃一s〃_]=(2n+2n)-[2(n-l)+2(〃-1)]=4〃/.am=4n(nGN*)

又當(dāng)xN九時或=7>&「(2-6J-(2-bm.x)/.2bn=%

數(shù)列也｝項與等比數(shù)列,其首項為1,公比為;.?/“=g)"T

1116(〃+lf?《嚴(yán)g

(〃+1尸

2

⑵由⑴知G=a；-bn=16n/.=---------f-----

2G16M22〃2

由￡1±L<1得(〃+1)<1即〃2—2〃—1>0；.〃>1+也即"N3

C.2〃

又〃23時（"+|）2<1成立,即9包<1由于。>0恒成立.

2/C“

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，C?+1<C?

21.(2009江西卷文)數(shù)列｛4｝的通項a“=〃2(cos2r--sin23-),其前〃項和為S“.

⑴求S.；

(2)求數(shù)列｛b)的前n項和7；.

n,4n

解：⑴由于cos?絲一sin之竺=cos型^,故

333

S3k=(q+4+。3)+(&+45+&)+…+(4*-2+。3"1+a3k)

=(.U+3，)+(--+G)+...+(-即2)2+"-吸的))

222

133118攵—5[(9攵+4)

22

S…Slx"也

。k(4-9k)(3k—1,3k-21

n1

〃=3左—2

一§—1

(n+l)(l-3n)

n=3k-1(keN*)

6

〃(3〃+4)

n=3k

6，

S3,,_9〃+4

(2)b

n"?4"-24

9/2+4

Tn=-[—+^+...+

"24424〃

什1no229〃+4]

4q=5口3+了+…+下

兩式相減得

99

1m999n+414~4"9n+419n

3T=-[13+-+---+—------]=-[13+2_7--------]=8--e一一丁工，

“24r4"2j14"22"-322,1+1

4

22.（2009天津卷文）已知等差數(shù)列｛凡｝的公差d不為0,設(shè)S“=/+牝。+…+即/i

7“=/一的4+…,qw0,〃wN

(I)若q=l,%=163=15，求數(shù)列{a,』的通項公式；

(II)若為=d,且S，S2，S3成等比數(shù)列，求q的值。

(III)若q#±l,證明(1—q)S?”_Q+q)T,“=2dq(l_￡N*

(1)解：由題設(shè)，S3=q+(%+d)q+(a]+2d)/,將q=1,為=LS3=15

代入解得1=4,所以?！?4〃-3〃eN*

2

(2)解：=d,S}=d,S2-d+2dq,S3=d+2dq+?>dq,'：S,,S2,S3成等比數(shù)列,

所以SZ2=S1S3，即(d+2dq)2=d(d+2dq+3dq2),注意到dwO,整理得q=—2

(3)證明：由題設(shè)，可得￡=/i,則

S2n=4+424+a?[-+','1①

a2a(n

^2?-\-a2q+a3q-----2nl"'②

①-②得，

$2.一丁2?=2(a?q+aaq3T■…+a2nq'"')

①+②得，

T2

S2?+2n=2(alq+aiq+…+。2時1產(chǎn)?)③

③式兩邊同乘以q,得q(S2“+72")=2(%4+。3“2+…+a2"-iq2"-2)

2

所以(1一4電"一(1+q)T2n=2d(q+/+…+q-')=?叫(J?")

i-q

(3)證明：G-。2=(q也+(嘰,一%)b2+(akn-a,)bn

=(%+(k2—l2)dbxq4---+-{kn—ln)dbiq"

因為dwO,awO,所以

1?2=(占一/])+(%2—，2)q+…+(%“一/〃)"1

db{

若k〃Win，取i=n,

若￡,=/“，取i滿足女產(chǎn)小且kjj,i+l<j<n

由(1)(2)及題設(shè)知，且

=(k[-]])+(女2一，2)。+…+(%“一

①當(dāng)先<4時，kj—4K—1,由q2〃，kj—lj工q_1,i=T,2…,i—1

即匕T斗一1,(k2-l2)q<q(q—1),???(攵一一時以<q(q—1產(chǎn)

所以----W(q—1)+(q—l)q+??,+(4—l)q'一一q’1=(<y—1)——-----q'——1

db[\-q

因此C]一JW0

②當(dāng)&〉/,時，同理可得幺二"w-l,因此C|一。2=0

db[

綜上，Gwc2

【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等基本

知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。

23.(2009全國卷H理)設(shè)數(shù)列｛0“｝的前〃項和為S,,已知q=1,S,+|=4%+2

⑴設(shè)a=an+l-24,證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

(II)求數(shù)列｛為｝的通項公式。

解：(I)由q=1,及S?+1=4a“+2,有q+4=4q+2,4=3q+2=5,；.bx=a2-2al-3

由S,用=4?！?2,...①則當(dāng)〃N2時，有S“=4a,i+2.????②

②一①得=4%—44T，,4+1-2a,=2(a〃-2a?_,)

又?；b“=a,.—2a“，.?也=2b,r也,｝是首項瓦=3,公比為2的等比數(shù)列.

(II)由⑴可得”=。的—2a“=3?2"T,3

""十Iit2〃+|2”4

二數(shù)列｛整｝是首項為g，公差為I的等比數(shù)列?

務(wù)=:=]an=(3〃-l>2”-2

2"2444

評析：第(I)問思路明確，只需利用已知條件尋找“與的關(guān)系即可.

第(II)問中由(I)易得氏+|-26,=3-2"T,這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)列的模型：

a?+1=pa“+q"(p,q為常數(shù))，主要的處理手段是兩邊除以/加?

總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、II這兩套試題都將數(shù)列題前置，主要考查構(gòu)造新數(shù)列

(全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法)，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮

法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和?線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本

技能，重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。

24.(2009遼寧卷文)等比數(shù)列｛4｝的前n項和為s“，已知R,53,S2成等差數(shù)列

(1)求｛4｝的公比q；

(2)求q—a3=3,求s“

解：(I)依題意有

2

ax+(%+〃u)=2(%+。|4+。［夕)

由于％。0,故

2/+4=0

又q工。,從而q=-g5分

(II)由已知可得卬-%(—■!■)2=3

2

故為=4

4(1一(一:)")區(qū),

從而Sn=--------f—=-(l-(--)n)10分

1-(-1)32

2

a

25.(2009陜西卷文)已知數(shù)列｛?！埃凉M足，a=1.a2=2,all+2=",n&N*.

(I)令a證明：｛2｝是等比數(shù)列；

(11)求｛4｝的通項公式。

（i）證,二4一q二1，

a=

當(dāng)〃22時，bn=an+l-a?="入；""~<'~\伍"一/一)=~1

所以｛〃｝是以1為首項，-g為公比的等比數(shù)列。

（2）解由（1）知"=。,用

52

當(dāng)”=1時,-1-6l|o

3~3

所以為=5|—京7一1了（〃?。?。

26.（2009湖北卷文）己知｛a.｝是一個公差大于0的等差數(shù)列,

且滿足a3a6=55,az+a7=16.

（I）求數(shù)列值力的通項公式：

hhhh

（H）若數(shù)列｛a“｝和數(shù)列｛bj滿足等式：a,==改+寸+才+…才（〃為正整數(shù)），求數(shù)列

｛b,.）的前n項和S,,

解（1）解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則依題設(shè)d>0

由a2+a?=16.得2q+7d=16①

由％?&=55,得(4+2d)(q+5d)=55②

由①得2q=16—7d將其代入②得(16—3d)(16+3d)=22O。即256—9d?=220

d2=4,又"〉0,...〃=2,代入①得a?=1

a”—1+(〃—1)?2—2〃—1

(2)令%=優(yōu)，則有a,=q+c2+...+cn,an+l=q+%+???+*

4+1-勺=c"+i，由⑴得q=1,%+]-%=2

兩式相減得c?+1=2,%=2(〃>2),即當(dāng)〃>2時，bn=2M又當(dāng)n=l時，4=2q=2

[2,(〃=1)

?b=<

.,2,,+1(n>2)

于是S“=伉+%+4...+a=2+23+24+...+22

=2+2、23+24+...+2i差千

-4=2,,+2-6,gPS?=2,1+2-6

27.（2009福建卷文）等比數(shù)列｛氏｝中，已知4=2,%=16

（I）求數(shù)列伍“｝的通項公式；

（II）若小,應(yīng)分別為等差數(shù)列｛2｝的第3項和第5項，試求數(shù)列也,｝的通項公式及前〃

項和S,,。

解：（I）設(shè)｛%｝的公比為q

由已知得16=27,解得g=2

（II）由（I）得％=8，tz5=32,則4=8,么=32

仿+21=8伉=T6

設(shè)也J的公差為d，則有一解得1

b｝+4d=32=12

從而打=—16+12（〃—1）=12〃—28

所以數(shù)列｛"｝的前〃項和S,=..6+；2匕28）=6〃2_22〃

28（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（I）問3分，（H）問4分，（HD問5分）

已知q=l,a,=4,a“+2=4。,“|+可，勿=^-,?GN*.

猴

（I）求仇也也的值;

（H）設(shè)%=6,也用,S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，求證：5?>17?；

（HI）求證：瓦-“卜-!-

264172

1772

解：（I）,/a2=4,%=17,%=72,所以4=4力2=1也=—

(n)由?n+2=44M+?！暗眯?4+.即2M=4+J

J%b,.

所以當(dāng)“22時,b,>4于是％=瓦力2=17,c,=b/用=4b“+1>17(〃22)

所以S〃=q+J+…+%之17〃

I|7

(III)當(dāng)〃=1時，結(jié)論<訕成立

11K—卜1

當(dāng)心2時，有限-a=14+(-4--1=1士701^-1^-如I

b.b,ibnbn_t17

…也一仇1<2(心2)

所以%-W+2-4+11+…+b2Tl

W\bn+i-bn\+\b2n~11

]/尸(5<]1

2(，嚴(yán)+(_1)"

+???+(—)2"-2(neN”)

41717174,1641T~2

1-------

17

2005——2008年高考題

一、選擇題

1.（2008天津）若等差數(shù)列｛g｝的前5項和§5=25,且4=3,則%=（）

A.12B.13C.14D.15

答案B

2.（2008陜西）已知｛”“｝是等差數(shù)列，%+%=4,%+4=28,則該數(shù)列前10項和耳。

等于（）

A.64B.100C.110D.120

答案B

3.（2008廣東）記等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,，若4=；，54=20,則S$=（）

A.16B.24C.36D.48

答案D

4.（2008浙江）已知｛%｝是等比數(shù)列，a2=2,%=；，則。|勺+。2a3+…+=

（）

A.16(l-4-n)B.6(1-2-")

C.一（1一4一"）D.—（1-2-"）

33

答案C

5.（2008四川）已知等比數(shù)列（a,J中/=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,0）U（l,+°o）

C.[3,+oo）D.（―00,—1]U[3,4-00）

答案D

6.（2008福建）設(shè)｛&｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若m=7,注=16,則數(shù)列｛a｝前7項的和

為（）

A.63B.64C.127D.128

答案C

7.（2007重慶）在等比數(shù)列｛a｝中，包=8,a3=64,,則公比q為（）

A.2B.3C.4D.8

答案A

8.（2007安徽）等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S,若g=1，%=3,則S4=（）

A.12B.10C.8D.6

答案B

9.（2007遼寧）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若邑=9,S6=36,則%+。8+。9=

（）

A.63B.45C.36D.27

答案B

10.（2007湖南）在等比數(shù)列｛aj（neN*）中，若6=1,%=』，則該數(shù)列的前1。項

8

和為（）

clcC1八C1cl

A.2——B.2—z-C.2—rrD.2—~

24222102"

答案B

11.（2007湖北）已知兩個等差數(shù)列｛4｝和｛〃｝的前〃項和分別為4“和紇，且

4=21上生，則使得區(qū)為整數(shù)的正整數(shù)〃的個數(shù)是（）

4〃+3bn

A.2B.3C.4D.5

答案D

12.（2007寧夏）已知a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=/一2x+3的頂點是（6,c）,則

ad等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案D

13.（2007四川）等差數(shù)列｛a｝中,a,=l,a+a=14,其前〃項和S,=100,則?。ǎ?/p>

A.9B.10C.11D.12

答案B

14.（2006湖北）若互不相等的實數(shù)ahc成等差數(shù)列，c,a,b成等比數(shù)列，且

o+3b+c=10,則。二

A.4B.2C.-2D.-4

答案D

解析由互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)@=13—5c=b+d,山。+3〃+c=l0可得

b=2,所以a=2—d,c=2+d,又“，“力成等比數(shù)列可得d=6,所以a=-4,選D

15.（2005福建）已知等差數(shù)列｛%｝中，%+的=16,4=L則由2的值是（）

A.15B.30C.31D.64

答案A

16.（2005江蘇卷）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，首項團=3,前三項和為21,則

&）+S1+35=（）

A.33B.72C.84D.189

答案C

二、填空題

17.（2008四川）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.，若S4210，S5415,則知的最大值為

答案4

18.（2008重慶）設(shè)S,=是等差數(shù)列｛a｝的前n項和，囪諄-8,%-9,則Se=.

答案-72

19.（2007全國I）等比數(shù)列｛4“｝的前〃項和為S“，已知5,2s2,3s3成等差數(shù)列，則｛4｝

的公比為.

答案-

3

20.（2007江西）已知等差數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S“，若%=21,則的+的+冬+%二

答案7

21.（2007北京）若數(shù)列｛叫的前〃項和S“=〃2_10〃（〃=1,2,3廣?），則此數(shù)列的通項公

式為；數(shù)列｛n4｝中數(shù)值最小的項是第項.

答案2n-ll

22.（2006湖南）數(shù)列｛氏｝滿足：ai=\,an+l=2a?.n=\,2,3….則

a｝+a2+???+〃”=

答案2〃-1

解析數(shù)列滿足：％=1，勾+|=2%,〃=1,2,3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，

2〃一］

-十〃2^an=---------=2，/-1

,?-2-1

三、解答題

23.（2008四川卷）.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，已知為"-2"=伍一l）S.

（I）證明：當(dāng)〃=2時，｛a,是等比數(shù)列；

（II）求｛4｝的通項公式

解由題意知％=2,且如,一2"=優(yōu)一1）5“

她+「2川=3-1）“

兩式相減得-%）-2"=9-1”用

即％+i=ba.+2"①

（I）當(dāng)b=2時,由①知%+1=2%+2"

于是%+i_(〃+1).2"=2%+2"-(〃+1)?2"

又％-l-2"T=l#0,所以｛a'-〃-2"T｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列。

(II)當(dāng)匕=2時，由(I)知％—“？1=2"T,即a“=("+l)2"T

當(dāng)2時，由由①得

a.一一—-2n+,=ba+2"—一—■2"+'

nn++'2-b"2-b

=ba----—?2"

"2-b

ba“-一—-2"

"2-b

2n=1

1r-

-^-[2"+(2-2b)bn-'^n>2

24.（2008江西卷）數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列，a“為正整數(shù)，其前〃項和為S"，數(shù)列｛"｝為等

比數(shù)列，且q=3，A=l,數(shù)列｛%｝是公比為64的等比數(shù)列，h2S2=64.

（1）求?！耙玻?/p>

3

(2)求證--1--H---1---<—.

S,S2Sn4

解：(1)設(shè)僅“｝的公差為d,｛〃,｝的公比為q,則d為正整數(shù),

'

a?=3+(n-l)J,bn=q~

b3+wJ

=JL------=qd=64=26

依題意有|%q①

S2b2=(6+d)q=64

由(6+d)q=64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一,

解①得d=2,q=8

故。“=3+2(〃-1)=2〃+1也=8"T

(2)Sn=3+5H---F(2〃+1)=n(n+2)

1111111

------1--------F,??H------=----------F2^4+3^5+■?■+

S]S2Sn1x3n(n+2)

11L3+…+L，)

(1----1----

232435nn+2

----)<—

n+2---4

25..(2008湖北).已知數(shù)列｛4｝和｛包｝滿足:

2

4=幾，-4也=(―1)"(a“一3〃+21),其中X為實數(shù)，〃為正整數(shù).

(I)對任意實數(shù)幾，證明數(shù)列｛4“｝不是等比數(shù)列;

(II)試判斷數(shù)列｛2｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論;

(HI)設(shè)0<。<6,S.為數(shù)列｛〃,｝的前〃項和.是否存在實數(shù)2,使得對任意正整數(shù)〃，都

有

a<S“<%?若存在，求4的取值范圍；若不存在，說明理由.

本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想,

考查綜合分析問題的能力和推理認(rèn)證能力，(滿分14分)

(I)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)入，使｛4｝是等比數(shù)列，則有提=a0,即

(2九—3>=4(3/1—4)=3/12—44+9=^42—4%=9=0,矛盾.

3999

所以｛a.｝不是等比數(shù)列.

2

(II)解：因為以二(-1嚴(yán)［打［3(止1)+2口=(-1嚴(yán)(-為-2加14)

3

22

=—(-1)'?(a廠3/?+21)=--bn

33

又玩I入+18),所以

當(dāng)人=-18,力尸0(〃￡N+),此時｛兒｝不是等比數(shù)列：

當(dāng)人2—18時?，斤(A+⑻W0,由上可知4H0,(n6N*).

b.3

2

故當(dāng)入片-18時，數(shù)列｛ZU是以一(入+18)為首項，一一為公比的等比數(shù)列.

3

(in)由(n)知，當(dāng)入=-18,4=0,s方o,不滿足題目要求.

2

XWT8,故知4=-(A+18)?(一—)j于是可得

3

S,=-|(/l+18)-1-(-|)rt.

要使水S,〈。對任意正整數(shù)〃成立,

32

即水一一(入+18)?[1—(——)"](b(77^N)

53

/口a3/cyc、b

得-----廠<-(2+18)<.....-

①

2

令/(〃)=>(——)，貝I」

當(dāng)〃為正奇數(shù)時，1"(〃)<|；當(dāng)〃為正偶數(shù)時/(?)<1,

.../?(〃)的最大值為AD=-,f(")的最小值為F(2)=-,

39

533

于是，由①式得己a〈-士(A+18),〈2bo—b—18<4<—3〃—18.

955

當(dāng)水b43a時，由一618N=-3kl8,不存在實數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)於3a存在實數(shù)X，使得對任意正整數(shù)n,都有a<S?<2.

26.(2005北京)數(shù)列｛&｝的前〃項和為S,且a=l,爐1，2,3,..,求

(I)如的國的值及數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)。2+。4+〃6+…+a2”的值?

解：(I)由Q\—\ta〃+i=1S“，n=L2,3,...,得

11111、411、16

a2=4S1o==Q，%=+%)=3，=QS3=Q(〃]+%+〃3)=寸

114

由4+1一?！?)(S,—S,i)=]a“(n》2),得“?=§a“(n22)，

又az=；,所以a,=|(1)"-2(n22),

n=1

數(shù)列｛&｝的通項公式為4=<14

27.（2005福建）已知｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，且％,%，的成等差數(shù)列.

（I）求q的值；

（［I）設(shè)｛4｝是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為S“