2023年上海中考數(shù)學(xué)真題(5年)與一二模題(1年)分類匯編幾何中檔題含詳解

專題05幾何中檔題

1.（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形4BC中，A8=4C,點(diǎn)E,尸在線段BC上,

點(diǎn)。在線段上，且CF=BE,AE2=AQAB.

求證：(1)ZCAE=ZBAF；

(2)CFFQ^AFBQ.

2.（2021?上海）如圖，在圓。中，弦等于弦CD,且相交于點(diǎn)尸，其中E、F為AB、

CD中點(diǎn).

（1）證明：OP1EF；

（2）連接AF、AC、CE,若AF//OP,證明：四邊形AFEC為矩形.

3.（2020?上海）已知：如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊43、4）上，BE=DF,

CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

（1）求證：\BECsMCH；

（2）如果5E?=A8-AE,求證：AG=DF.

4.（2019?上海）已知：如圖，AB.4c是0O的兩條弦，且AB=AC,。是AO延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)交0。于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CD并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)F.

（1）求證：BD=CD

(2)如果鉆2=AO.A￡>,求證：四邊形ABAC是菱形.

5.(2018?上海)已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BELAP,DFVAP,

垂足分別是點(diǎn)E、F.

(1)求證：EF=AE-BE；

(2)連接防，如果竺=士二.求證：EF=EP.

BFAD

6.(2022?靜安區(qū)二模)已知：如圖，在四邊形488中，點(diǎn)E、尸分別是邊BC、DC的

中點(diǎn)，AE>AF分別交8。于點(diǎn)M、N,且.BM=MN=ND,聯(lián)結(jié)CM、CN.

(1)求證：四邊形4WCN是平行四邊形；

(2)如果反=AF,求證：四邊形A8CD是菱形.

7.(2022?閔行區(qū)二模)如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)E在邊8c上，將線段A￡繞點(diǎn)E順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，此時(shí)點(diǎn)4落在點(diǎn)F處，線段即交C￡>于點(diǎn)M.過(guò)點(diǎn)F作尸G1BC,交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=FG;

(2)如果ABSM=EC-AE,聯(lián)結(jié)AW、DE,求證：AM垂直平分DE.

AD

M

8.(2022?閔行區(qū)二模)直角三角形中一個(gè)銳角的大小與兩條邊的長(zhǎng)度的比值之間有明確的

聯(lián)系，我們用銳角三角比來(lái)表示.類似的，在等腰三角形中也可以建立邊角之間的聯(lián)系，

我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長(zhǎng)度的比值叫做頂角的正對(duì).

如圖，在AABC中，加=AC,頂角A的正對(duì)記作preA,這時(shí)*以=第=黑.

仔細(xì)閱讀上述關(guān)于頂角的正對(duì)的定義，解決下列問(wèn)題：

(1)pre6O°的值為.

1

(A)一;

2

(B)1;

(C)叵

2

(D)2.

(2)對(duì)于0。<4<180。，ZA的正對(duì)值preA的取值范圍是.

(3)如果sinA*,其中ZA為銳角，試求pre4的值.

9.(2022?黃浦區(qū)二模)如圖，己知力、B、C是圓。上的三點(diǎn)，AB=AC,M、N分別

是AB、4c的中點(diǎn)，E、〃分別是。河、QV上的點(diǎn).

(1)求證：ZAOM=ZAON；

(2)如果AE//QN,AFIIOM,求證：

2

A

10.(2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知：如圖，在A48c中，。是邊8c上一點(diǎn)，G是線段4)上一

點(diǎn)，且AG=2GD,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)E.

AE2BD

(1)求證:

~CEBC

(2)如果。是邊BC的中點(diǎn)，P是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=BC,延長(zhǎng)線段施，交

線段AP于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)CV、CG,求證：四邊形AGCF是平行四邊形.

11.(2022?金山區(qū)二模)如圖，已知：AABC和AM火都是等邊三角形，其中點(diǎn)。在邊8c

上，點(diǎn)廠是A5邊上一點(diǎn)，且BF=CD.

(1)求證：DE//CF；

(2)聯(lián)結(jié)。氏，設(shè)4)、CF的交點(diǎn)為M,如果DF"FM-FC,求證：DFIIAC.

E

12.(2022?寶山區(qū)二模)已知：如圖，點(diǎn)。、E、尸分別在AABC的邊AB、AC、BC上,

DFIIAC,BD=2AD,AE=2EC.

(1)如果AB=24C,求證：四邊形4)正是菱形；

(2)如果45=①4。，且5c=1,聯(lián)結(jié)DE,求DE的長(zhǎng).

A

D.

13.（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，在矩形4SCD中，點(diǎn)E是邊C3上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、

。不重合），過(guò)點(diǎn)A作交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)即交邊45于點(diǎn)G,連

接AC.

（1）求證：AAEF^ADAC；

（2）如果正平分ZA尸5,聯(lián)結(jié)CG,求證：四邊形AGCE為菱形.

14.（2022?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形/WCC中，ZABC=NBCD,點(diǎn)￡t在邊8c

上，且4E//CD,DE/IAB,作Cr//4。交線段AEt于點(diǎn)尸，連接跖.

(1)求證：AAfiF^AE4D；

(2)$0^BE2=ABEF,求證：NECF=NBAE.

15.（2022?楊浦區(qū)二模）已知：如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC與比＞相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

E、產(chǎn)分別是線段比、OZ）的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)"、BE.

（1）求證：四邊形ABEF是等腰梯形；

（2）過(guò)點(diǎn)。作OM_LAB,垂足為點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)ME,如果NQME=N84C,求證：四邊形

AMEF是菱形.

DC

16.(2022?松江區(qū)二模)已知：如圖，兩個(gè)Afi針和A￡8C中，DA=DB,EB=EC,

ZADB=NBEC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)、ED,AE與BD交于點(diǎn)F.

/1、十fDFAB

(1)求證：——=——；

BFBC

(2)如果尸求證：DF=BE.

17.(2022?嘉定區(qū)二模)如圖，在四邊形A8CD中，4c是對(duì)角線，4c=AO,點(diǎn)E在邊BC

上，AB=AE,ZBAE=Z.CAD,聯(lián)結(jié)￡>E.

(1)求證：BC=DE；

(2)當(dāng)AC=8C時(shí)，求證：四邊形488是平行四邊形.

18.(2022?奉賢區(qū)二模)已知：如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊49的延長(zhǎng)線上，DE=DC,

聯(lián)結(jié)8E,分別交邊。C、對(duì)角線4c于點(diǎn)尸、G,AD=FD.

(1)求證：ACVBE-,

/八七、市CFAC

(2)求證：=-.

DFBE

E,

19.（2022?虹口區(qū)二模）已知：如圖，AB.AC是0。的兩條弦，AB=AC,點(diǎn)M、N分

別在弦43、AC上，且AM=CV,AM<AN,聯(lián)結(jié)OM、ON.

（1）求證：OM=ON；

（2）當(dāng)乙RAC為銳角時(shí)，如果AO2=AM-AC,求證：四邊形AMON為等腰梯形.

20.（2022?普陀區(qū)二模）已知：如圖，四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,E為對(duì)角

線皮）的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AD上，CF交BD于點(diǎn)、G,CF//AE,CF='BD.

（1）求證：四邊形AECF為菱形;

(2)如果ZDCG=ZDEC,求證：A&=AD-DC.

21.（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知正方形，以43為邊在正方形外作等邊A4BE,

過(guò)點(diǎn)E作EFLAB與邊、8分別交于點(diǎn)尸、點(diǎn)G,點(diǎn)。在線段EG上，且。0=8.

（1）求證：AEI/DO；

（2）聯(lián)結(jié)40、DE,DE分別交AO、4?于點(diǎn)M、Q,求證：絲=絲.

ADDM

E

22.(2022?楊浦區(qū)三模)已知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。、E分

別是邊AB、4c的中點(diǎn)，C尸//AB交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形4丸才是菱形；

(2)聯(lián)結(jié)班如果BE_LC￡),求證：AB=y12BE.

23.(2022?徐匯區(qū)模擬)如圖，四邊形ABCE中，ABAC=90°,AB=AC,8尸1CE于點(diǎn)

F,點(diǎn)、D為BF上一點(diǎn),且NB4O=NC4E.

(1)求證：AD^AE；

(2)設(shè)即交AC于點(diǎn)G,若B6=2BDBG,判斷四邊形WE的形狀，并證明.

24.(2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模)如圖，已知等邊A鉆C中，。、尸分別是邊BC、43上的點(diǎn),

且CD=8/，以為邊向左作等邊AADE,聯(lián)結(jié)CF、EF.

(1)求證：四邊形CC砂是平行四邊形；

(2)當(dāng)N￡)EF=45。時(shí)，求膽的值.

CD

A

F

25.(2022?寶山區(qū)模擬)已知：如圖，在平行四邊形A6C。中，AC、DB交于點(diǎn)E,點(diǎn)、

產(chǎn)在的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)反、DF,且/。所=NAOC.

EF_AB

(1)求證:

(2)如果8￡)2=2AO?DF,求證：平行四邊形A8CD是矩形.

26.(2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)如圖，已知0。經(jīng)過(guò)菱形48CD的頂點(diǎn)A,C,且與CD相

切，直徑CF交48于點(diǎn)E.

(1)求證：49與0。相切；

(2)若℃=3,求A"的值.

CF4CE

27.(2022?普陀區(qū)模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC.ZBCD=90°,BC=DC,

點(diǎn)E在對(duì)角線班?上，作NECF=90。，連接小，且滿足CF=EC.

(1)求證：BDVDF.

(2)當(dāng)BC2=OE.￡)8時(shí)，試判斷四邊形DECF的形狀，并說(shuō)明理由.

28.（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在A/WC中，ZBAC=90°.4）是BC邊上的高，點(diǎn)E在

線段DC上，EFLAB,EG1AC,垂足分別為F,G.

求十證f：⑴/1\——EG=——CG

ADCD

(2)FD1DG.

29.（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，已知梯形中，AB//CD,ZD=90°,BE平分乙iBC,

交CD于點(diǎn)E,尸是他的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)A￡、即，且

求證：（1）四邊形BCEF是菱形;

(2)BEAE=2AD-BC.

30.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在A/WC中，鉆=AC,點(diǎn)Z）在8c上，以4）、AE

為腰做等腰AADE,且ZADE=ZABC,連接CE,過(guò)E作EF//BC交C4延長(zhǎng)線于F,連

接所.

（1）求證：ZECA=ZABC；

（2）如果■=求證：四邊形即￡>E是矩形.

31.(2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)如圖，A4BC的邊AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)。

是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)。關(guān)于BC對(duì)稱，QE交邊BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)。作DE的垂線

交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，線段班交AC于點(diǎn)N.

(1)求證：四邊形CM/W是矩形；

(2)聯(lián)結(jié)CD,當(dāng)時(shí)，求證：EFCB=2ABME.

32.(2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在梯形A8C。中，AD//BC,AB=DC,過(guò)點(diǎn)。作

DE1BC,垂足為E,并延長(zhǎng)OE至F,使歷=DE.連接M、CF、AC.

(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

(2)如果DE?=BE?CE,求證：四邊形48尸。是矩形.

33.(2022?青浦區(qū)模擬)已知：如圖，在四邊形A8C。中，ADIIBC,氤E、F分別在邊

AB,4)上，OE與CF相交于點(diǎn)G.CDi=CGCF,NAED=NCFD.

(1)求證：AB=CD；

(2)延長(zhǎng)4)至點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)CM,當(dāng)CF=CW時(shí)，求證：EAAB=ADMD.

B

34.(2022?松江區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在A4BC中，點(diǎn)尸是AC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與8c

平行的直線「。，交至于點(diǎn)。，點(diǎn)。在線段BC上，連接4)交線段產(chǎn)。于點(diǎn)E,且

金=絲，點(diǎn)G在8c延長(zhǎng)線上，幺CG的平分線交直線P。于點(diǎn)尸.

CDBD

(1)求證：PC=PE；

(2)當(dāng)P是邊4c的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形4EC尸是矩形.

專題05幾何中檔題

1.（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形48c中，=點(diǎn)尸在線段8C上,

點(diǎn)。在線段上，且CF=BE,AE2=AQAB.

求證：（1）ZCAE=ZBAF；

（2）CF-FQ=AF?BQ.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）-.?AB=AC,

:.NB=NC，

???CF=BE,

;.CF-EF=BE-EF,

B|JCE=BF,

在A4CE和A/W中，

AC=AB

<NC=NB,

CE=BF

:.AACE^^ABF（SAS）,

:.ZCAE=ZBAF；

（2）-.-MCE=AA^F,

：.AE=AFfZCAE=/BAF,

???AE2=AQAB,AC=AB,

AE_AC

…~AQ~~AF'

:.\ACE^>\AFQ,

：.ZAEC=ZAQF,

ZAEF=ZBQF,

-/AE=AFf

:.ZAEF=ZAFE,

:.ZBQF=ZAFE,

???ZB=ZC,

:.\CAF^\BFQ,

CF_AF

一麗一瓦'

即CF,FQ=AF,BQ.

2.（2021?上海）如圖，在圓O中，弦旗等于弦8,且相交于點(diǎn)P,其中E、尸為然、

CD中點(diǎn).

（1）證明：OP工EF；

（2）連接AF、AC>CE,若AF//OP,證明：四邊形AFEC為矩形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：連接OP，EF,OE,OF,OB=OD.

-/AE=￡8,CF=FD,AB=CD,

OELAB,OFLCD,BE=DF,

:"OEB=/OFD=90°,

??,OB=OD,

RtAOEB=RtAOFD(HL),

OE=OF,

?.?NOEP=NOFP=90°,OP=OP,

RtAOPE=RtAOPF(HL),

.?.PE=PF,

?.?OE=OF,

OP1EF.

(2)證明：連接AC,設(shè)所交OP于J.

?/AB=CDfAE=EB,CF=DF,

AE=CF，BE=DF,

?.?PE=PF,

PA=PC,

?.?PE=PF,OE=OF,

.?.OP垂直平分線段,

??.EJ=JF,

-OPUAF，

，EP=PA,

PC=PF,PA=PE,

四邊形"EC是平行四邊形,

?.,EA=CF,

/.四邊形AFEC是矩形.

3.(2020?上海)已知：如圖，在菱形ABCQ中，點(diǎn)七、廠分別在邊4?、4)上，BE=DF,

CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：MECSABCH；

(2)如果求證：AG=DF.

【詳解】(1)證明：，?四邊形/WCQ是菱形,

:.CD=CB,/D=/B,

???DF=BE,

:.ACDF"CBE(SAS),

:"DCF=ZBCE，

-;CD11BH,

：.ZH=ZDCF,

：.ZH=ZBCE,

?.?ZB=ZB,

(2)證明：?.?BE?=AB-AE,

AB_BE

"BE~AE^

?.-CB//DG,

:.\AEG^\BEC，

AE_AG

AG_BE

???BC=AB,

AG=BE,

?/\CDF=\CBE，

DF=BE,

...AG=DF.

4.（2019?上海）已知：如圖，AB>AC是0O的兩條弦，且AB=AC,。是AO延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8。并延長(zhǎng)交0。于點(diǎn)￡,聯(lián)結(jié)CD并延長(zhǎng)交G）。于點(diǎn)尸.

（1）求證：BD=CD；

（2）如果AB2=AO?A￡）,求證：四邊形/WDC是菱形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）如圖1,連接8C,OB,OC,

A

C

圖1

???4?、AC是0。的兩條弦，且A8=AC,

???A在8c的垂直平分線上，

?：OB=OA=OC,

。在8C的垂直平分線上，

AO垂直平分8C，

BD=CD；

AB_AD

一~AO~~AB'

?,-ZBAO=ZDAB,

:.\ABO^/SADB,

：.ZOBA=ZADB,

-/OA=OB,

:.ZOBA=ZOAB,

：.ZOAB=ZBDA,

??.AB=BD,

?.?AB=ACfBD=CD,

;.AB=AC=BD=CD,

.??四邊形ABDC是菱形.

5.(2018?上海)已知：如圖，正方形A8CZ)中，P是邊8C上一點(diǎn)，BELAP,DF1.AP,

垂足分別是點(diǎn)E、F.

(1)求證：EF=AE-BE；

(2)連接胡，如果求證：EF=EP.

BFAD

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）?.?四邊形48co為正方形,

：.AB=AD,ABAD=90°,

-;BEVAP,DFLAP,

：.Z.BEA=ZAFD=90°,

?.?N1+N2=9O。，N2+N3=90。，

.\Z1=Z3,

在AAB￡和\DAF中

ZBEA=ZAFD

<Z1=Z3,

AB=DA

:.\ABE=M）AF,

BE=AF,

EF=AE-AF=AE-BE；

⑵如圖一?噂嗡

而AF=的，

BEDF

~BF~~AD

BE_BF

~DF~^\D

:.ABEFS/\DFA,

?.Z4=Z3,

而N1=N3,

.\Z4=ZL

?/Z5=Z1,

.-.Z4=Z5，

即BE平分NFBP,

而B(niǎo)ELEP,

6.(2022?靜安區(qū)二模)已知：如圖，在四邊形中，點(diǎn)￡、尸分別是邊8C、2JC的

中點(diǎn)，AE>AF分別交53于點(diǎn)M、N,且BM=MN=ND,聯(lián)結(jié)CM、CN.

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)如果他=跖，求證：四邊形是菱形.

【詳解】證明：(1)；點(diǎn)E、尸分別是邊BC、0c的中點(diǎn)，BM=MN=ND,

ME是\BCN的中位線，NF是ACDM的中位線，

ME//NC,NFIICM,

四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)如圖，連接AC交加手。，連接￡F,

由(1)可知，四邊形40CN是平行四邊形，

;.AM=CN,OA=OC,OM=ON,

BM=ND,

OM+BM=ON+ND,

B|JOB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

-,-AE^AF,

:.ZAEF=ZAFE,

?.?點(diǎn)E、/分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，

是ABCQ的中位線，

EF//BD,

"AMN=ZAEF，4ANM=ZAFE.

:.ZAMN=ZANM,

:.AM=AN,

OM=ON,

AC1MN,

即ACYBD,

平行四邊形ABC。是菱形.

7.（2022?閔行區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，線段所交C。于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作FGLBC,交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：BE=FG;

（2）如果,聯(lián)結(jié)AW、DE,求證：AM垂直平分QE.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）?.?四邊形抽。是矩形,

:"B=NECD=90°,

：.ZBAE+ZBEA=90°,

又；FG1.BC>

:2BGF=4=90°,

?/線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,即：ZAEF=90°,

:.AGEF+Z.BEA=90°,

:.NBAE=NGEF,

在A4BE與AEGF中,

/B=/BGF

<NBAE=NGEF

AE=FE

:.^ABE=^EGF(AAS),

：.BE=FG；

?.?ZB=NECD，/BAE=/GEF,

:.\ABE^\ECM,

AB_AE

''拓一說(shuō)’

???AB?DM=ECAE,

AB_AE

''EC~DM'

AE_AE

*,~EM~~DMy

，EM=DM,

在RtAAEM與RtAADM中，

JEM=DM

\AM=AM'

...RtAAEM=RtAADM(HL),

/.AD=AE.

.?.點(diǎn)A在線段QE的垂直平分線上，

?；EM=DM,

.?.點(diǎn)M在線段DE的垂直平分線上，

AM垂直平分DE.

8.(2022?閔行區(qū)二模)直角三角形中一個(gè)銳角的大小與兩條邊的長(zhǎng)度的比值之間有明確的

聯(lián)系，我們用銳角三角比來(lái)表示.類似的，在等腰三角形中也可以建立邊角之間的聯(lián)系，

我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長(zhǎng)度的比值叫做頂角的正對(duì).

如圖，在AABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)記作preA,這時(shí)=9

仔細(xì)閱讀上述關(guān)于頂角的正對(duì)的定義，解決下列問(wèn)題：

(1)pre60°的值為.

(A)-；

2

(B)1；

(C)必；

2

(D)2.

(2)對(duì)于0。<4<180。，ZA的正對(duì)值preA的取值范圍是

(3)如果sin4=-^,其中ZA為銳角，試求的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)在AABC中，AB=AC,乙4=60。，

：.\ABC為等邊三角形，

BC=AB,

pre600==1,

AB

故答案為：B；

(2)在AABC中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，BC<AB+AC,

?.?AB=AC,

BC<2AB,

.-.PreA=^<2,

AB

?.?preA>0,

/.0<preA<2?

故答案為：0<preA<2；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)8作8。J.4c于O,則乙4￡)8=90。,

???sinA=空上

AB17

.?.設(shè)AB=17&,BD=ik(k^O),

在RtAABD中，NADB=90°,

AD=《AB?-BD?=《7幻2-(8k”=15k,

,.?AABC是等腰三角形，

：.AB=AC=\1k.

:.DC=AC-AD=2k,

在RtABCD中，BC={BDZ+CDz=J(8/"+(2k)2=2Mk,

BC2歷k2X/F7

preA=----=---------=--------

AB\7k17

9.（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是圓。上的三點(diǎn)，AB=，M、N分別

是AB、4c的中點(diǎn)，E、尸分別是OM、QV上的點(diǎn).

（1）求證：ZAOM=/AON;

（2）如果AE//QV,AFIIOM,求證：OEOM=LA（）2.

【詳解】證明：（1）?.?M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),

???OMLAB,ON.LAC,

VAB=AC,

：.AM=ANf

在RtAAMO和RtAANO中,

AO=AO

AM=AN，

/.RtAAMO=RtAANO(HL),

：.ZAOM=ZAON;

(2)-.-AE//ON，AFHOM,

四邊形AEOF是平行四邊形，NEAO=ZAON,

-.■ZAOM=乙AON,

:.ZEAO=ZAOM,

EA=EO,

四邊形AEOF是菱形，

連接￡F,與AO交于點(diǎn)H,

AO±EF,OH=-OA,

2

NOHE=NOMA=90°,ZEOH=ZAOM,

\OEH^\OAM,

OEOH

~OA~'OM'

OEOM=OHOA,

OEOM=-AO2.

10.（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知：如圖，在A4BC中，。是邊8c上一點(diǎn)，G是線段AD上一

點(diǎn)，且AG=2GD,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)E.

（2）如果。是邊8C的中點(diǎn)，P是邊8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=BC,延長(zhǎng)線段8E,交

線段于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)CF、CG,求證：四邊形4GCF是平行四邊形.

BDC

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作?！?/AC,交BE于H,

???DH11AC，

.ADHG^MEG,

DG_DH

AGAE

???AG=2GD,

:,DH=-AE,

2

?.-DH//AC，

:.ABDHS\BCE，

LAE

BDDH2

"~BC~~CE~CE

AE2BD

/.---=----;

CEBC

(2)證明：如圖，

?.?。是邊3C的中點(diǎn),

/.BC=2BD=2CD，

AE2BD?

，-----=--------=1,

CEBC

AE=CE?

?.?CP=BC=2CD，

CD

-----——,

CP3

VAG=2GD,

DG

..-----=~~,

AD3

CD_DG

…CP-AD'

又?.?ZADP=/GDC,

.△DGCS^DAP,

:"DGC=/DAP,

:.GC//AP,

..AGECSAFEA,

GECEi

-----=------=1,

EFAE

GE=EF,

四邊形AGCF是平行四邊形.

11.(2022?金山區(qū)二模)如圖，已知：AABC和AADE都是等邊三角形，其中點(diǎn)。在邊BC

上，點(diǎn)尸是他邊上一點(diǎn)，月一BF=C￡).

(1)求證：DE//CF；

(2)聯(lián)結(jié)。尸，設(shè)4)、CF的交點(diǎn)為如果DF?=FM-FC,求證：DF//AC.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：(I)如圖I,

圖1

?.?AABC是等邊三角形，

:.AC=BC,AACB=NB=60°,

在AACD和ACBF中，

AC=CB

-ZACD=NB,

CD=BF

:.\ACD=\CBF(SAS),

:.Z.CAD=ZBCF,

???A4DE是等邊三角形，

"ADE=ZACB=60°,

?.?ZADE+/BDE=ZACB+ACAD，

:"BDE=NC4￡>,

：,NBDE=/BCF,

:.DE//CF；

(2)如圖2,

圖2

DF?=FMFC,

DF_FC

,.FM-DF'

?.?NDFM=ZCFD,

:.ADFMskCFD，

:"FDM=ZFCD,

?.?ZCAD=NBCF，

:"FDM=NC4D,

：.DF//AC.

12.（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)。、E、b分別在AABC的邊、、8C上,

DF//AC,BD=2AD,AE=2EC.

（1）如果A8=2AC,求證：四邊形4）正是菱形;

（2）如果A8=島C,且8c=1,聯(lián)結(jié)QE,求QE的長(zhǎng).

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）證明：?.?8。=2皿，AE=2EC,

BDAE

麗一瓦

-;DFHAC,

BD_BF

"~AD~'CF'

BF_AE

樂(lè)一下’

EF//AB，

XvDF/MC，

四邊形石是平行四邊形，

?/AB=2AC,AE=^AC,

3

??.AE=-AB,

3

AD=AE，

四邊形4)，花是平行四邊形，

四邊形4)正是菱形；

(2)如圖，在AM〉E和AAC8中，NA是公共角，

八八-

AC0Af,-AC-AC02

A。=33=J2,_3___=_3_____V

AC~ACAC3~AB~~AB--gc一"T

.WADE^^CB,

->?BC=1,

顯

DE=—.

13.（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，在矩形A8CD中，點(diǎn)E是邊8上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、

力不重合），過(guò)點(diǎn)A作交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)即交邊45于點(diǎn)G,連

接AC.

（1）求證：AAEF^ADAC；

（2）如果正平分ZA/中，聯(lián)結(jié)CG,求證：四邊形AGCE為菱形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：(1),,?四邊形ABC。是矩形，

.?.AB//CD,AB=DC,/BCD=/DAB=/ABC=NO=90。，

:.ZABF=180。一/ABC=90°,

?.?AE1AF,

z.ZME=90°，

:"FAE-/BAE=NDAB-/BAE,

；.NBAF=NDAE,

?/ZD=ZABF=90°,

.?.AABFSMDE,

AB_AF

…AD-AE?

DC_AF

----=-----，

ADAE

??,ZD=ZME=90°,

:.\AEF^\DAC；

(2)如圖：

?.?FE平分ZAFB,

:.ZAFE=NCFE,

-.?ZFAE=ZBCD=90°,EF=EF,

:.\AFE=\CFE(AAS),

AF=CF,AE=EC,

?.?FG=FG,

:.^AFG=/^CFG(SAS),

:.ZFAG=4FCG,

???4BAF=ZDAE,

:.ZDAE=ZFCG,

?/ZZME+ZAEO=90°,ZBCG+zlDCG=90°,

:.ZDCG=ZAED，

:.AE//CG,

?/AB11CD，

??.四邊形AGCE是平行四邊形,

???AE=EC,

14.(2022?崇明區(qū)二模)已知：如圖，在四邊形/WCZ)中，乙鋁C=NBCD,點(diǎn)E在邊BC

上，RAEIICD,DEI/AB,作CF//4)交線段AE于點(diǎn)尸，連接8尸.

(1)求證：\ABF=A￡4￡>；

(2)如果求證：AECF=ZBAE.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）?：AEIICD,

:?NAEB=ZDCE，

?:DE11AB,

;.NABE=/DEC,/BAF=ZAED,

?.?/ABC=/BCD,

；"ABE=ZAEB,ZDCE=ZDEC,

/.AB=AEfDE=DC,

\-AF//CD,AD//CF,

四邊形AFCD是平行四邊形，

AF=CD,

：.AF=DE,

在AABF和AE4Z）中，

AB=AE

,Z.BAF=NAED,

AF=DE

:./^ABF=/^EAD(SAS)；

(2)-：BE2=ABEF,AB=AE,

BE_EF

…屈一礪’

又?.?ZAEB=ZBEF，

:.\EBF^NEAB，

:"FBE=/BAE,

由(1)得AABF=\EAD,

:.BF=AD,

在平行四邊形AFC。中，AD=CF,

??.BF=CF,

:"FBE=/ECF，

:.ZECF=ZBAE.

15.(2022?楊浦區(qū)二模)已知：如圖，矩形A8C。的兩條對(duì)角線AC與雙)相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

E、廠分別是線段OC、。。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、BE.

(1)求證：四邊形43￡F是等腰梯形；

(2)過(guò)點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)ME,如果N0ME=/34C,求證：四邊形

AMEF是菱形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）?.?四邊形ABC。是矩形，

:.AB//CD,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

DO=CO，AO=BO,

???點(diǎn)E、/分別是線段OC、的中點(diǎn)，

EF11DC,OE=]OC,OF=]OD,

22

:.EF//AB,OE=OF,

OF+OB=OE+OA,

即AE=BF,

四邊形ABEF是等腰梯形;

?.?點(diǎn)、E、尸分別是線段（9C、0。的中點(diǎn),

EF=-CD,

2

OA=OB,OMYAB,

AM=BM=-AB,

2

四邊形ABCD是矩形，

/.AB=CD，

:.EF=AM,

由（1）知：EFHAM,

.?.四邊形4WEF是平行四邊形，

同理：四邊形82是平行四邊形，

?.?OA=OB,

:"OAB=/OBA,

又?.?/OME=N84C,

:./OME=ZOBA,

-.-ZOME+/BME=90°,

:"OBA+NBME=90°,

.?.OBrME,

平行四邊形正是菱形，

又;四邊形是等腰梯形，

??.BE=AF,

又「BM=AM,

AF=AM,

二.四邊形AMEF是菱形.

16.（2022?松江區(qū)二模）已知：如圖，兩個(gè)和AEBC中，DA=DB,EB=EC,

Z.ADB=ZBEC,且點(diǎn)A、B、。在一條直線上，聯(lián)結(jié)ED,AE與BD交于點(diǎn)F.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：⑴?.?DA=DB,EB=EC,

DA_DB

一~EB~~EC"

?.?ZADB=/BEC,

DAAB

:.Z.DAB=NEBC,----=-----,

EBBC

：.AD//EB,

:.ZDAF=ZAEB,ZADF=ZDBE,

，AADFS"BF,

AD_DF

EB~BF

DF_AB

(2)?;BE?=BF,BD,

BE_BD

一~BF~~BEy

?“DBE=/EBF,

:公BFES^BED,

:"BEF=/BDE,

?：ZDAF=ZAEB,

:.^DAF=NBDE,

?/ZADF=ZDBE,AD=DB,

:.\ADF=\DBE{ASA),

:,DF=BE.

17.(2022?嘉定區(qū)二模)如圖，在四邊形A8CD中，4c是對(duì)角線，AC=4),點(diǎn)E在邊8c

上，AB=AE,Z.BAE=ZCAD,聯(lián)結(jié)DE.

(1)求證：BC=DE；

(2)當(dāng)AC=8C時(shí)，求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：(1)?/ZBAE=ZCAD，

??.+ZE4C=ZCAD+ZE4C,

即NBAC=Z.EAD.

在MBC與AAED中，

AB=AE

?ZBAC=ZE4D.

AC=AD

:./^ABC^^AED(SAS).

BC=DE；

(2)由(1)可知，\ABC三MED,

:.ZB=ZAED,BC=DE,AC=AD,

???AC=BC,

BC=AD=DE，

.\ZEAD=ZAED,

：.ZB=ZEAD,

?；AB=AE,

:.ZAEB=ZB,

:.ZEAD=ZAEB,

z.ADIIBC,

：.四邊形43a＞是平行四邊形.

18.(2022?奉賢區(qū)二模)己知：如圖，在矩形ABC￡)中，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，DE=DC,

聯(lián)結(jié)跖，分別交邊。C、對(duì)角線AC于點(diǎn)尸、G,AD=FD.

(1)求證：AC1BE；

c、七、工CFAC

(2)求證：——=——

DFBE

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：(1)?.?DE=DC,AD=FD,ZEDF=ZCDA=90°,

:.bCDA=AEDF(SAS),

:.ZAEG=^ACD,

vZACD+ZZMC=90°,

:.ZAEG+ZDAC=90°,

..NAGE=90°,

??.AC1BE.

(2)在矩形ABQ9中，BC//AD,BC//DE,

:.ABCFsAEDF,

CF_BC

"~DF~~DE'

?/BC=ADfDE=CD,

CF_AD

一~DF~'CD"

由(1)得乙46芯=90。=/6，ZAEG=ZACD,

:.\CDA^\EAB,

AC_AD

---=---?

BEAB

?.?AB=CD,

AC_AD

一'BE~'CD'

CFAC

,DF~BE'

19.(2022?虹口區(qū)二模)已知：如圖，AB、AC是0。的兩條弦，A5=AC,點(diǎn)M、N分

別在弦AB>4C上，且AM=C7V,AM<AN,聯(lián)結(jié)OM、ON.

(1)求證：OM=ON；

(2)當(dāng)N8AC為銳角時(shí)，如果AO2=AM.AC,求證：四邊形AMQV為等腰梯形.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：(1)過(guò)點(diǎn)。作OEJ_9于點(diǎn)E,OF,AC于點(diǎn)尸，如圖,

?/AB=AC,OELABfOF1AC,

??.OE=OF,AE=CF=-AB.

2

-/AM=CN,

;.AE-AM=FC-CN,

即：EM=FN.

在AOEM和AORV中，

EM=FN

?NMEO=4NF0=90°，

OE=OF

.△OEM三墳)FN(SAS).

OM=ON；

(2)連接03，如圖，

M

N

*I/y\c

VAO2=AMAC,AC=AB,

AO2=AMAB,

OA_AB

?'~OM~~OA,

?.?NM40=NOAB,

:.\OAM^\BAO，

:.ZAOM=ZB.

?/OA=OB,

J.Z.OAB=/B,

:.ZOAB=ZAOM，

OM=AM.

?.?OM=ON、

：.AM=ON.

?/OE=OF,OE±AB,OFVAC,

：.ZOAB=ZOAC，

:"AOM=ZOAC,

/.OM"AN.

AM<AN,

OM<AN,

.??四邊形AMON為梯形，

?.?AM=0N,

四邊形AMON為等腰梯形.

20.(2022?普陀區(qū)二模)已知：如圖，四邊形AfiCD中，ZBAD=ABCD=90°,E為對(duì)角

線班>的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AZ)上，CF交BD于點(diǎn)G,CF/!AE,CF=-BD.

2

(1)求證：四邊形A￡CF為菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求證：AE2=AD-DC.

A,

c

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）VABAD=90°,E為%）的中點(diǎn)，

AE=DE=-BD,

2

?.?CF=-BD,

2

AE=CF=DE,

-,-CF/IAE,

四邊形AECF是平行四邊形，

?.?/BCD=90。，E為的中點(diǎn)，

:.CE=-BD,

2

AE=CE,

.??四邊形AECF為菱形；

（2）?.?四邊形AEC廣為菱形，

:.AD//CEf

:.ZADE=ZDEC,

???Z.DCG=4DEC,

:.ZADE=ZDCG,

?.?AE//CF,

:"EAD=/CFD,

:.AADESAFCD,

AD_DE

…~CF~'CD'

:.CFDE=ADCD,

?.?AE=CF=DE,

AEi=AD?DC.

21.（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知正方形旗CD,以A5為邊在正方形外作等邊AA8E,

過(guò)點(diǎn)后作所與邊AB、CZ）分別交于點(diǎn)尸、點(diǎn)G,點(diǎn)。在線段EG上，且。O=CQ.

（1）求證：AE//DO；

(2)聯(lián)結(jié)A。、DE,￡史分別交A。、至于點(diǎn)V、Q,求證：EQ=EF

ADDM

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：?.,AABE是等邊三角形，

AE=AB,

???四邊形ABCD是正方形，

；,AB=BE=AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

???OD=CD,

OD=AE，

?.?￡F_L43,AB//CD,

：.EF1CD,

四邊形ADGF為矩形，

:.AF=DG,AD=FG,

在RtAAFE和RtADGO中，

(AE=OD

[AF=DG'

/.RtAAFE=RtADGO(HL),

/.EF=OG,

OE=FG,

AD=OE，

又???