2023-2024學年人教A版必修第二冊 平面與平面平行 學案

8.5.3平面與平面平行學習任務(wù)借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理，平面與平面平行的性質(zhì)定理，并加以證明．(直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理)如圖，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的．知識點1平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的____________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α圖形語言如果把定理中的“相交”去掉，這兩個平面是否一定平行，為什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知識點2平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線____符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?____圖形語言思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b?a∥b. ()(2)平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β?a∥b. ()類型1平面與平面平行的判定【例1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點．求證：(1)E，F(xiàn)，B，D四點共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平面與平面平行的判定方法(1)定義法：兩個平面沒有公共點．(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.[跟進訓(xùn)練]1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2平面與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖，已知平面α∥平面β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母題探究]若點P在平面α與β之間，其它條件不變．(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[跟進訓(xùn)練]2．已知三個平面α，β，γ滿足α∥β∥γ，直線a與這三個平面依次交于點A，B，C，直線b與這三個平面依次交于點E，F(xiàn)，G.求證：ABBC_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，它們的聯(lián)系如下：[跟進訓(xùn)練]3．如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥平面EFGH._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下列命題正確的是()A．一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行B．如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行D．如果一個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行2．兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關(guān)系是()A．兩兩相互平行B．兩兩相交于同一點C．兩兩相交但不一定交于同一點D．兩兩相互平行或交于同一點3．如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定4．已知α∥β，AC?α，BD?β，AB＝6且AB∥CD，則CD＝________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．線線平行、線面平行、面面平行之間關(guān)系如何轉(zhuǎn)化？2．證明直線與直線平行的方法有哪些？3．證明直線與平面平行的方法有哪些？8.5.3平面與平面平行[必備知識·情境導(dǎo)學探新知]知識點1兩條相交直線思考提示：不一定．如圖，平面α內(nèi)的兩條直線a，b均平行于β，而α與β卻相交.知識點2平行a∥b課前自主體驗(1)√(2)×[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1證明：(1)連接B1D1，∵E，F(xiàn)分別是邊B1C1，C1D1的中點，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F(xiàn)，B，D四點共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.連接MF.∵M，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.跟進訓(xùn)練1．證明：∵E，G分別是PC，BC的中點，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.例2解：(1)證明：∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，則PAAB＝PC又PA＝4，AB＝5，PC＝3.∴45＝3CD，∴CD＝故PD＝PC＋CD＝274母題探究解：(1)證明：如圖，∵PB∩PD＝P，∴PB，PC確定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.又α∥β，∴AC∥BD，(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，∴PAPB＝PCPD，即PAAB又PA＝4，AB＝5，PC＝3.∴45-4＝3PD，則跟進訓(xùn)練2．證明：連接AG交β于H，連接BH，F(xiàn)H，AE，CG.因為β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝所以ABBC＝EF例3證明：因為BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因為BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.跟進訓(xùn)練3．證明：由于四邊形EFGH是平行四邊形，∴EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.[學習效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．B[如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行．]2．A[可以想象四棱柱，由面面平行的性質(zhì)定理可得．]3．A[∵A1E∥BE1，A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1?平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF