《解直角三角形應(yīng)用舉例》1課件例3、例4、例5

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形〔2〕用數(shù)學(xué)視覺(jué)觀察世界在直角三角形中,除直角外,由兩元素求其余未知元素的過(guò)程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2〔勾股定理〕；2.解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc知識(shí)回顧(必有一邊)

溫故而知新ABC┌如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，〔1〕假設(shè)∠A=30°，BC=3，那么AC=〔2〕假設(shè)∠B=60°，AC=3，那么BC=〔3〕假設(shè)∠A=α°，AC=3，那么BC=〔4〕假設(shè)∠A=α°，BC=m，那么AC=例3：2012年6月18日“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．“神舟”九號(hào)與“天宮一號(hào)”在離地球外表343km的圓形軌道上運(yùn)行．如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球外表上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球上外表最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少？〔地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)〕

分析：從組合體中能直接看到的地球上的點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn)．·OQFPα如圖，⊙O表示地球，點(diǎn)F是組合體的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點(diǎn)Q是從組合體中觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)．的長(zhǎng)就是地面上P、Q兩點(diǎn)間的距離，為計(jì)算

的長(zhǎng)需先求出∠POQ（即a）的度數(shù).例題解：在圖中，設(shè)∠POQ=a

FQ是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴弧PQ的長(zhǎng)為當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2009.6km·OQFPα仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.介紹:例4:熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高〔結(jié)果精確到0.1m〕分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類(lèi)似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角仰角與俯角解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1mABCDαβ1.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度〔精確到0.1m〕ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋桿的高度為15.2m.練習(xí)2.如圖，沿AC方向開(kāi)山修路．為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)正好能使A，C，E成一直線〔精確到0.1m〕50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)D332.8m正好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，那么∠ABD是△BDE的一個(gè)外角

當(dāng)堂反饋3.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹(shù)頂A仰角分別是45°和30°，CD=200m，點(diǎn)C在BD上，那么樹(shù)高AB等于〔根號(hào)保存〕．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，那么折疊后重疊局部的面積為〔根號(hào)保存〕．圖3圖4

當(dāng)堂反饋6.如圖2，在離鐵塔BE120m的A處，用測(cè)角儀測(cè)量塔頂?shù)难鼋菫?0°，測(cè)角儀高AD=1.5m，那么塔高BE=_________〔根號(hào)保存〕．圖1圖25.如圖1，樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房地基間的水平距離BD為100m，塔高CD為m，那么下面結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕A．由樓頂望塔頂仰角為60°B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30°D．由樓頂望塔基俯角為30°C新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形〔3〕用數(shù)學(xué)視覺(jué)觀察世界指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°〔西南方向〕30°45°BOA東西北南方位角介紹:問(wèn)題如圖:一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西400的方向行駛40海里到達(dá)B地,再由B地向北偏西200的方向行駛40海里到達(dá)C地,那么A,C兩地的距離為_(kāi)___北A北BC40海里D有一個(gè)角是600的三角形是等邊三角形答：貨輪無(wú)觸礁危險(xiǎn)。在Rt△ADC中，∵

tan∠DCA=------∴AD=tan600x=x在Rt△ADB中，∵tan30?=----=--------AD≈12×1.732=20.784>20解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D,ABDCNN1二、探究24海里XADDCADBD

3x√X=12X+24設(shè)CD=x,那么BD=X+24例、如圖，海島A四周20海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，，航行24海里到C，在B處見(jiàn)島A在北偏西60?.在c見(jiàn)島A在北偏西30?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？例5如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)〔結(jié)果取整數(shù)〕？解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos〔90°－65°〕＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是:1.將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;(畫(huà)出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題)2.根據(jù)條件的特點(diǎn),適中選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案;4.得到實(shí)際問(wèn)題的答案.穩(wěn)固練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)?海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？BADF60°1230°BADF解：由點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x那么在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)30°60°1.如下圖，輪船以32海里每小時(shí)的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在輪船的北偏東30°處，半小時(shí)航行到B處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔Q與輪船的距離最短，求燈塔Q到B處的距離〔畫(huà)出圖像后再計(jì)算〕ABQ30°相信你能行A2．如下圖，一漁船上的漁民在A處看見(jiàn)燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時(shí)的速度向正東航行，半小時(shí)至B處，在B處看見(jiàn)燈塔M在北偏東15°方向，此時(shí)燈塔M與漁船的距離是()海里.海里C.7海里

D.14海里

D氣象臺(tái)發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號(hào)為W的臺(tái)風(fēng)在某海島〔設(shè)為點(diǎn)O〕的南偏東45°方向的B點(diǎn)生成，測(cè)得．臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B以40km/h的速度向正北方向移動(dòng)，經(jīng)5h后到達(dá)海面上的點(diǎn)C處．因受氣旋影響，臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)C開(kāi)始以30km/h的速度向北偏西60°方向繼續(xù)移動(dòng)．以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖12所示的直角坐標(biāo)系．x/kmy/km北東AOBC圖12〔1〕臺(tái)風(fēng)中心生成點(diǎn)B的坐標(biāo)為，臺(tái)風(fēng)中心轉(zhuǎn)折點(diǎn)C的坐標(biāo)為；〔結(jié)果保存根號(hào)〕〔2〕距臺(tái)風(fēng)中心20km的范圍內(nèi)均會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的侵襲．如果某城市〔設(shè)為A點(diǎn)〕位于點(diǎn)O的正北方向且處于臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)路線上，那么臺(tái)風(fēng)從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？x/kmy/km北東AOBC圖12解：〔1〕〔2〕過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，如圖2，那么在中臺(tái)風(fēng)從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過(guò)11小時(shí)．x/kmy/kmAOBC圖2D

王英同學(xué)從A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再?gòu)腂地向正南方向走200m到C地，此時(shí)王英同學(xué)離A地多少距離？ABC北南西東DE600100m200m練習(xí)新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形〔4〕用數(shù)學(xué)視覺(jué)觀察世界修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.坡面的鉛垂高度〔h〕和水平長(zhǎng)度〔l〕的比叫做坡面坡度〔或坡比〕.記作i,即i=.坡度通常寫(xiě)成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有i＝=tana.顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.例5.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD〔圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比〕，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：〔1〕坡角a和β;〔2〕壩頂寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)〔精確到0.1m〕BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：〔1〕在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°19.4.6如圖一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°．求路基下底的寬．〔精確到0.1米〕想一想1.認(rèn)清圖形中的有關(guān)線段;2.分析輔助線的作法;3.坡角在解題中的作用;4.探索解題過(guò)程.練習(xí)解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，因?yàn)樗?/p>

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90