幾何概型基本特征

幾何概型的基本特征:(1)無(wú)限性:試驗(yàn)包含無(wú)窮多個(gè)基本事件;(2)等可能性:各基本事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性相同.幾何概型概率計(jì)算公式:P(A)=q:試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積);p:構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).選擇維度的基本方法:①看取值區(qū)域--在線上取值、在面內(nèi)取值、在體內(nèi)取值時(shí)分別選擇長(zhǎng)度比、面積比、體積比.②看設(shè)參個(gè)數(shù)--設(shè)一個(gè)參數(shù)時(shí)選擇長(zhǎng)度比,設(shè)兩個(gè)參數(shù)時(shí)選擇面積比.不涉及設(shè)三個(gè)參數(shù)的情況.合作探究△ABC為Rt△,∠A=900,∠B=300,D是BC的中點(diǎn).問(wèn)題1在斜邊BC上隨機(jī)取一點(diǎn)M,作射線AM,

則射線AM落在∠CAD內(nèi)的概率是

.問(wèn)題2過(guò)點(diǎn)A隨機(jī)作射線交BC于點(diǎn)M,則射線AM落在∠CAD內(nèi)的概率是

.①問(wèn)題1中,如何保證取點(diǎn)M的隨機(jī)性?

問(wèn)題2中,如何保證作射線的隨機(jī)性?

解決方案在問(wèn)題1中,使得點(diǎn)M在斜邊

BC上勻速運(yùn)動(dòng),隨機(jī)停止點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)M的停止位置作射線AM,

則可保證取點(diǎn)M的隨機(jī)性.

在問(wèn)題2中,使得射線AM勻速地從AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB,隨機(jī)停止射線AM的轉(zhuǎn)動(dòng),在停止的位置作出的射線即可保證隨機(jī)性.ABCDABCDMM②記“射線AM落在∠CAD內(nèi)”為事件A.問(wèn)題1,2中,事件A發(fā)生的概率由什么因素決定?

結(jié)論:問(wèn)題1中,事件A發(fā)生的概率由點(diǎn)

M通過(guò)線段CD的時(shí)間與點(diǎn)M通過(guò)線段CB的時(shí)間之比確定.

問(wèn)題2中,事件A發(fā)生的概率由射線AM通過(guò)∠CDA的時(shí)間與射線AM

通過(guò)∠CAB的時(shí)間之比確定.③問(wèn)題1中的運(yùn)動(dòng)背景是怎樣的?

問(wèn)題2中的運(yùn)動(dòng)背景是怎樣的?

結(jié)論:問(wèn)題1的運(yùn)動(dòng)背景是勻速直線運(yùn)動(dòng).

問(wèn)題2的運(yùn)動(dòng)背景是勻速圓周運(yùn)動(dòng).④勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的方程是怎樣的?s=vt,請(qǐng)給出s,v,t的意義ABCDABCDMMθ=ωt.請(qǐng)給出θ,ω,t的意義⑤事件A的概率可化為怎樣的比?

答案:問(wèn)題1化為長(zhǎng)度比-,問(wèn)題2化為角度比-

.解:(問(wèn)題1)設(shè)BC=2,CM=x,則0≤x≤2,

數(shù)軸上點(diǎn)x形成的區(qū)域?yàn)榫€段OE.

記“射線AM落在∠CAD內(nèi)”為事件A,

事件A發(fā)生時(shí)有0≤x≤1,數(shù)軸上點(diǎn)M形成的區(qū)域?yàn)榫€段OF,所以

P(A)==

.(問(wèn)題2)設(shè)∠CAM=x0,則0≤x≤90,

數(shù)軸上點(diǎn)x形成的區(qū)域?yàn)榫€段OG.

記“射線AM落在∠CAD內(nèi)”為事件A,

點(diǎn)事件A發(fā)生時(shí)有0≤x≤60,數(shù)軸上M形成的區(qū)域?yàn)榫€段OH,所以P(A)===

.2OE1Fx90OG60HxCABM1.三角形ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,M∈AB,求AM<AC的概率.解:設(shè)AC=1,AM=x,則

x形成的區(qū)域?yàn)榫€段DE.

記事件A為“AM<AC”,則事件A發(fā)生時(shí)有

0≤x<1,∴P(A)=0xDEF1=CABM數(shù)軸上點(diǎn)0≤x≤,D數(shù)軸上點(diǎn)x形成的區(qū)域?yàn)榫€段DF,2.三角形ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,過(guò)點(diǎn)C作射線交AB于點(diǎn)M.求AM<AC的概率.解:設(shè)∠ACM=x0,則0≤x≤90,數(shù)軸上點(diǎn)

x形成的區(qū)域?yàn)榫€段DE.

記事件A為“AM<AC”,則事件A發(fā)生時(shí)有的區(qū)域?yàn)榫€段DF.∴P(A)=0xDE90F67.5CABMCABMD=0≤x<67.5,數(shù)軸上點(diǎn)x形成問(wèn)題3有一個(gè)半徑為5的圓,現(xiàn)在將一枚半徑為1的硬幣向圓投去,如果硬幣不會(huì)完全落在圓外,試求硬幣完全落入圓內(nèi)的概率.探究問(wèn)題記硬幣圓心為M,點(diǎn)M到點(diǎn)O的距離為x,只要我們知道x的值,就可以知道事件A是否發(fā)生,則該問(wèn)題為幾何概型中的一維度比,這樣的結(jié)論是否正確?答案:給定一個(gè)x的值時(shí),點(diǎn)M的位置有無(wú)數(shù)多個(gè)即一個(gè)x

的值對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)基本事件,

所以,這樣引進(jìn)參數(shù)是不正確的.說(shuō)明記“硬幣完全落入圓內(nèi)”為事件A.O問(wèn)題3有一個(gè)半徑為5的圓,現(xiàn)在將一枚半徑為1的硬幣向圓投去,如果硬幣不會(huì)完全落在圓外,試求硬幣完全落入圓內(nèi)的概率.①硬幣覆蓋的范圍是求概率時(shí),應(yīng)選擇面積比.②用硬幣圓心的位置來(lái)描述

試驗(yàn)及事件A.③對(duì)于試驗(yàn),硬幣圓心覆蓋的范圍是

為6的圓.

圓心覆蓋的范圍是

心,半徑為4的圓.說(shuō)明記“硬幣完全落入圓內(nèi)”為事件A.456O一個(gè)面,以點(diǎn)O為圓心,半徑以O(shè)為圓對(duì)于事件A,硬幣問(wèn)題3有一個(gè)半徑為5的圓,現(xiàn)在將一枚半徑為1的硬幣向圓投去,如果硬幣不會(huì)完全落在圓外,試求硬幣完全落入圓內(nèi)的概率.解:記硬幣的圓心為N,則點(diǎn)N覆蓋的區(qū)域?yàn)橐設(shè)為圓心,半徑為6

的圓及其內(nèi)部.

記“硬幣完全落入圓內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生時(shí),點(diǎn)

N覆蓋的區(qū)域?yàn)橐設(shè)為圓心,

半徑為4的圓,所以

P(A)=

=

.456O3.兩平行線的距離為4,小圓板的半徑為1,將小圓板擲向兩平行線,如果能夠保證小圓板不會(huì)全部落在兩平行線之外,求小圓板全部落在兩平行線之間的概率.①硬幣覆蓋的范圍是求概率時(shí),應(yīng)選擇面積比.②用硬幣圓心的位置來(lái)描述

試驗(yàn)及事件A.③對(duì)于試驗(yàn),硬幣圓心覆蓋的范圍是對(duì)于事件A,硬幣圓心覆蓋的范圍是說(shuō)明記“硬幣完全落入圓內(nèi)”為事件A.MABCDEFGH一個(gè)面,如圖所示的矩形ABCD.N如圖所示的矩形EFGH.3.兩平行線的距離為4,小圓板的半徑為1,將小圓板擲向兩平行線,如果能夠保證小圓板不會(huì)全部落在兩平行線之外,求小圓板全部落在兩平行線之間的概率.解:如圖,設(shè)小圓板圓心為N,⊙M與⊙N半徑相等,⊙M與直線l相切.

設(shè)兩平行線的長(zhǎng)度為m.

則點(diǎn)N

的覆蓋區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD及其內(nèi)部,其中AB=6,AD=m-2.

記“小圓板落在兩平行線之間”為事件A,事件A發(fā)生時(shí)點(diǎn)N的覆蓋區(qū)域?yàn)榫匦蜤FGH的內(nèi)部,其中

EF=2,EH=m-2.所以P(A)===

.MABCDEFGHN4.平面上畫(huà)了一些彼此相距2a

的平行線,把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上,

硬幣的中心最遠(yuǎn)可達(dá)到兩側(cè)的平行線,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.解:假設(shè)這些平行線有n(n∈N,n≥2)條,記硬幣的圓心為N,則點(diǎn)N覆蓋的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD,記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A,事件A發(fā)生時(shí),點(diǎn)N覆蓋的區(qū)域如圖陰影所示.根據(jù)題意可知

EF=2a-2r,AB=(n-1)·2a.設(shè)平行線的長(zhǎng)度為m,則…

…

…

…

l1l2lnBCDEFGHA4.平面上畫(huà)了一些彼此相距2a

的平行線,把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上,

硬幣的中心最遠(yuǎn)可達(dá)到兩側(cè)的平行線,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.解:假設(shè)這些平行線有n(n∈N,n≥2)條,記硬幣的圓心為N,則點(diǎn)N覆蓋的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD,記“