高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題專題18 數(shù)列（解答題壓軸題）（教師版）

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項(xiàng)，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 11③數(shù)列與函數(shù) 18④數(shù)列與概率 28更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：①數(shù)列求通項(xiàng)，求和1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)集合SKIPIF1<0，將集合SKIPIF1<0的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都成立．（2）SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0的非空子集有SKIPIF1<0個(gè)，其中最小元素為1的集合中，含1個(gè)元素的集合有1個(gè)，含2個(gè)元素的集合有SKIPIF1<0個(gè)，含3個(gè)元素的集合有SKIPIF1<0個(gè)，……，含SKIPIF1<0個(gè)元素的集合有SKIPIF1<0個(gè)，所以最小元素為1的子集個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)，同理，最小元素為2的子集個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)，……，最小元素為SKIPIF1<0的子集個(gè)數(shù)為1個(gè)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.【答案】(1)條件選擇見解析，SKIPIF1<0(2)證明見解析.【詳解】（1）選擇①：因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.選擇②：因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.選擇③：因?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，于是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若對任意SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，總有SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0（取整函數(shù)SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的整數(shù)，如SKIPIF1<0），求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0適合上式，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合上式，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，由已知得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對于數(shù)列SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0

①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0

②，由①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，也適合上式，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求使得不等式SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)20【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以滿足題意的n的最小值是20．7．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，適合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）解：令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也滿足上式．故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知：SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<010．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取倒得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0之間有2個(gè)3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個(gè)3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個(gè)3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個(gè)3，合計(jì)SKIPIF1<0個(gè)3，所以SKIPIF1<0.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0為偶數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最大值，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0為奇數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)上述式子恒成立，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)兩邊同除SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為常數(shù)數(shù)列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)上述SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若選①SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選②SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選③SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，若存在，求出SKIPIF1<0的所有值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，第一行從左到右成等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，不等式等價(jià)于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，不等式等價(jià)于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0對一切正整數(shù)SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）將點(diǎn)SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為1為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上所述，對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足不等式恒成立.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①?②得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.4．（2023·浙江·二模）記SKIPIF1<0為正數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0；(2)求最小的正整數(shù)SKIPIF1<0，使得存在數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)1(2)3【詳解】（1）由題意SKIPIF1<0是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，一方面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取等號，由于m為正整數(shù)，故SKIPIF1<0，另一方面，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0﹐SKIPIF1<0滿足條件，綜上所述，正整數(shù)m的最小值是3．5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對于數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，對任意正整數(shù)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“接近數(shù)列”.已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“接近數(shù)列”，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），是否存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），使得SKIPIF1<0，如果存在，請求出SKIPIF1<0的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若SKIPIF1<0為無窮等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列的充要條件是SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“接近數(shù)列”，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，只能是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)一步有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)一步有SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，由前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，令SKIPIF1<0無解；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，令SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此，存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（3）充要條件為：SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0時(shí)，由題意對于任意正整數(shù)SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且公差也為SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0對任意正整數(shù)SKIPIF1<0都成立，所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因此，所求充要條件為SKIPIF1<0.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，______．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)令SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．選②，設(shè)遞增等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．選③，設(shè)遞增等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的函數(shù)，如果對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，則稱SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”.(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函數(shù)SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”，且SKIPIF1<0是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)設(shè)SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上函數(shù)，且存在正常數(shù)SKIPIF1<0使得函數(shù)SKIPIF1<0為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，試證明:對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）對于函數(shù)SKIPIF1<0，由對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知函數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”.對于函數(shù)SKIPIF1<0，由對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此函數(shù)SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0是周期函數(shù)，故不妨設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”得SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述，命題得證；（3）由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”，且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0．若對任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0使得對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立?若存在，求SKIPIF1<0的最小可能值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊取倒數(shù)得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為首項(xiàng)是SKIPIF1<0，公差是SKIPIF1<0的等差數(shù)列.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0，所以則SKIPIF1<0成立.故SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增.故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0矛盾.綜上，SKIPIF1<0，所以m的最大值是SKIPIF1<0.（3）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0分別取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0要使存在正整數(shù)SKIPIF1<0使得對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為正整數(shù)，故SKIPIF1<0.所以存在正整數(shù)SKIPIF1<0使得對任意SKIPI