2017年-2019年全國(guó)卷Ⅰ理數(shù)高考試題及答案

絕密★啟用前

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能

答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合加={川一4<x<2},7V={X|X2-X-6<0},則MN=

A.{XH<X<3}B.{X|-4<X<-21C.{X|-2<X<2}D.{%[2<X<3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),貝ij

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=lCx2+(y-l)2=l

D.x2+(j；+l)2=l

3.己知a=log2（）2b=202,c=0.2°'3,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是避二1

2

（避二1刈.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人

2

體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是避二L若某人滿足上述兩個(gè)黃金

2

分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

sin￥4-x

5.函數(shù)人x）=^---------7在［一兀，兀］的圖像大致為

COSX+X-

6.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)

爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取

一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是

7.已知非零向量a,。滿足|a|=2g|,且(a-A)J.3,則a與白的夾角為

5兀

D.

T

8.如圖是求一的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

11I

A.A=D.A=l+—

2+AA1+2A2A

9.記S.為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知邑=。，%=5,則

A.an=2n-5B.an=3n—IOCS〃=2/—8〃

cI7

D.S=—n2-2n

〃tJ2

io.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(一1,0),鳥(1,0),過&的直線與C交于4,B兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\,IAB1=1班I，則C的方程為

222

x

A.—+y2=1R.y_i

2,32

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論:

TT

①/U）是偶函數(shù)②/U）在區(qū)間（二,兀）單調(diào)遞增

2

@/（x）在［-兀，兀］有4個(gè)零點(diǎn)④《尤）的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.①②④B.②④C.0@D.①③

12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正

三角形，E,F分別是B4,PB的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8灰兀B.4-島tC.2街TtD.瓜it

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3（d+x）ex在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為.

1

14.記S”為等比數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和.若q=§,a~=a6,則Ss=__________.

15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽

結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)

取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1

獲勝的概率是.

22

16.已知雙曲線C：=一4=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為吊，尸2,過吊的直線與

6rb

。的兩條漸近線分別交于A,5兩點(diǎn).若4A=耳3?65=0,則。的離心率為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

△ABC的內(nèi)角4//的對(duì)邊分別為“也小設(shè)6皿臺(tái)小由。？=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若J5a+Z?=2c,求sinC.

18.(12分)

如圖，直四棱柱A8CO-ABC。的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi，AQ的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角的正弦值.

19.(12分)

3

已知拋物線C：J=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為|■的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交

點(diǎn)為P.

(1)若|AQ+|BQ=4,求/的方程;

(2)若AP=3PB,求|AB|.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=sinx—ln(l+x),/'*)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

7T

(1)/(了)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.(12分)

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物

試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)

選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多

的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以

乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的

白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和p,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p(i=0,l,,8)表示“甲藥的累計(jì)得分

為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=0,p$=l,Pj=api+bpj+cpM

a=1,2,,7),其中a=P(X=-I),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,

4=0.8.

⑴證明：｛PM-p10=0,1,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p-并根據(jù)A的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

（-）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

\-t2

X=2，

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為｛1+r。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

2/?cose+Gpsine+ll=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

23.［選修4—5：不等式選講］（10分）

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足“兒=1.證明：

（1）-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(a+bY+(Z?+c)，+(c+a)，N24.

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)?參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D

二、填空題

121

13.y=3x14.——15.0.1816.2

3

三、解答題

17.解：(I)由已知得sin?B+sii?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得

b2+c2-a2=bc.

,222i

由余弦定理得cosA=+c—a=J.

2bc2

因?yàn)?°<。<180°,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°—C,由題設(shè)及正弦定理得應(yīng)sinA+sin(120°—C)=2sinC,

即^■+@cosC+』sinC=2sinC,可得cos(C+60")=—.

222v72

由于0°<C<12()°,所以sin(C+60°)=子，故

sinC=sin(C+60-6())

=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60

一V6+V2?

4

18.解：(1)連結(jié)B|C,ME.

因?yàn)镸,E分別為88”8c的中點(diǎn)，

所以ME〃8C，且ME=LBC.

2

又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以M)=LAI。.

2

由題設(shè)知4B|=￡>C,可得B|C=AQ,故ME=NO,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN//ED.

又MN2平面EDC”所以MN〃平面CQE.

(2)由已知可得。EJ_D4.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-刈z,則

4(2,0,()),4(2,0,4),M(l,>/3,2)，N(l,(),2),AA=(O,O,T),=(T石，-2),

AN=(—1,0,—2),MN=0-6⑼.

/n-AM=0

設(shè)機(jī)=(x,y,z)為平面AMA的法向量，貝叫，

m-\A-0

—x+yfiy—2z_0>i—

所以〈-可取力=(G,i,o).

-4z=0.

nMN=0,

設(shè)〃=(p,q,r)為平面4MN的法向量，則<

〃4N=0.

所以，回‘一°’可取〃=(2,(),-1).

-p-2r-0.

手曰/MN2A/3_V15

J足cos\z?i,it)——-——---7=-----,

I加l〃|2x755

所以二面角A一%-N的正弦值為巫.

3

19.解：設(shè)直線/:y=5%+「,4(%,乂),8(%2，%)?

(1)由題設(shè)得/(jo),故IA/n+18/|=%+/+|,由題設(shè)可得%+%2=|?

，3

y=—x+t12(/-1)

由12,可得9d9+12Q—l)x+4〃9=0,則不+々=一一-~~

J2=3X9

12(/-1)57

從而----9—=/'得f=_g.

37

所以/的方程為y=

28

(2)由AP=3PB可得y=—

_3

由＜v=5'+'，可得y2—2y+2r=0.

丁=3%

所以X+%=2.從而一3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入C的方程得％=3,%

故.

20.解：(1)設(shè)g(x)=7'(x),則g(x)=cosx———,g'(x)=-sinx+——J-

1+x(1+x)

當(dāng)時(shí)，g'(x)單調(diào)遞減，而g'(0)>0,g'(］)<0,可得g'(x)在［―I,］)有

唯一零點(diǎn)，

設(shè)為a.

則當(dāng)工￡(-1,4)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g'(x)v0.

所以g(x)在(Ta)單調(diào)遞增，在N總單調(diào)遞減，故g(x)在11,"存在唯

一極大值點(diǎn)，即/'(X)在卜15)存在唯一極大值點(diǎn).

(2)/(x)的定義域?yàn)?-

(i)當(dāng)xe(—l,0］時(shí)，由(1)知，/(x)在(一1,0)單調(diào)遞增，而/(0)=0,

所以當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，f\x)<0,故/⑴在(-1,0)單調(diào)遞減，又/(0)=0,從

而x=0是/(x)在(-1,0］的唯一零點(diǎn).

(ii)當(dāng)時(shí)，由⑴知，尸。)在(0㈤單調(diào)遞增，在單調(diào)

遞減，而1(0)=0,/'仔］<0,所以存在/jag),使得/(￡)=0,且當(dāng)

x6(0,0時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)時(shí)，:(x)<0.故”X)在(0,/7)單調(diào)遞

增，在單調(diào)遞減.

X/(0)=0,/M=l-lnfl+^>0,所以當(dāng)xe(0弓時(shí)，f(x)>0.從而,

/(%)在(og沒有零點(diǎn).

(iii)當(dāng)彳6仁，兀時(shí)，尸(x)<0,所以f(x)在e，兀單調(diào)遞減.而/撲。，

/(7t)<0,所以/(x)在《，兀有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)不￡(兀,”)時(shí)，lnO+l)>l,所以/(九)<0，從而/'(X)在(兀,+00)沒有

零y占八、、?

綜上，/(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.解：X的所有可能取值為一1,0,1.

p(X=_l)=(l_a)〃，

P(X=0)=。夕+(1-a)(l-'),

P(X=1)—),

所以X的分布列為

X0

(l-a)"a/?+(lP)a[\-

(2)(i)由(1)得Q=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此p,.=0.4^+0.5pi+0.\pM,故此1(R+]—R.)=0.4(Pj-pj_J,即

Pi「Pi=4(Pi-Pi".

又因?yàn)樵乱?0=回工0,所以｛PM—〃J(i=0,l,2,,7)為公比為4,首項(xiàng)為用的等

比數(shù)列.

(ii)由⑴可得

48—1

+++

P8=P8-P7P7-P6+R-Po+Po=(08一科)+(〃7一。6)+(Pl-Po)=^~Pl

3

由于28=1，故P1=不一J"，所以

1

A=(P4-P)+(P3-P2)+(P2-P)+(P-Po)=-^—P

3lll257

“4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為

0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為〃4=一匚。。0。39,此

時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.

2

22.解：（1）因?yàn)椤?〈七二<1,且d+j』］=f-I+-4r--=b所以c的直角

1+r2（2jU+，2

5+『)

v2

坐標(biāo)方程為J+2L=1（工。—1）.

/的直角坐標(biāo)方程為2x+J§y+ll=0.

x=cosa,

（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為《（。為參數(shù)，一TCVaVTC）.

y=2sina

「4cos|6Z--l+ll

_.,,7弘12cosa+2,3sina+111I3）

C上的點(diǎn)到/的距離為-------------i=---------L=----'尸"——.

當(dāng)。=-當(dāng)時(shí)，4cos（a—1]+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到/距離的最小值為J7.

23.解：(1)+b2>lab,b1+c2>2bc,c2+cr>2ac,又abc=T,故有

,22,,ab+hc+ca111

a2+。+c>ab+be+ca=--------------=—+-+

abcab

所以！

abc

（2）因?yàn)椤?b,c為正數(shù)且a〃c=1,故有

(?+與3+s+c)3+(c+a)3>3y(a+))3s+c)3(a+c)3

=3(a+〃)S+c)(a+c)

>3x(2-Jab)x(2A/^C)X(2A/^C)

=24.

所以3+Z?)3+S+C)3+(C+Q)3N24.

絕密★啟用前

試卷類型：A

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，23小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛

筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)

涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。

不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6()分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)z=^~L+2i,則|z|=()

1+Z?1

A.0B.-C.1D.y/2

2

2.己知集合4=卜|行一了一2>0},則為4=()

A.{x|—l<x<2}B.{x|-1WXW2}

C.1x|x<-1}{x\x>2}D.{x|xW-1}{x|x22}

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例.得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

4.記S〃為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若3S3=S2+S4，4=2,則%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

5.設(shè)函數(shù)，（6=d+（a-l）f+以,若/⑺為奇函數(shù),則曲線y=在點(diǎn)（0,0）處的切

線方程為（)

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則破=（)

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444A

B

7.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如右圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)”在正視圖上

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,則在此圓柱側(cè)面上，從M

到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()

A.2gB.2^5C.3D.2

8.設(shè)拋物線C：>2=4》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)(-2,0)且斜率為:的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，

則FMFN=()

A.5B.6C.7D.8

9.已知函數(shù)〃x)=F',g(x)=〃x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則“的取值

Inx,x>0

范圍是()

A.[-1,0)B.[+8)C.[—1,+8)D.[1,+00)

10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓

構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,

AC,Z\A8C的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分

記為IH,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,H,III的概率分別記

為Pi,p2,p3,則()

A.pt=p2B.p、=P3C.p2=p,D.p,=p2+py

11.已知雙曲線G工-丁=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為。的右焦點(diǎn)，過尸的直線與C的兩條

3

漸近線的交點(diǎn)分別為N.若AOMN為直角三角形,則|MN|=()

A.3

B.3C.2后D.4

2

12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所

得截面面積的最大值為（)

A.更B.亞C.逑D.顯

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-2W0

13.若x,y滿足約束條件,x-y+l20，則z=3x+2y的最大值為.

yW0

14.記為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若S“=2a“+1,則$6=.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法

共有種.（用數(shù)字填寫答案）

16.己知函數(shù)/（x）=2sinx+sin2x,則/（x）的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.(12分)在平面四邊形ABCO中，ZADC=90°,NA=45。，AB=2,BD=5.

(1)求cos/ADB；

(2)若DC=2垃，求BC.

18.（12分）如圖，四邊形ABCO為正方形，E,尸分

別為AO,BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕把△￡＞「（7折

起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PF_LBF.

（1）證明：平面PER_L平面A8a）；

（2）求DP與平面形中所成角的正弦值.

19.（12分）設(shè)橢圓C三十丁=1的右焦點(diǎn)為尸，過歹的直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M

2

的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AW的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

20.(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)

品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件

作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的

概率都為p(O<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求的最大值點(diǎn)P。；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以⑴中確定的為作為p的

值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格

品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,

求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗(yàn)？

21.(12分)已知函數(shù)〃x)=L-x+alnx.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若“X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)片,%,證明：

大一工2

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線J的方程為y=%W+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為02+2pcos?-3=O.

(1)求G的直角坐標(biāo)方程；

(2)若G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求G的方程.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

/(x)=|x+l|—|av-1|.

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求不等式/(x)>l的解集；

(2)若xG(0,1)時(shí)不等式/(x)>x成立，求a的取值范圍.

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)答案解析

一、選擇題。

123456789101112

cBABDABDCABA

二、填空題。

13.614.—6315.1616.-----

—————2

(IP1-2/-122

1、C解析:z=-+2i=+2i=+2i=i|z|=Vo+1=1

1+Z(1+0(1-01+1

2、B解析：4={》|》2_尤_2>0}={》|尤<-1或x>2}CRA=|-1<x<2)

3、A解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a,則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a.

對(duì)于A項(xiàng)：種植收入原來為0.6a,后來為2a37%=0.74“，增加，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng)：其他收入原來為0.04a,后來為2a5%=0.1a,增加的倍數(shù)為

0.1a-0.04a

=1.5>1,故B正確;

0.04a

對(duì)于C項(xiàng)：養(yǎng)殖收入原來為0.3a,后來為2a30%=0.6a，增加的倍數(shù)為,

0.3a

故C正確;

對(duì)于D項(xiàng)：新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為2a30%=0.6a,第三產(chǎn)業(yè)收入為2a28%=0.56a,

而經(jīng)濟(jì)收入的一半為」x2a=a,則0.6a+0.56a=1.16a>a,故D正確.

2

4、B解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.

j3(3q+3d)=2q+d+4q+6dq=2

"\ai=2=>%=〃]+4d=2+4x(—3)=—10.

d=-3

5、D解析：/(x)為奇函數(shù)

f(-x)=-f(x)=>-x3+(〃-l)x2-ax--x3-{a-l)x2-ax

2(a—V)x2=0恒成立=a-l=0na=l,則/(x)=x3f(x)=3x2+1

???/(此在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為攵=/'(0)=1,則所求切線方程為y—0=x—0,即

y=x.

6、A解析：

EB=ED+DB=-AD+-CB=-x-(AB+AC')+-(AB-AC)^-AB--AC.

2222244

7、B解析：將此圓柱的四分之一側(cè)面展開如右圖所示:

則最短路徑為|MN|=A/22+42=2石

2

8、D解析：由己知，得尸(1,0),直線為y=§(x+2)

y2-4x(A(A

,Jx=1?x=4

則《2=>\或《n"(l,2),N(4,4)

y=—(x+2)[y=2[y=4

、3

:.FMFN=(Q,2)(3,4)=0x3+2x4=8.

9、C解析：g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)

方程/(x)+x+a=0有兩個(gè)根

o方程/(x)=-x-a有兩個(gè)根

=函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)不同父點(diǎn)

如右圖所示，則只需-。41即可

即a的取值范圍是[-1,+8).

io、A解析：此題屬于幾何概型，總區(qū)域面積相同，故只要求出I,H,in的面積進(jìn)行比

較即可。

設(shè)BC-a,AC=h,AB~c,則〃？+c?=a2

ii\h]c

22=；尻++/一〃2)=；加

則S|=不加，S2=-be+-^(-)+-TT(-)-

乙乙乙乙乙乙

14111

/2A2

乃

--(-1=-乃--

2\2282故6=6.

11、B解析：由己知，得/=3=＞。=百，I)*=1=b=1

1反

則c?=〃+〃=4=C=2F(2,0),漸近線的方程為y=±十x=±]-x

則NMO/=30°,由于雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)NQMN=900

法一：在Rr中，NA/OF=30°,|0同=2

則|OM|=|OF|cos30°=2X三=6

在RtMON中，ZMON=60i\則NON"=90°—60"=30"

?./阿=黑=后;1=3

法二：直線MN的傾斜角為90°+30°=120",其斜率為女=tan120°=一百

故直線MN的方程為y=-V3(x-2)

3

y=-G(x-2)尤=一

2二M(|,

則4石)

y=——xV3

3尸了

y=-園-2)

x=3

=><=N(3,-我

V3y=-6

產(chǎn)一丁

.?.網(wǎng)=J(3_|)2+(_g_

3

12、A解析：如下圖所示，平面AgC與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，則

平面a//平面做C.

構(gòu)造平面MNPQHS//平面A4c,設(shè)AS=x

則SP=0,SR=PQ=MN=?,SM=RQ=PN=y/iQ—Q

則

76(1-x)

梯形梯形[及+夜瓜x1

S六邊形SSR0P+SSMNP=/X(l—x)]X--------1----x(V24-V2x)x

222

―y/3x^+A/3%+2=-0(

24

???當(dāng)x=；時(shí)，S111ax=3x/3

4

13、6解析：畫出可行域如右圖所示：

37z

將z=3x+2y變形為丁=一萬1+萬，z最大，即截距5最大.

3

則當(dāng)直線y=-務(wù)工平移經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）時(shí)，截距最大.

zinax=3x2+2x0=6.

14、^63解析：S〃=2q7+1①

，當(dāng)〃=1時(shí)，q=耳=26tl+l=q=-1

當(dāng)“22時(shí)，S,T=2%T+1②

①-②，得4=2a“-2a“T，即一^-=2（〃22）

%

??.數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為-1,公比為2的等比數(shù)列

yi（"）=_63

61-2

15、16解析：法一（直接法）：分成兩類：1女2男、2女1男

則不同的選法共有C；C：+C；C：=16（種）.

法二（間接法）：“至少有1位女生入選”的對(duì)立事件為“沒有一位女生入選”

則不同的選法共有C；—C=16(種).

16.--y-解析：法一：易知/(x)的最小正周期為7=2萬，則問題轉(zhuǎn)化求/(X)在［0,2句

的最小值.

/(%)=2sinx+sin2x

/./(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)

=2(2cos2x+cosx-1)=2(cosx+1)(2cosx-1)

令f=cosX(-1</<1),則/(x)=2(Z+1)(21-1)

令/(x)=0,得r=—1或r

.?.當(dāng)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減：

當(dāng)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

IIjr'冗

...當(dāng)f=5時(shí)，/(x)取得最小值，此時(shí)COSX=2=>X=］或x=k

心)=2sin工+sin女工心)=2sin2+sin叱=一逋

又

33323332

36

二/(4in

法二：f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(cosx+1)

令/=cosx(-l</<1)

則尸(x)=4(1-2)?+1)2=4(1_/)([+f)3=4(3_30(1+t)3

3—3，+1+，+1+，+1+，,27

)=T

4

當(dāng)且僅當(dāng)3—3f=l+f,即/=’時(shí)等號(hào)成立.

2

—36〃、3G

?-一-~"I)-=""'min

~2~

17、解：（1）在中，由正弦定理，得

BDAB

sin45csinZADB

2又顯

.cABsin45°V2

sin/ADB=-------2--

BD55

又BA<BD.-.ZADB<ZA=45\故NAOB為銳角.

cosZADB

(2)由(1)知，cosZBDC=cos(90°-ZADB)=sinZADB=—

在5OC中，由余弦定理，得

BC2=BD2+DC2-2BDPCcosZBDC

=52+(2V2)2-2X5X2V2X^-=25

又BC>0BC=5.

18、解：（1）證明：四邊形ABC。為正方形

...AB±BC

E,尸分別為AD3c的中點(diǎn)

EFIIABEFIBC,即EF±BF

又PF^BF,PFEF=F,PF、EFu平面莊戶

BF±平面PEF又BFu平面ABED

平面PEE_L平面A8FD

(2)法一(幾何法)：如圖，過點(diǎn)P作尸”于點(diǎn)，，連接?！?

由(1)知，平面平面ABED

且平面PEE平面ABFD二EF，PHu平面PEF

PH±平面ABED

.?.NPD”為直線OP與平面A8產(chǎn)。所成角的平面角

由（1）知，BF±^-'^PEF

又PEu平面PEF

BF±PE

又AD//BF

AD±PE

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則尸尸=￡>￡：=1,尸￡>=上戶=2

:.PE={*-B=6，DFNf+22=6

.?.在PEF中，EF-=PE2+PF2=^PE±PF

..rn--P--E--P---F-----------

EF2