初中數(shù)學(xué) 專項(xiàng)復(fù)習(xí)：“平行線”涉及的27個(gè)考點(diǎn)梳理 含各類角度

初中數(shù)學(xué)平行線（證明）模塊涉及的27個(gè)考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)1真假命題的判斷

如果命題的條件成立，那么結(jié)論也成立.像這樣的命題叫做真命題，命題的條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確的，

也就是說結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。

例題1下列各命題中，假命題是（）

A,有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

B.有兩邊及第三邊上高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等

D.有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等

【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可.

【解析】A、有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等，可利用證兩步全等方法求得，是真命題；

8、高有可能在內(nèi)部，也有可能在外部，是不確定的，不符合全等的條件，原命題是假命題；

C、有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；

。、有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；

選艮

【小結(jié)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定.

變式1下列四個(gè)命題：①相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角：②同角的補(bǔ)角相等；③若%+PB=A8,則點(diǎn)P必在線段AB

上；④兩個(gè)形狀相同的三角形是全等三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.18.2C.3D.4

【分析】根據(jù)對(duì)頂角、補(bǔ)角的概念、線段的概念、全等三角形的概念判斷即可.

【解析】①相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，本小題說法是假命題；

②同角的補(bǔ)角相等，本小題說法是真命題；

（3）^PA+PB=AB,則點(diǎn)P必在線段AB上，本小題說法是真命題；

④兩個(gè)形狀相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小題說法是假命題；

選B.

【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

-1-

變式2下列命題中真命題的個(gè)數(shù)有（）

（1）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行

（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相垂直

（4）過直線，〃外一點(diǎn)P向這條直線作垂線段，這條垂線段就是點(diǎn)P到直線m的距離

（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

A.1個(gè)&2個(gè)C.3個(gè)￡＞.4個(gè)

【分析】根據(jù)平行公理、垂直的概念、點(diǎn)到直線的距離的概念判斷即可.

【解析】（1）經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，本小題說法是假命題；

（2）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，本小題說法是假命題；

（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行，本小題說法是假命題；

（4）過直線m外一點(diǎn)P向這條直線作垂線段，這條垂線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到直線m的距離，本小題說法是假命題;

（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，本小題說法是真命題；

選A.

【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

變式3下列命題：①如果。＞兒那么⑷＞以：②如果反2,那么③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④若Na與NB

互余，NB與/丫互余，則/a與Ny互余.真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、不等式的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、同角的余角相等分別對(duì)各小題進(jìn)行判斷后即可求解.

【解析】①當(dāng)。=1，6=-2時(shí)，\a\=1,\b\=2,同〈例，故此命題假命題；

②如果〃2＞加2,那么真命題；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；假命題；

④若/a與N0互余，N0與Ny互余，則Na與/丫相等，故此命題是假命題：

真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)；

選艮

【小結(jié)】本題考查了命題與定理，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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考點(diǎn)2舉反例

命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言.任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論

證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可。

例題2對(duì)假命題“若。>匕，則?>廿”舉反例，正確的反例是（）

A.a=-1,b=0B.a=-1,b=-1C.a=2,h=\D,a=-1,b--2

【分析】根據(jù)要證明一個(gè)結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個(gè)命題是假命題.

【解析】用來證明命題“若a>b,則廿是假命題的反例可以是：〃=_],b=-2,

因?yàn)?1>-2,但是（-1）■<（-2），所以。符合題意

【小結(jié)】此題主要考查了利用舉例法證明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要說明數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤，只需舉出一個(gè)反例即可這是數(shù)學(xué)

中常用的一種方法.

變式4舉反例說明“一個(gè)銳角的余角小于這個(gè)角”是假命題，下面錯(cuò)誤的是（）

A.設(shè)一個(gè)角是45°,它的余角是45°,但45°=45°

B.設(shè)一個(gè)角是60°,它的余角是30°,但30°<60

C.設(shè)一個(gè)角是30°,它的余角是60°,但60°>30°

D.設(shè)一個(gè)角是10°,它的余角是80°,但80°>100

【解析】A、設(shè)一個(gè)角是45°,它的余角是45°,但45°=45°,能說明“一個(gè)銳角的余角小于這個(gè)角”是假命

題，故正確；

B、設(shè)一個(gè)角是60。，它的余角是30°,但30。<60°,不能說明“一個(gè)銳角的余角小于這個(gè)角”是假命題，故

錯(cuò)誤；

C、設(shè)一個(gè)角是30°,它的余角是60°,但60°>30°,能說明“一個(gè)銳角的余角小于這個(gè)角”是假命題，故正

確；

D、設(shè)一個(gè)角是10°,它的余角是80°,但80°>10°,能說明“一個(gè)銳角的余角小于這個(gè)角”是假命題，故正

確；

選8

【小結(jié)】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

變式5舉反例證明“互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是直角”為假命題.

【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可.

【解析】???兩個(gè)不相等的角互為補(bǔ)角，，這兩個(gè)角一個(gè)角大于90°,一個(gè)角小于90°,

即一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，故互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是直角，是假命題；

【小結(jié)】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.

-3-

變式6閱讀下面材料：

判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.

例如要判斷命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，可以舉出如下反例：

如圖，0C是/A02的平分線，/1=/2,但它們不是對(duì)頂角.

請(qǐng)你舉出一個(gè)反例說明命題“如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等”是假命題.（要求：畫出相應(yīng)的圖

形，并用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言表述所舉反例）

【分析】分別列舉滿足條件的題設(shè)，但不滿足題設(shè)的結(jié)論即可.

如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【小結(jié)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)

是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用

推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題,

只需舉出一個(gè)反例即可.

考點(diǎn)3推理與論證

例題3媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要

用1分鐘，放茶葉要用2分鐘，給同學(xué)打電話要用1分鐘.為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在幾分鐘內(nèi)完成這些

工作？（）

4.19分鐘B.18分鐘C.17分鐘D.16分鐘

【分析】利用已知得出燒水時(shí)間里完成洗茶壺、洗茶杯、再放茶葉、給同學(xué)打電話最節(jié)省時(shí)間進(jìn)而得答案.

【解析】小明應(yīng)先洗開水壺用1分鐘，再燒開水用15分鐘，

在燒水期間，洗茶壺用1分鐘，洗茶杯用1分鐘，放茶葉用2分鐘，給同學(xué)打電話用1分鐘，一共用5分鐘，不用

算入總時(shí)間，故為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在16分鐘內(nèi)完成這些工作.選D

【小結(jié)】此題主要考查了推理與論證，合理安排時(shí)間是解題關(guān)鍵.

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變式7某班對(duì)道德與法治，歷史，地理三門程的選考情況進(jìn)行調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：其中道德與法治，歷史兩門課程

都選了的有3人，歷史，地理兩門課程都選了的有4人，該班至多有多少學(xué)生()

A.41B.42C.43D.44

科目道德與法治歷史地理

選考人數(shù)(人)191318

【分析】根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19-3-y]=(16-y)人，只選歷史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)人,

只選地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即可得出結(jié)論.

【解析】如圖，設(shè)三門課都選的有x人，同時(shí)選擇地理和道德與法治的有y人，

根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19-3-y]=(16-)，)人，只選歷史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)人，

只選地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即：總?cè)藬?shù)為16-y+y+14-y+4-x+6+x+3=43-y

當(dāng)同時(shí)選擇地理和道德與法治的有0人時(shí)，總?cè)藬?shù)最多，最多為43人，選C.

【小結(jié)】此題是推理論證的題目，主要考查了學(xué)生的推理能力，表示出只選一種科目的人數(shù)是解本題關(guān)鍵.

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變式8甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色.在問到他們各自車的顏色時(shí)，甲說：“乙的車不是白

色.”乙說：“丙的車是紅色的.”丙說：“丁的車不是藍(lán)色的.”丁說：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅

色的，而且只有這個(gè)人說的是實(shí)話.”如果丁說的是實(shí)話，那么以下說法正確的是（）

A.甲的車是白色的，乙的車是銀色的B.乙的車是藍(lán)色的，丙的車是紅色的

C.丙的車是白色的，丁的車是藍(lán)色的D.丁的車是銀色的，甲的車是紅色的

【分析】先判斷出乙和丙的車不是紅色，進(jìn)而判斷出甲的車是紅色，再根據(jù)丙的說法不是實(shí)話，判斷出丁的車是藍(lán)

色，再根據(jù)甲的說法判斷出丙和乙的車的顏色.

【解析】?.?丁說：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅色的，而且只有這個(gè)人說的是實(shí)話.”如果丁說的是實(shí)話,

假設(shè)乙的車是紅色，，乙的說法是實(shí)話，，丙的車也是紅色，和乙的車是紅色矛盾，

假設(shè)丙的車是紅色，丙的說法是實(shí)話，而乙說：“丙的車是紅色的?.乙的說法是實(shí)話，

二有兩人說的是實(shí)話，與只有一個(gè)人是說法是實(shí)話矛盾，

.?.只有甲的車是紅色，.?.甲的說法是實(shí)話，.?.丙的說法不是實(shí)話，?.?丙說：“丁的車不是藍(lán)色的.”

二丁的車是藍(lán)色，，乙和丙的車一個(gè)是白色，一個(gè)是銀色，

；甲說：“乙的車不是白色.”且甲的說法是實(shí)話，.?.丙的車是白色，乙的車是銀色，

即：甲的車是紅色，乙的車是銀色，丙的車是白色，丁的車是藍(lán)色，

選C.

【小結(jié)】此題是推理與論證題目，解決此類題目先假設(shè)某個(gè)說法正確，然后根據(jù)題意進(jìn)行分析推理，看是否有矛盾,

進(jìn)而得出結(jié)論，

變式9A,B,C,。四個(gè)隊(duì)賽球，比賽之前，甲和乙兩人猜測(cè)比賽的成績(jī)次序：甲：從第一名開始，名次順序是

A,D,C,B；乙：從第一名開始，名次順序是A,C,B,D,比賽結(jié)果，兩人都猜對(duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，已知第一

名是B隊(duì)，請(qǐng)寫出四個(gè)隊(duì)的名次順序是（）

A.B,A,C,DB.B,C,A,DC.D,B,4,CD.B,A,D,C

【分析】?jī)扇硕疾聦?duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，已知兩隊(duì)猜的第一名是錯(cuò)誤的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是錯(cuò)誤

的.因此甲猜的第三項(xiàng)和乙猜的第四項(xiàng)是正確的，即這四個(gè)隊(duì)的名次順序?yàn)?、A、C、D.

【解析】由于甲、乙兩隊(duì)都猜對(duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，且第一名是8隊(duì).那么甲、乙的猜測(cè)情況可表示為：甲：錯(cuò)、錯(cuò)、

對(duì)、錯(cuò)；乙：錯(cuò)、錯(cuò)、錯(cuò)、對(duì).

因此結(jié)合兩個(gè)人的猜測(cè)情況，可得出正確的名次順序?yàn)?、A、C、D.

選A.

【小結(jié)】解決本題的關(guān)鍵，是要綜合考慮兩個(gè)人的猜測(cè)情況，以免造成多解和錯(cuò)解.

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考點(diǎn)4平行線公理及其推論

平行線公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和己知直線平行。

例題4下列說法中，正確的是（）

A.兩條不相交的直線叫平行線B.一條直線的平行線有且只有一條

C.若直線a//c,則6〃cD.兩條直線不相交就平行

【分析】根據(jù)平行線的定義判斷A；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷8；根據(jù)平行公理的推論判斷C；

根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系判斷D.

【解析】A、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、一條直線的平行線有無數(shù)條，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、若直線a//c,則6〃c,滿足平行公理的推論，故本選項(xiàng)正確；

。、在同一平面內(nèi)兩條直線不相交就平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.選C.

【小結(jié)】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵.

變式10已知在同一平面內(nèi)，有三條直線a,b,c,若a〃6,b//c,則直線a與直線c之間的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.平行或相交

【分析】根據(jù)平行公理的推論直接判斷直線c?與直線a的位置關(guān)系即可.

【解析】；在同一平面內(nèi)，直線“〃江直線b〃c,

二直線c與直線〃的位置關(guān)系是：a//c,選艮

【小結(jié)】此題主要考查了平行公理的推論，熟練記憶推論內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

變式11下列說法正確的是（）

A.a,b,c是直線，且a〃b,b//c,則a〃c

B.a,b,c是直線，且a_Lb,bl.c,貝！Ia_Lc

C.a,h,c是直線，且a〃力，bVc,貝（Ia//c

D.a,b,c是直線，且b//c,則a_Lc

【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”和“在同一平面

內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”解答即可.

【解析】A、正確，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”.

3、錯(cuò)誤，因?yàn)椤霸谕黄矫鎯?nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”.

C、錯(cuò)誤，a,b,c是直線，a//b,b_Lc則a_Lc；

D、錯(cuò)誤，b,c是直線，且“〃6,b//c,則?！╟.

選A.

【小結(jié)】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)定理，比較簡(jiǎn)單.

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變式12下列語(yǔ)句：

①不相交的兩條直線叫平行線

②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行

③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行

④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行

⑤過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用平行公理以及其推論分析得出答案.

【解析】①不相交的兩條直線叫平行線，必須是在同一平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；

②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，正確

③如果線段AB和線段CO不相交，那么直線AB和直線CD平行，錯(cuò)誤；

④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，正確；

⑤過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤，

選民

【小結(jié)】此題主要考查了平行公理及推論，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)5完善證明過程

例題5完成下面推理：如圖，已知：DE//BC,DF、BE分別平分NAOE、ZABC,求證：NFDENDEB

證明：8c(已知)

ZADE=Z()

；DF、BE分別平分NAOE、/ABC,(已知)

/.NADF=

ABE=*()

ZADF=NABE

：.DF//()

/.NFDE=NDEB()

-8-

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/A￡>E=NA8C,根據(jù)角平分線定義得出NAOF=；/AOE,ZABE=^ZABC,推

出NAOF=NABE,根據(jù)平行線的判定得出QF〃BE即可.

【解析】?:DE//BC（已知），

...N4OE=NABC（兩直線平行，同位角相等），

?：DF、BE分另I］平分AOE、ZABC,

.,.NAQF=,/A￡>E（角平分線定義），

ZABE=^ZABC（角平分線定義），

ZADF=NABE,

二。尸〃BE（同位角相等，兩直線平行），

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記平行線的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵.平行線的判定

是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

變式13補(bǔ)全證明過程：（括號(hào)內(nèi)填寫理由）

一條直線分別與直線BE、直線CE、直線8/、直線C尸相交于A、G、H、D,如果N1=N2,ZA=ZD,求證:

ZB=ZC.

證明：VZ1=Z2(),N1=N3,()

/2=Z3,()

/.CE//BF,()

.,.ZC=Z4,()

又V/月=ZD,()

：.AB//,()

NB=Z4,()

NB=ZC.()

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可.

【證明】VZ1=Z2（已知），Z1=Z3（對(duì)頂角相等），.../2=/3（等量代換），

...CE〃BF（同位角相等，兩直線平行），，/C=/4（兩直線平行，同位角相等），

又:：乙A=LD（已知），.?.4B〃CQ（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

AZB=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（等量代換）.

故答案為：對(duì)頂角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；已知；CD；內(nèi)錯(cuò)角相

等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

【小結(jié)】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理.

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變式14幾何說理填空：如圖，F(xiàn)是8c上一點(diǎn)，F(xiàn)GLAC于點(diǎn)G,H是AB上一點(diǎn)，HELAC于點(diǎn)E,N1=N2,

求證：DE//BC.

證明：連接EF

'：FG±AC,HELAC,

：.ZFGC^ZHEC=90°().

//().

.?.N3=N().

又=

.,.Z1+Z3=Z2+Z4.

即.

【分析】要證明OE〃尸C，可證明/￡）￡：/=/EFC,由于/1=/2,可證明/3=/4,需證明EH〃尸G,可通過垂

直的性質(zhì)得到.

【證明】連接E尸.,FG_LAC,HE1AC,:.NFGC=/HEC=9Q°（垂線的性質(zhì)）.

...FG〃HE（同位角相等，兩直線平行）.；./3=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又=

.,.Z1+Z3=Z2+Z4,即/0后尸=/《尸0?！辍?（7（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定并學(xué)會(huì)分析是解決本題的關(guān)鍵.

變式15如圖：已知：ZADE+ZBCF=ISO0,8E平分NA8C交8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AF平分/8AQ交。C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，若/ABC=2/E,則/￡+/尸=90°,完成下列推理過程.

證明:

?.,/AOE+NBCF=180°,AADE+ZADF=\W°:.NADF=NBCF()

：.AD//BC()平分/ABC；./ABC=2/A8E()

又：NA8C=2/E，ZABE^ZE：.AB//EF()

'：AD//BC：.ZBAD+ZABC=\S0°()

「BE平分/ABC,AF平分ZBAF=^ZBAD

：.NABE+NBAF=|ZABC+|ZBAD=1xl80°=90°

"：AB//EF()：.ZBAF=ZF()

,/ZABE=ZE.\NE+NF=90°()

-10-

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，同角的補(bǔ)角相等以及等量代換，結(jié)合圖形直觀得出答案.

【證明】VZAD￡+ZBCF=180°,NAZ）E+/A￡）F=180°

AZADF=ZBCF（同角的補(bǔ)角相等）

.?.40〃3c（同位角相等，兩直線平行）

平分/ABC

AZABC=2ZABE（角平分線定義）

又；/ABC=2NE

NABE=NE

...AB〃E/（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

'."AD//BC

：.ZBAD+ZABC=\SO,"（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

8E平分/ABC,AE平分NBA。

：.ZABE=^ZABC,ZBAF=\ZBAD

22

：.NABE+NBAF=^ZABC+^ZBAD=1xl80°=90。

?：AB//EF（己證）

.../BA尸=N尸（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

NABE=ZE

：.ZE+ZF=90°（等量代換）

【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是正確解答的前提.

-11-

考點(diǎn)6同位角'內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷

直線AB,CD被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個(gè)頂點(diǎn)，圍繞兩個(gè)頂點(diǎn)的8個(gè)角之間有三種特殊關(guān)系：

同位角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€AB,8的同側(cè)，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的

一對(duì)角叫做同位角；

內(nèi)錯(cuò)角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€A3,8之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯(cuò)），這樣的一

對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；

同旁內(nèi)角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€AB,CQ之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁

內(nèi)角。

例題6如圖，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A./3和N5是同位角B./4和/5是同旁內(nèi)角

C.N2和N4是對(duì)頂角。.N2和N5是內(nèi)錯(cuò)角

【解析】A、N3和N5是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意.

B、/4和N5是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意.

C、N2和N4是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意.

D、N2和N5不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)符合題意.

選。.

【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及對(duì)頂角.解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手.

變式16同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.下面三幅圖依

次表示（）

A.同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角B.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

C.同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角。.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角

【分析】?jī)蓷l線“、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位

角；

兩個(gè)角分別在截線異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；

兩個(gè)角都在截線同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系一對(duì)角互為同旁內(nèi)角.據(jù)此作答即可.

【解析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，

可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角，選B.

【小結(jié)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們.

-12-

變式17如圖，同位角共有（）對(duì).

5C.8D.7

【分析】根據(jù)同位角的概念解答即可.

【解析】同位角有5對(duì)，/4與N7,N3與N8,N1與N7,/5與/6,/2與/9,N1與N3,選4.

【小結(jié)】此題考查同位角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角解答.

變式18如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.N4和/5是同旁內(nèi)角&N3和N2是對(duì)頂角

C./3和/5是內(nèi)錯(cuò)角D./I和/5是同位角

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，對(duì)頂角，內(nèi)錯(cuò)角以及同位角的定義解答.

【解析】A、N4和/5是鄰補(bǔ)角，不是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B、/3和（N1+N2）是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C、N3和N5是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)正確.

D、/I和（/1+/2）是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.選C.

【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及對(duì)頂角的定義，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入

手.對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)

要注意理解它們所包含的意義.

-13-

考點(diǎn)7利用平行線的性質(zhì)求角

兩條直線平行則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

例題7如圖所示，將含有30°角的三角板（N4=30°）的直角頂點(diǎn)放在相互平行的兩條直線其中一條上，若/

【分析】延長(zhǎng)AB交CP于E,求出/ABC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NAEC,根據(jù)平行線性質(zhì)得出N2=/AEC,

代入求出即可.

【解析】如圖，延長(zhǎng)48交C尸于E,?.?/ACB=90°,NA=30°,

：.ZABC=60°,VZ1=38°,AZAEC=AABC-Z1=22°,

'JGH//EF,.../2=/AEC=22°,選B.

【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力.解題

的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

-14-

變式19如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若/1=32°,則N2的度數(shù)為（）

4.68°B.58°C.48°D.32°

【分析】因直尺和三角板得〃尸E,NBAC=90°；再由AQ〃FE得N2=N3；平角構(gòu)建N1+NBAC+N3=180°

得Nl+N3=90°,已知Nl=32°可求出/3=58°,即N2=58°.

【解析】如圖所示：'：AD//FE,；.N2=N3,又?.?Nl+N8AC+N3=180°,N84C=90°,，N1+N3=9O°,

又：/1=32°,/.Z3=58°,二/2=58°,選B.

變式20如圖，某江段江水流向經(jīng)過8、C、。三點(diǎn)拐彎后與原來方向相同，若/A8C=125°,4BCD=75。，則

/C￡?E的度數(shù)為（）

BAB

A.20°B.25°C.35°D.50°

【分析】由題意可得過點(diǎn)C作C/〃48,則C/〃。E,由平行線的性質(zhì)可得/BCF+/A8C=180°,所

以能求出N8CF,繼而求出/OC凡再由平行線的性質(zhì)，即可得出NCOE的度數(shù).

【解析】由題意得，AB//DE,如圖，過點(diǎn)C作CF〃A8,則CF〃QE,.,.NBCF+NA8C=180°,

/.ZBCF=180°-125°=55°,：.ZDCF=15a-55°=20°,：./CQE=/￡>b=20°.選A.

變式21將4力與BC兩邊平行的紙條ABC。按如圖所示折疊，則N1的度數(shù)為（）

A.72°B.45°C.56°D.60°

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出/CEF=62°,利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解析】：一張長(zhǎng)方形紙條ABCD折疊，.?./CEF=NFEC=62°,；AO〃BC,

.,.Zl=ZCFB=180°-62°-62°=56°,選C.

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）.觀察圖形，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

-15-

考點(diǎn)8三角形內(nèi)角和與平行線

例題8如圖，將一副三角板如圖放置，若AE〃BC,則NBA￡>=()

【分析】利用平行線的性質(zhì)求出NAZJB,再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題

【解析】,JAE//BC,ZADB=ZDAE=45°,VZB=60°,

：.ZBAD=\SO°-ZB-ZA￡>B=180°-60--45°=75°,選C.

變式22一副三角板如圖放置，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上，EF〃CO,NC=NEDF=90：ZA=45°,ZEFD=30°,

【解析】由題意可得：NEFD=30°,ZABC^45°,"：EF//CD,：.ZBFE=ZABC^45°,

.\ZDFB=45°-30°=15°,選A.

變式23如圖，△48C是一塊直角三角板，ZC=90°,NA=30°,現(xiàn)將三角板疊放在一把直尺上，AC與直尺的

兩邊分別交于點(diǎn)。、E,AB與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)尸、G,若Nl=40°,則N2的度數(shù)為()

【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到Nl=NQFG=40°,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到/2的度數(shù).

【解析】,JDF//EG,.,.Nl=/￡?FG=40°,又：/4=30°,：.Z2=ZA+ZDFG=30°+40°=70°,選D

【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

-16-

變式24如圖，直線m〃mZiABC的頂點(diǎn)3,C分別在直線〃，加上，且/ACB=90°,若/1=30°,則N2的度

數(shù)為()

AA

D.110°

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/3的度數(shù)，再由/ACB=90°得出/4的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論.

【解析】如圖：?.加〃%/1=30°,，/3=/1=30°.：/ACB=90°,

：.Z4=ZACH-Z3=90--30°=60°,.*.Z2=180t>-Z4=180°-60°=120°.選C.

【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.

考點(diǎn)9三角形內(nèi)角和與角平分線

例題9如圖，在△4BC中，BO,CO分別平分/A8C和NAC8.

(I)若NA=60°,則N80C的度數(shù)為；

(II)若/A=100°,則/3OC的度數(shù):

(III)若/A=a,求/BOC的度數(shù)，并說明理由.

【分析】(I)由三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得出NCBO+NBCO=」(180°-NA),再由三角形內(nèi)

2

角和定理即可得出/BOC的度數(shù).

(H)和(III)方法同(I).

【解析】(I)CO分別平分和/ACB,ZA=60°,

：.ZCBO+ZBCO=1.(180°-ZA)=A(180°-60°)=60°,

22

AZBOC=180°-(ZCBO+ZBCO)=180°-60°=120°；故答案為：120°；

(II)同理，若/A=100°,則/BOC=180°-A(180°-NA)=90°+1/4=140°,

22

故答案為140°；

(III)同理，若NA=a,則NBOC=180°-A(180°-NA)=90°+An.

22

【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決

問題的關(guān)鍵.

-17-

變式25如圖，AO是△4BC的高線，AE是角平分線，若/BAC：ZB：NC=6：3：1,求ND4E的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論.

【解析】VABAC-.ZB：ZC=6：3：1,.,.設(shè)NBAC=6a,NB=3a,NC=a,

VZBAC+Zfi+ZC=180°,，6a+3a+a=180°,，a=18°,AZBAC=108°,NB=54°,/C=18°,

是△ABC的高線，...NA￡>B=90°,.,.ZBAD=180o-90°-54°=36°,是角平分線，

AZBAE=l.x108°=54°,AZDAE^ZBAE-ZBAD=54°-36°=18°.

【小結(jié)】本題主要考查了三角形高線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

變式26如圖，AE、BF分別為aABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O.

(1)試說明N8OA=90°+1ZC；

2

(2)AO是△A8C的高，/8。4=115°,ZBAC=60°時(shí)，求/D4E的度數(shù).

：.ZEAB=1ZBAC,加8=,/研(？二/￡48+/或8=看“慶，+/畋)=/(180°-/0=90。

乙乙乙乙乙

AZA(?B=180°-(90。蔣NC)=90°卷

(2)VZBAC=60°,AE平分NBAC,；.NCAE=//BAC=30°，V115°,/BOA=90°卷/0

AZC=50°,;4。是高，AZADC=90°,：.ZCAD=90°-50°=40°,

/.ZDAE^ZCAD-ZCA￡=40°-30°=10°.

【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

-18-

變式27如圖1,已知線段AB、C￡＞相交于點(diǎn)0,連接AC、BD.

(1)求證：NA+/C=/B+NO；

(2)如圖2,NC4B與NBO的平分線AP、QP相交于點(diǎn)尸，求證：NB+NC=2NP.

【證明】(1)在△AOC中，ZA+ZC=1800-ZAOC,在△BOD中，ZB+ZD=180°-ZBOD,

"：ZAOC^ZBOD,：.ZA+ZC^ZB+ZD；

(2)在AP、。相交線中，有NC4P+NC=N尸+NCOP,在AB、OP相交線中，有NB+NBDP=NP+NBAP,

：.ZB+ZC+ZCAP+ZBDP^2ZP+ZCDP+ABAP,'JAP.0P分別平分/CAB、ZBDC,

/CAP=NBAP,NBDP=/CDP,NB+/C=2/P.

【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.也考查了角平分線的定義.

考點(diǎn)10三角形外角性質(zhì)與平行線

【解析】,JAB//CD,:./B=NEFC,:.NE=NEFC-ND=NB-ND=2ND-ND=/D,

VZE=22°,/.ZD=22",選A.

-19-

變式28已知一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，/2=32°,那么N1等于(）

D.16°

【分析】依據(jù)對(duì)頂角以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到/4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即

可得出/I的度數(shù).

【解析】VZC=90°,N2=/CFE=32°,，N4=58°,二/3=/4=58°,是△AQG的外角，

.??Z1=Z3-ZA=58°-30°=28°,選A.

【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等.

變式29如圖，MAE//DF,若NABC=120°,ZDCB=95°,則N1+N2的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.35°D.不能確定

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

【解析】'.'AE//DF,.\Z3+Z4=180°,VZABC=Z1+Z3=120°,ZDCB=Z2+Z4=95°,

.*.Zl+Z3+Z2+Z4=120°+95°,；.Nl+/2=215°-180°=35°,選C.

變式30如圖，已知直線EC〃8O,直線8分別與EC,相交于C,。兩點(diǎn).在同一平面內(nèi)，把一塊含30°角

的直角三角尺AB。(乙408=30°,NABO=90°)按如圖所示位置擺放，且4。平分NBAC,則NECA=()

【解析】如圖，延長(zhǎng)8A交EC于H..?.NC/M+/ABO=180°,：乙480=90°,

/.ZA/7C=90°,平分NBAC,：.ZBAC=2ZBAD=120°,VZBAC=ZAHC+ZECA,

：.ZECA=30Q,

選D

-20-

考點(diǎn)11三角形的外角性質(zhì)與角平分線

例題11如圖，AC平分/QCE,且與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A.

（1）如果乙4=35°,ZB=30°,則NBEC=.（直接在橫線上填寫度數(shù)）

（2）小明經(jīng)過改變NA,NB的度數(shù)進(jìn)行多次探究，得出/力、NB、NBEC三個(gè)角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你

用一個(gè)等式表示出這個(gè)關(guān)系，并進(jìn)行證明.

【解析】(1)；NA=35°,ZB=30°,：.ZACD=-ZA+ZB^65°,又平分NOCE,

：.ZACE=ZACD=65°,AZBEC=ZA+ZACE=35°+65°=100°,故答案為：100°；

(2)關(guān)系式為/8EC=2NA+/B.理由：：AC平分NOCE,ZACD^ZACE,

ZBEC^ZA+ZACE^ZA+ZACD,'：ZACD^ZA+ZB,：.NBEC=/A+/A+/8=2/4+N8.

變式31如圖，在△ABC中，AD是高，ZDAC=\0°,AE是NBAC外角的平分線，8尸平分NA8C交AE于點(diǎn)尸,

若/ABC=46°,求NAFB的度數(shù).

：.ZBAC=54°,.?./MAC=126°,是/a4c外角的平分線，/M4E=L/MAC=63°,

2

：8尸平分NA8C,/.ZABF=^ZABC=23°,AZAFB=ZMAE-ZABF=40°.

【小結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

-21-

變式32如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，NAEB=NABC.

(1)圖1中，作/54C的角平分線A。，分別交CB、BE于D、尸兩點(diǎn)，求證：NEFD=NADC；

(2)圖2中，作△ABC的外角NBAG的角平分線A。，分別交CB、BE的延長(zhǎng)線于。、F兩點(diǎn)，試探究(1)中結(jié)

論是否仍成立？為什么？

【解析】(1)平分NBAC,：.ZBAD=ZDAC,VZEFD=ZDAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,

又?.?/AEB=NA3C,AZ￡FD=ZADC：

(2)探究(1)中結(jié)論仍成立；理由：平分/BAG,...NBA￡>=NGAO,；/加《=/64。，欣E=NBA￡),

VZEFD=ZAEB-ZFAE,ZADC=ZABC-ZBAD,XVZAEB=ZABC,：.ZEFD=ZADC.

變式33探究：

(1)如圖1,在△ABC中，BP平分NABC,CP平分NAC8.求證：ZP=90°+工乙4.

2

(2)如圖2,在aABC中，8尸平分/ABC,CP平分外角/ACE.猜想/P和/A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,BP平分NCBF,CP平分NBCE.猜想NP和NA有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

【證明】(1),.,△ABC中，ZABC+ZACB=\SQ°-NA.又平分/ABC,CP平分NAC8,

AZPBC=^ZABC,ZPCB=XZACB,：.ZPBC+ZPCB=1.(180°-NA),

222

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知/8PC=180°-A(1800-ZA)=90°+1NA；

22

(2)1/A=NP,理由如下：是△ABC中NA8C的平分線，CP是NACB的外角的平分線，

2

(3)AZPBC=1ZABC,ZPCE=^ZACE.：NACE是△ABC的外角，NPCE是△BPC的外角，

22

.?./ACE=NABC+/A,NPCE=NPBC+NP,：.^ZACP^^ZABC+^ZA,T/ABC+工/A=NPBC+/P,

22