專題 三角形中位線定理的運(yùn)用（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題三角形中位線定理的運(yùn)用題型一利用三角形中位線定理求線段長題型一利用三角形中位線定理求線段長【例題1】（2022秋?長沙期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是AD，AE的中點(diǎn)，且FG＝2cm，則BC的長度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式1-1】（2022秋?海淀區(qū)期中）如圖，BD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，連接EF．若AD＝4，則EF的長為（）A．32 B．2 C．52 D【變式1-2】（2022秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EFA．2 B．62 C．63 D【變式1-3】（2022春?巨野縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AE平分∠CAD，AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-4】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長度的可能為（）A．2 B．2.3 C．4 D．7【變式1-5】如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．若AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長為．【變式1-6】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別在BA和CA的延長線上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，則GD的長為．【變式1-7】（2022春?本溪期末）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，順次連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，若AB＝CD＝2，則四邊形ENFM的周長是．【變式1-8】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交DE的延長線于點(diǎn)F，若EF＝3，求DE的長．【變式1-9】如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，連接EF，求線段EF的長．題型二利用三角形中位線定理求角度題型二利用三角形中位線定理求角度【例題2】（2022秋?安岳縣期末）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若∠CFE＝55°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．55° D．50°【變式2-1】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，若∠A＝60°，∠B＝75°，則∠ANM＝．【變式2-2】（2022?永安市模擬）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ABC的平分線交DE于點(diǎn)F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，則∠AED＝．【變式2-3】（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．【變式2-4】（2022?九江二模）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，AC的中點(diǎn)，AB＝CD，∠EGF＝144°，則∠GEF的度數(shù)為．【變式2-5】（2022秋?新泰市期末）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，DC，AC的中點(diǎn)．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，則∠EFG的度數(shù)為．【變式2-6】（2022春?鼓樓區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分別在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度數(shù)．題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系【例題3】（2021秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．求證：BD＝2EF．【變式3-1】（2021春?秦都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、DE，∠ADE＝∠AED，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．求證：FG＝FH．【變式3-2】（2021秋?互助縣期中）如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，求證：EH＝FG．【變式3-3】已知：如圖，E為?ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB＝2OF．【變式3-4】（2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點(diǎn)O，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【變式3-5】（2022春?富平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、F分別交BD、AC于點(diǎn)G、H，取BC邊的中點(diǎn)M，連接EM、FM．求證：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【變式3-6】（2022春?瑤海區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)（1）若DE＝2，則BC＝；若∠ACB＝70°，則∠AED＝°；（2）連接CD和BE交于點(diǎn)O，求證：CO＝2DO．【變式3-7】（2022春?虎丘區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AM是∠CAB的角平分線，取BC中點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C作AM的垂線段CE垂足為E．（1）求證：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的長度．題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系【例題4】（2021春?莆田期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線分別AD、BC的延長線交于點(diǎn)H、G，求證：∠AHF＝∠BGF．【變式4-1】（2022春?西峰區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，N、M分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：∠PMN＝∠PNM．【變式4-2】（2021春?歙縣期中）如圖，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，（1）求證：EF∥BC；（2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三個(gè)角之間的關(guān)系，并加以證明．【變式4-3】如圖，△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．過MN的直線交AB于P，交AC于Q，求證：∠QPA＝∠PQA．【變式4-4】一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形ABCD，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF分別交對(duì)角線BD，AC于M，N，求證：∠OMN＝∠ONM．【變式4-5】（2022春?船營區(qū)校級(jí)月考）如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第80頁的第3題．如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM（1）在上邊題目的條件下，延長圖①中的線段AD交NM的延長線于點(diǎn)E，延長線段BC交NM的延長線于點(diǎn)F，如圖②，請(qǐng)先完成圖①的證明，再繼續(xù)證明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，則∠F的大小為．題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用【例題5】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-1】（2022春?綦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則EF＝（）A．15 B．.16 C．17 D．8【變式5-2】（2021春?沈北新區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn)，求證：AF=12【變式5-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點(diǎn)F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點(diǎn)，連接PG，則PG的長為．【變式5-4】（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝．【變式5-5】（2022春?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，則EF的長為．【變式5-6】（2022秋?張店區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長線相交于點(diǎn)H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【變式5-7】如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF=12（AC﹣（2）如圖2，請(qǐng)直接寫出線段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系．【變式5-8】（1）如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG．求證：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分別延長AF、AG與直線BC（2）如圖2，若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG．線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．【變式5-9】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點(diǎn)M，N，則∠BME＝∠CNE（不必證明）（溫馨提示：在圖（1）中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE．HF，根據(jù)三角形中位線定理