第一節(jié) 數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模簡介 感受數(shù)學(xué)建模的解釋、判斷和預(yù)見的三大功能

第一節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模簡介教學(xué)目標(biāo)：1.通過大量的實例，學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實生活中各個領(lǐng)域的應(yīng)用價值，體會生活中處處有數(shù)學(xué)。2.學(xué)生初步了解什么是數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)建模的基本步驟，在具體問題中感受數(shù)學(xué)建模的解釋、判斷和預(yù)見的三大功能。3.學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。20世紀(jì)是科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的時代：人類登上月球，飛向太空；科學(xué)家開始解讀遺傳密碼，開創(chuàng)了生物工程；人們發(fā)明了強大的高速數(shù)字電子計算機，開啟了在網(wǎng)絡(luò)上自由奔騰的新紀(jì)元。隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展和社會的進(jìn)步，數(shù)學(xué)這門歷史悠久的學(xué)科的應(yīng)用已不再局限于物理、工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域，而正以空前的廣度和深度向經(jīng)濟、金融、醫(yī)學(xué)、生物、地質(zhì)、環(huán)境、軍事、管理、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透。利用數(shù)學(xué)知識研究和解決實際問題，已經(jīng)成為當(dāng)代一項高新技術(shù)，得到越來越廣泛的關(guān)注。不論用數(shù)學(xué)的方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決實際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(簡稱數(shù)學(xué)建模)，并加以計算求解。建立一個較好的數(shù)學(xué)模型，乃是解決實際問題的關(guān)鍵一步。所謂“高科技”就是一種“數(shù)學(xué)技術(shù)”。電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，用這個模型對控制裝置作出相應(yīng)的設(shè)計和計算，才能實現(xiàn)有效的過程控制!氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報，一刻也離不開根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型!生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥!城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)根據(jù)!廠長經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯存費用等信息，籌劃出一個合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，一定可以獲得更大的經(jīng)濟效益!就是在日?；顒尤缭L友、采購當(dāng)中，人們也會談?wù)撜乙粋€數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化一下出行的路線!對于廣大的科學(xué)技術(shù)人員和應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來說，建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實際問題與他們掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁!教育必須反映社會的實際需要，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中選修課堂，既順應(yīng)時代發(fā)展的潮流，也符合高中教育教學(xué)改革的要求。對于數(shù)學(xué)教育而言，既應(yīng)該讓學(xué)生掌握準(zhǔn)確快捷的計算方法和嚴(yán)密的邏輯推理，也需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具分析解決實際問題的意識和能力，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容無疑偏重于前者，開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程則是加強后者的一種嘗試。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模模型是客觀實體有關(guān)屬性的模擬，陳列在櫥窗里展覽的飛機模型是參照飛機實體的形狀，嚴(yán)格按照一定的比例簡縮而制成的，它的外形一定要像真正的飛機，至于它是否真的能飛則是無關(guān)緊要的；然而參加航模比賽的飛機模型則全然不同了，如果飛行性能不佳或飛不起來，外形再像飛機，也不能算是一個好模型。模型實際上是根據(jù)要實現(xiàn)的目的不同而對實體物的某些基本屬性的一種抽象。至于在飛機設(shè)計、試制過程中用到的數(shù)學(xué)模型和計算機模擬，則只要求在數(shù)量規(guī)律上真實反映飛機的飛行動態(tài)特性，毫不涉及飛機的實體!例如：宏觀世界的電子元件電路圖、行星的運行軌跡圖、大陸板塊排列圖，微觀世界的生物的DNA結(jié)構(gòu)圖、神經(jīng)元細(xì)胞結(jié)構(gòu)圖、分子結(jié)構(gòu)圖等，并不一定要用實物來模擬，它可以是抽象的符號、文字和數(shù)字來概括地、集中地反應(yīng)現(xiàn)實對象的某些特征，從而幫助人們迅速、有效地了解并掌握那個對象。而模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的!我們常見的模型一般分為三類：實物模型：如玩具、照片等(如圖1)；物理模型：如風(fēng)洞中的飛機，海底的艦艇等(如圖2)；符號模型：地圖，電路圖等(如圖3)。圖1實物模型圖2物理模型圖3符號模型數(shù)學(xué)模型，作為模型的一類，也是一種抽象的模擬，是為了某些特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，通過必要的簡化假設(shè)，以數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、圖形等為工具，對實際問題或?qū)嶋H課題的本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫。數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題的一種實踐過程。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運用先進(jìn)的計算方法和計算機技術(shù)進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)建模的三大功能：解釋，判斷和預(yù)見。例如：①利用數(shù)學(xué)建模知識對生物中孟德爾遺傳定律的“3:1”的解釋(如圖4)；豌豆是自花傳粉，且是閉花授粉的植物，自然狀態(tài)下永遠(yuǎn)是純種，豌豆有易于區(qū)分的相對性狀。他用黃色圓形豌豆(YYRR)與綠色褶皺豌豆(yyrr)雜交，這里黃色、圓形均為顯性基因，綠色、褶皺為隱性基因。實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們的第一代全是黃色圓形豌豆(YrRr)，但用第一代黃色豌豆再次雜交后，得到的豌豆種子中，會出現(xiàn)黃色豌豆與綠色豌豆比例為3:1，圓形豌豆與褶皺豌豆的比例為3:1。圖4遺傳學(xué)的奠基人孟德爾和他的實驗圖表②美國原子能委員會處理濃縮放射性廢物處理方法：封裝入密封性很好的堅固圓桶中，沉入300ft(1ft=0.3048m)的海里(如圖5)；關(guān)于這種處理方法，許多生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。為此，工程師們也做了大量的碰撞實驗，建立合理的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行探討和論證。圖5放射性物質(zhì)實物③谷神星的預(yù)見發(fā)現(xiàn)等(如圖6)。谷神星是人們最早發(fā)現(xiàn)的第一顆小行星，由意大利人皮亞齊于1801年1月1日發(fā)現(xiàn)。圖6谷神星的發(fā)現(xiàn)1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，把下面的數(shù)列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每個數(shù)字都加上4，就得到了下面的數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每個數(shù)都除以10，最后得到：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……上面的數(shù)列我們可以用數(shù)列的通項公式刻畫為：，其中令提丟斯驚奇的是，他發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的每一項與當(dāng)時已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太陽的距離比例（地球到太陽的距離定為1個單位）有著一定的聯(lián)系，唯獨時還沒有發(fā)現(xiàn)相關(guān)的行星與之對應(yīng)。提丟斯的朋友，天文學(xué)家波得深知這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，就于1772年公布了提丟斯的這一發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)從此引起了科學(xué)家的極大重視；并被稱為提丟斯——波得定則，即：當(dāng)時，人們還沒有發(fā)現(xiàn)天王星、海王星和冥王星，以為土星就是距太陽最遠(yuǎn)的行星。1781年，英籍德國人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數(shù)列中的第八項）發(fā)現(xiàn)了天王星，從此，人們就對這一定則深信不疑了。根據(jù)這一定則，在數(shù)列的第五項即2.8的位置上也應(yīng)該對應(yīng)一顆行星，只是現(xiàn)在還沒有被發(fā)現(xiàn)。于是，許多天文學(xué)家和天文愛好者便以極大的熱情，踏上了尋找這顆新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文學(xué)家皮亞齊還在聚精會神地觀察著星空。突然，他從望遠(yuǎn)鏡里發(fā)現(xiàn)了一顆非常小的星星，正好在提丟斯——波得定則中2.8的位置上?？墒?，當(dāng)皮亞齊再想進(jìn)一步觀察這顆小行星時，他卻病倒了。等到他恢復(fù)健康，再想尋找這顆小行星時，它卻不知去向了。皮亞齊沒有放棄這一偶然的機會，他認(rèn)為這可能就是人們一直沒有發(fā)現(xiàn)的那顆行星，并把它命名為“谷神星”。后來，高斯憑借他的淵博的數(shù)學(xué)知識，給出了計算行星運行的軌道后，成功算出了“谷神星”的位置，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星。數(shù)學(xué)建模不僅是了解基本規(guī)律，而且，從應(yīng)用的觀點來看，更重要的是預(yù)測和控制所建模系統(tǒng)行為的強有力工具。它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略等。數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括：1、觀察、分析實際問題；2、抽象、簡化，確定變量和參數(shù)；3、利用某種“定律”建立變量和參數(shù)之間的某種對應(yīng)關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)；4、解析或近似地求解該數(shù)學(xué)模型；5、解釋、驗證、預(yù)測和發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象；6、若能，則可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型，模擬(仿真)甚至預(yù)測。若不能，則回去檢查各步驟是否有差錯，重頭再來。觀察、分析實際問題觀察、分析實際問題抽象、簡化，確定變量和參數(shù)利用某種“定律”建立變量和參數(shù)之間的某種對應(yīng)關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)解釋、驗證、預(yù)測和發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型，模擬(仿真)甚至預(yù)測通過通不過數(shù)學(xué)建模就是上述框圖多次執(zhí)行的過程。簡而言之，就是合理假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，解釋驗證。我們以下面簡單的航行問題為例，解釋數(shù)學(xué)建模的過程。例1：甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0小時，從乙到甲逆水航行需要50小時，問船的速度是多少？解：用，分別表示船速和水速，可列出如下方程：可求解得到，故船速為每小時20公里。當(dāng)然真正的實際問題要遠(yuǎn)比上面的例題復(fù)雜的多，但是數(shù)學(xué)建模基本思想已經(jīng)囊括在例1當(dāng)中。首先觀察、分析實際問題(讀懂實際問題的已知，所求)；作出簡化假設(shè)(船速、水速為常數(shù))；然后用符號表示有關(guān)量(用，分別表示船速和水速)；利用相應(yīng)的物理定律(勻速運動的距離等于速度乘以時間)，列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程組)；求解得到數(shù)學(xué)解答();用這個答案解釋原問題；最后還要用實際現(xiàn)象來驗證這個結(jié)果。隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計量經(jīng)濟學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運而生這里一般地說不存在作為支配關(guān)系的物理定律，當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ)在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度的模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地。馬克思說過：“一門科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完善的地步”展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期。今天，在國民經(jīng)濟和社會活動的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用：分析與設(shè)計例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計新的飛機翼型。預(yù)報與決策生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報、氣象預(yù)報、人口預(yù)報、經(jīng)濟增長預(yù)報等等，都要有預(yù)報模型；使經(jīng)濟效益最大的價格策略、使費用最少的設(shè)備維修方案，是決策模型的例子?？刂婆c優(yōu)化電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規(guī)劃與管理生產(chǎn)計劃、資源配置、運輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊策略、物資管理等，都可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型解決。數(shù)學(xué)建模與計算機技術(shù)的關(guān)系密不可分一方面，像新型飛機設(shè)計、石油勘探數(shù)據(jù)處理中數(shù)學(xué)模型的求解當(dāng)然離不開巨型計算機，而微型電腦的普及更使數(shù)學(xué)建模逐步進(jìn)入人們的日?；顒印１热绠?dāng)一位公司經(jīng)理根據(jù)客戶提出的產(chǎn)品數(shù)量、質(zhì)量、交貨期等要求，用手提電腦與客戶進(jìn)行價格談判時，您不會懷疑他的電腦中貯存了由公司的各種資源、產(chǎn)品工藝流程及客戶需求等數(shù)據(jù)研制的數(shù)學(xué)模型———快速報價系統(tǒng)和生產(chǎn)計劃系統(tǒng)。另一方面，以數(shù)字化為特征的信息正以爆炸之勢涌入計算機，去偽存真、歸納整理、分析現(xiàn)象、顯示結(jié)果……，計算機需要人們給它以思維的能力，這些當(dāng)然要求助于數(shù)學(xué)模型。所以把計算機技術(shù)與數(shù)學(xué)建模在知識經(jīng)濟中的作用比喻為如虎添翼，是恰如其分的。美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強經(jīng)濟競爭力具有重要意義”，而“計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。

第二節(jié)桌子能放平嗎？教學(xué)目標(biāo)：1.通過具體例子，學(xué)生掌握對具體問題進(jìn)行建模時，如何抓主要問題，作出合理的條件假設(shè)的方法。2.學(xué)生理解由具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的巧妙過程，并應(yīng)用聯(lián)想、類比、化歸等重要的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)已學(xué)的知識點——根的存在性定理，解決實際問題，體會數(shù)學(xué)知識的強大功能。3.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點解釋身邊的實際問題的能力，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。我們將用一個具體的例子，說明如何根據(jù)實際問題作出合理的、簡化的假設(shè)，以便用數(shù)學(xué)語言確切地表示實際問題，將看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立數(shù)學(xué)模型來加以解釋和給出證明。問題：將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，問是否總能設(shè)法使其四條腿同時落地？分析：將方桌往不平的地面上一放，在通常情況下只能做到三只腳著地、放不平穩(wěn)，然而只要稍微轉(zhuǎn)動一下，就可以四只腳同時著地。如果上述問題不附加任何條件，答案顯然是否定的，例如方桌放在某臺階上，而臺階的寬度又比方桌的邊長小，自然無法將其放平；又如地面是平的，而方桌的四條腿卻不一樣長，自然也無法放平?？梢姡虢o出肯定的答案，必須附加一定的條件。基于對這些無法放平情況的分析，我們提出以下條件(假設(shè))，并在這些條件成立的前提下，證明通過旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌缺乜墒狗阶赖乃臈l腿同時著地。假設(shè)：(1)地面為連續(xù)曲面，沿各個方向都不會出現(xiàn)間斷(沒有臺階那樣的情況)，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。(2)方桌的四條腿長度相同，桌腿與地面接觸處可視為一個點，四角的連線呈正方形。(3)相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的。對于桌腳的間距和桌腿的長度而言，地面是相對平坦的，使桌子在任何位置至少有三只腳同時著地。(4)方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。現(xiàn)在，在上述假設(shè)條件成立之下，我們來建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，證明桌子可以四條腿同時著地。由假設(shè)(2)和(4),方桌的四只腳的連線呈正方形，以方桌的四只腳的對稱中心為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示，方桌的四條腿分別在，，，處，且，的初始位置在軸上，而、則在軸上。當(dāng)方桌繞中心旋轉(zhuǎn)角度后，正方形轉(zhuǎn)至的位置，對角線與軸的夾角決定方桌的位置。圖1：變量圖1：變量表示桌子的位置。顯然，如果用某個變量表示桌腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個距離為零時，就是桌腳著地了，方桌在不同位置時，四條腿到地面的距離不同，所以，桌腿到地面的距離是的函數(shù)。雖然桌子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了。記、兩角與地面的距離之和為，、兩角與地面的距離之和為，則，。由假設(shè)(1)，和都是連續(xù)函數(shù)，由假設(shè)(3)，桌子在任何位置至少三只腳著同時著地，所以對于任意的，和中至少有一個為零，即恒成立。假設(shè)當(dāng)時，，。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知:，均為的連續(xù)函數(shù)，，，且對任意的有，證明存在某一，使。證明：將桌子旋轉(zhuǎn)，對角線與互換位置，由，可知，。構(gòu)造函數(shù)，顯然，由于，均為的連續(xù)函數(shù)，所以也是的連續(xù)函數(shù)。且有和，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知：必存在角度，，使得，即。又由于對任意的有，故。故必有。學(xué)生練習(xí)：1.如果桌子表面的形狀是長方形、圓形或者是其它不規(guī)則圖形時，是否有類似的結(jié)果呢？由此，你得出什么樣的結(jié)論？2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且函數(shù)。證明：方程在內(nèi)至少有一個根。3.某人第一天早上7點從甲地出發(fā)，晚上5點到乙地，第二天早上9點從乙地出發(fā)，沿原路返回，晚上8點回到甲地。問：能否在兩天中該人恰好在同一時刻經(jīng)過同一地點？4.根的存在定理在《高等數(shù)學(xué)》以及《數(shù)學(xué)分析中》是一個十分重要的定理，它采用了“設(shè)而不求”的重要的數(shù)學(xué)思想，在有關(guān)方程的根的存在性討論以及解不等式方面中有著重要的應(yīng)用。請同學(xué)們課后查閱并學(xué)習(xí)根的存在性定理的一些推廣知識。

第三節(jié)商人們怎樣安全過河教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)建模的基本步驟，熟練掌握數(shù)學(xué)建模過程中的假設(shè)條件的確定，并在教師的引導(dǎo)下，逐步將問題的條件和所求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型中的變量表示，體會笛卡爾坐標(biāo)系的重要價值。2.通過數(shù)學(xué)方法與邏輯推理的對比，感受數(shù)學(xué)的化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)學(xué)觀點解決問題的巧妙，進(jìn)而，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。3.鼓勵學(xué)生自主編題、驗證、不斷完善題目的條件和結(jié)論，進(jìn)而錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散的思想方法。示例：三名商人各帶一個仆人乘船渡河，一只小船最多只能容納二人，由他們自己劃行。當(dāng)今社會每個人都想當(dāng)王者，誰都想成為有錢人，所以就在這個問題中仆人們也想成為商人。仆人們密約，在河的任一岸，一旦仆人的人數(shù)比商人多，仆人就會聯(lián)合起來將商人殺死并搶奪其財務(wù)，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，問商人們?nèi)绾卧O(shè)計過河順序才能讓所有人安全渡河呢？對于這類智力游戲經(jīng)過一番邏輯思索是可以找出解決辦法的。這里用數(shù)學(xué)模型求解，一是為了給出建模的示例，二是因為這類模型可以解決相當(dāng)廣泛的一類問題，比邏輯思索的結(jié)果容易推廣。模型的假設(shè)：小船的質(zhì)量是好的；過河的途中沒有突發(fā)情況；水流的速度正常；每個商人和隨從都會劃船；隨便兩個人都會做同一條船。安全渡河問題可以視為一個多步?jīng)Q策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對船上的人員（商人、仆人各幾人）作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的仆人數(shù)都不比商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過河，用狀態(tài)（變量）表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目標(biāo)。模型構(gòu)建：記第次渡河前此岸的商人數(shù)為，仆人人數(shù)為，，，。將二維向量=(，)定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記作。(1)不難驗證，對此案和彼岸都是安全的。記第次渡船上的商人數(shù)為，仆人數(shù)為。將二維向量定義為決策。允許決策集合記為，由小船的容量可知：(2)因為為奇數(shù)時，船從此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時，船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是：(3)(3)式稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。這樣，定制安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策模型：求決策()，使?fàn)顟B(tài)按照轉(zhuǎn)移律(3)，由初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達(dá)狀態(tài)。模型求解：根據(jù)（1）～（3）式編一段程序用計算機求解上述多步?jīng)Q策問題是可行的。不過對于商人和仆人人數(shù)不大的簡單狀況，用圖解法解這個模型更為方便。在平面坐標(biāo)系上畫出圖1那樣的方格，方格點表示狀態(tài)。允許狀態(tài)集合是用圓點標(biāo)出的10個格子點。允許決策是沿方格線移動1或2格，為奇數(shù)時向左、下方移動，為偶數(shù)時向右、上方移動。要確定一系列的使由經(jīng)過那些圓點最終移至原點。圖1：安全渡河問題的圖解法圖1給出了一種移動方案，經(jīng)過決策，，，，最終有。這個結(jié)果很容易翻譯成渡河方案如下：次數(shù)船行方向策略此岸最終狀態(tài)彼岸最終狀態(tài)第1次此岸到彼岸兩個仆人一起過河三個商人和一個仆人兩個仆人第2次彼岸到此岸一個仆人過河三個商人和兩個仆人一個仆人第3次此岸到彼岸兩個仆人一起過河三個商人三個仆人第4次彼岸到此岸一個仆人過河三個商和一個仆人兩個仆人第5次此岸到彼岸兩個商人一起過河一個商人和一個仆人兩個商人和兩個仆人第6次彼岸到此岸一個商人一個仆人一起過河兩個商人和兩個仆人一個商人和一個仆人第7次此岸到彼岸兩個商人一起過河兩個仆人三個商人和一個仆人第8次彼岸到此岸一個仆人過河三個仆人三個商人第9次此岸到彼岸兩個仆人一起過河一個仆人三個商人和兩個仆人第10次彼岸到此岸一個仆人過河兩個仆人三個商人和一個仆人第11次此岸到彼岸兩個仆人一起過河0人三個商人和三個仆人備注：上面的解法可能不唯一。如下圖2，提供了另外的可選擇方案。圖2：安全渡河問題的圖解法(多種方案)這里介紹的是一種規(guī)格化的方法，所建立的多步?jīng)Q策模型可以用計算機求解，從而具有推廣的意義譬如當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船的容量加大時，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍可方便地求解。大家不妨考慮四名商人各帶一個隨從的情況（小船如上，此種情況無解）。適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效地解決很廣泛的一類問題的方法。“商人過河”模型適合于解決多種問題，如“傳教士與野蠻人渡河”，“印度夫妻渡河”等。這些問題本質(zhì)上都是相同的或相似的，由此可見這個趣味問題流傳的廣泛性。另外還有所謂“人狗雞米過河”問題，也是頗有趣味的，人、狗、雞、米均要渡河，船需人劃，而船上最多還可載一物，但若人不在時，狗會吃雞，雞會吃米，問如何設(shè)計安全渡河方案。我們完全可以仿照商人渡河問題建立一個多步?jīng)Q策模型，加以解決。50年代中期，由于計算機科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了一門新興的學(xué)科，叫做“人工智能”。人工智能研究的是如何是計算機具有人類的智能，使計算機像人類那樣智能地工作，去完成那些需要人的智能才可以完成的工作。從另一個角度來說，人工智能研究如何使人的智能用計算機來實現(xiàn)。利用人工智能的方法還能證明定理(例如：平面幾何中的定理)。機器證明定理就是把人證明定理的過程通過一套符號體系，變成一系列能在計算機上實現(xiàn)的符號運算過程，從而把人的推理演繹過程機器化。最近，人工智能的研究還在下棋方面取得巨大的成就，下國際象棋的計算機程序已達(dá)到世界冠軍水平，人們不僅將國際象棋大師們下棋的經(jīng)驗知識和技巧變成計算機可用的規(guī)則，編進(jìn)計算機程序中去，而且計算機已達(dá)到在3分鐘內(nèi)可計算500億的步棋的速度。人們認(rèn)為，人工智能的發(fā)展將對人類的生活方式以及人類認(rèn)識自己的方式產(chǎn)生巨大而深刻的影響。學(xué)生練習(xí)：1.四名商人各帶一個隨從過河，其它條件如示例，請你設(shè)計一種安全過河方案。如果沒有合理方案，請你試著調(diào)整盡可能少的某些條件，自編一道能夠求解安全方案的題目，并給出具體渡河方案。2.夫妻過河問題：有3對夫妻過河，船最多能載2人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其他男子在一起，如何安排三對夫妻過河？若船最多能載3人，5對夫妻能否過河？

第四節(jié)對策模型教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解競爭的數(shù)學(xué)模型——對策模型及其在各領(lǐng)域中的應(yīng)用,并理解并樹立“從最壞的可能中爭取最好的結(jié)果”的理性思考觀，掌握零和對策、非零和對策、納什均衡解等問題的模型建立方法及分析理念。2.通過數(shù)學(xué)原理在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用，學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值，并培養(yǎng)“以數(shù)學(xué)之眼看世界”的思維方式。3.從看似與數(shù)學(xué)毫不相關(guān)的具體實際問題入手，逐步探究、剖析其中的數(shù)學(xué)原理，并利用數(shù)學(xué)知識解決問題。在此過程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的決定。問題的提出在人類的社會活動中，有許多競爭性活動，小至游戲，大至商業(yè)競爭乃至戰(zhàn)爭，在這類活動中，有一類有如下的特點：競爭對手可能采取的各種策略是清楚的；各方一旦選定了自己的策略，競爭的結(jié)果就清楚了，競爭的結(jié)果可以定量描述；競爭的每一方都希望在競爭中獲得最好的結(jié)果，而且十分清楚競爭的對手也千方百計地要達(dá)到同樣的目的，這類活動成為對策，下面舉幾個實際例子。一、乒乓球賽排陣甲、乙兩隊進(jìn)行乒乓球團體賽，每隊由3名球員組成，雙方可排出3種不同的陣容，甲隊的三種陣容記為A，B，C；乙隊的3種陣容為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。根據(jù)以往的記錄，兩隊以不同的陣容交手的結(jié)果如表1所示：乙隊結(jié)果甲隊ⅠⅡⅢA-3-1-2B-603C51-4表1表1中的數(shù)字為雙方各種陣容下甲隊的失分?jǐn)?shù)。這次團體賽雙方各采取什么陣容比較穩(wěn)妥？二、水雷戰(zhàn)作戰(zhàn)的一方將水雷布在敵方船只駛經(jīng)航道的海床中，當(dāng)船只駛過時由某種物理因素激發(fā)水雷爆炸導(dǎo)致船舶被毀。另一方為了防止船被炸沉，在船只駛過水道之前先用打雷艇設(shè)法激發(fā)水雷爆炸，使其失去破壞作用。為了避免水雷被掃雷艇破壞，人們設(shè)計了一種可設(shè)置計數(shù)器的水雷，可以將水雷計數(shù)器設(shè)定為，此時僅當(dāng)水雷被激發(fā)次才會爆炸。另外又設(shè)在船舶駛過之前掃雷艇只有有限的時間進(jìn)行工作，激發(fā)水雷的次數(shù)有限制，可能不足以在船駛過之前引爆水雷。我們先考慮水道中只設(shè)置一個水雷又只有一條船駛過的情形。若水雷被引爆，船被炸沉的概率為0.1。設(shè)水雷計數(shù)器可設(shè)置為1和2，在船駛過前掃雷艇最多掃雷一次，那么在雙方采取的各種不同策略的情況下，船被炸毀的概率如表2所示：水雷記數(shù)設(shè)置12掃雷次數(shù)00.10100.1表2若水雷計數(shù)器最多可設(shè)置為，在船駛過水雷的航道之前最多掃雷次，雙方各應(yīng)采取何種策略？三、田忌齊王賽馬戰(zhàn)國時期，齊王和大將田忌賽馬，雙方出3匹馬各賽一局，各方的馬根據(jù)好壞分別稱為上馬、中馬、和下馬。田忌的馬比齊王同一級的馬差，但比齊王低一級的馬好一些。若用同一級馬比賽，田忌必然連輸3局。每局的賭注為1千金，田忌要輸3千金。田忌的謀士建議田忌在賽前先探聽齊王賽馬的出場次序，然后用自己的下馬對齊王的上馬，用中馬對齊王的下馬，用上馬對齊王的中馬。結(jié)果負(fù)一局勝兩局贏得一千金。但若事先并不知道對方馬的出場次序，雙方應(yīng)取何種策略？雙方采用的賽馬出場次序安排及相應(yīng)的結(jié)果(田忌輸?shù)那Ы饠?shù))可由表3列出：齊王田忌上中下上下中中上下中下上下中上下上中上中下311-111上下中13-1111中上下1131-11中下上11131-1下中上1-11131下上中-111113表3兩人零和純策略對策一、對策要素從上一部分的三個實例中可以看到，對策有下列幾個要素。局中人在一場對策中總有參與者，他們?yōu)榱巳〉酶偁幍膭倮?，必須選擇適當(dāng)?shù)男袆臃桨溉Ω秾κ?。通常稱對策活動中有權(quán)作出行動選擇的參加者為局中人。上面的前兩個例子中，比賽雙方和戰(zhàn)爭雙方都是局中人，第三個例子中，田忌和齊王也是局中人。一般局中人不一定是兩個，也可以是多人。策略在對策中，局中人能夠采用的可行的行動方案成為策略。策略的全體稱為策略集，策略集可以是有限或無限的。若策略集為有限集，稱為有限對策，否則稱為無限對策。支付當(dāng)局中人選定了自己的策略之后，競爭的結(jié)果就確定了，而且該結(jié)果是量化的，對每一方而言可能是得也可能是失，一般用支付來描述量化的得失，如第三個例子中在雙方確定策略下田忌輸?shù)慕痤~即為田忌的支付。二、兩人零和絕對對策局中人只有兩個，對策中各方只能從有限的策略集中確定地選擇一種，且對策雙方的支付之和為零的對策稱為兩人零和純策略對策。支付矩陣設(shè)局中人為A和B，A有個策略，其策略集為；B有個策略，其策略集為，當(dāng)A方選擇策略，B方選擇策略時，是一個對策，又稱作一個局勢，在此局勢下，A方的支付為，B方的支付為。我們可以將在各種局勢下A方的支付用表4表示A方支付B方策略……A方策略………表4表4稱為A方的支付表，又稱為A方的支付矩陣。由兩人零和對策的定義，應(yīng)成立。B方的支付表和支付矩陣可直接從A方的支付表和支付矩陣得到，不必專門列出。若對策問題成立其中是一個與，無關(guān)的常數(shù)，此時，引入新的支付，則新的支付滿足兩人零和對策的條件。2．最優(yōu)策略與鞍點簡記第一個例子中甲隊策略為，，，乙隊的策略為，，，甲隊的失分即為支付，甲隊的支付表由表5給出Max-3-1-2-60351-4-135Min-6-1-4表5當(dāng)甲隊采取策略時，乙隊可能采取策略，，，對甲隊而言最壞的可能支付為，若采用策略，最壞的可能支付為。若采用策略，最壞的可能支付為。根據(jù)通常的“從最壞的可能中爭取最好的結(jié)果”的原則，甲隊最好的可能是。即甲隊?wèi)?yīng)采取策略，失分為-1，即得1分。這個過程可以在表5中表示出來。將每一行的最大值求出后填在表的最后一列之中，然后再求這一列的最小值，用圓圈將其圈出。同樣，乙隊采用策略，，最壞的可能分別為，，。最好的結(jié)果為，即乙隊?wèi)?yīng)采取策略。這個過程可表示為取表5前三列各列的最小值，填寫在表的最后一行中，然后求出這一行的最大值，用圓圈圈出。容易發(fā)現(xiàn)，對于甲隊而言，從最壞的可能求最好的結(jié)果的原則確定應(yīng)采取策略；對乙隊而言，應(yīng)采取策略。此時，A方的支付為-1。只要甲隊選定策略，乙隊必須選擇策略，否則甲隊的支付會更小，對乙隊不利；另一方面，只要乙隊選擇了策略，甲隊必須選擇策略，否則甲隊的支付會增大，對甲隊不利。這樣，雙方的策略就會穩(wěn)定為和，不會輕易改變。我們稱局勢(,)為該對策問題的一個鞍點或平衡點。分別稱和為甲隊和乙隊的最優(yōu)策略。-1稱為(A方)對策的最優(yōu)值。關(guān)于第二個例子的策略分析需要混合策略的相關(guān)知識，比較復(fù)雜，有興趣的同學(xué)可以學(xué)習(xí)混合對策的相關(guān)知識，課下自學(xué)。兩人非零和對策一、年度財政預(yù)算問題到目前為止我們處理的都是零和對策，即一方所得恰為另一方所失的完全競爭問題。然而，在自然和社會中有大量的非完全競爭，即非零和對策。一個比較有趣的實例是1981年美國國會表決里里根(Reagen)總統(tǒng)年度財政預(yù)算時，民主黨和共和黨的斗爭。民主黨議員可以采取大體支持里根和反對里根兩種策略；共和黨議員可采取完全支持里根和與民主黨妥協(xié)兩種政策。當(dāng)時的《紐約時報》分析了兩黨采用不同的策略可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，歸納為表6。共和黨完全支持里根妥協(xié)民主黨大體支持里根共和黨勝，民主黨避免受到譴責(zé)共和黨勝，但里根方案修正，民主黨也得分反對里根里根預(yù)算通不過，民主黨受到譴責(zé)共和黨很多項目被刪除，民主黨在本年度預(yù)算中看上去起主要作用表6將兩黨競爭的結(jié)果量化為1～4，數(shù)字越大表明得益越多，于是有如下贏利表7.(請讀者思考贏利表與以前定義的支付表有什么區(qū)別)表7由于雙方的得益不完全相反，必須分別標(biāo)明。贏利表里各個括號(即贏利對)中第一個數(shù)字表征民主黨的得益，第二個數(shù)字表征共和黨的得益。非零和對策的贏利表也可以簡單地表示成在非零和對策中通常要確定對策的原則。本段中我們采用的是“理性原則”，即假定局中人在對策中只考慮自己的得失。我們還假設(shè)對策雙方事先不能預(yù)知對方采取什么對策，且雙方必須同時做出選擇。在這樣的假設(shè)下，我們可以將上述贏利表分為民主黨的贏利表和共和黨的贏利表，分別按從最壞可能求最好結(jié)果的最大最小方法選擇最優(yōu)策略。對民主黨，取贏利表各行元素最小值和最大值為2，見表8，即民主黨應(yīng)采取第一個策略，即大體上支持里根。Min23=2\*GB3②141表8對共和黨，取贏利表各列元素最小值的最大值2，見表9。共和黨應(yīng)采取第一種策略，完全支持里根。4321Min=2\*GB3②1表9這兩張表也可以合起來寫成表10如下：=2\*GB3②1=2\*GB3②1表10二、納什(Nash)均衡點——從無序市場中把握有序市場規(guī)律電影《美麗心靈》中，有人向納什提出了這樣一個問題，問題的背景如下：在一個舞會上，有兩個以上的男士，有比男士更多的魅力十足的女士，但只有一個金發(fā)女郎，男人開始邀請舞伴，但只能邀請一次，請一個女郎作為舞伴，所有男士更喜歡金發(fā)女郎，但有女伴比無女伴要好，如果兩個男士同時邀請一個女士，兩人都會被拒絕。假設(shè)你作為一個男士，你會如何邀請舞伴？納什對非零和對策作出了重要的貢獻(xiàn)，納什均衡就是他提出的一個重要概念。納什均衡是博弈論中最重要的概念，各種非合作博弈模型的納什均衡概念都是建立在納什均衡基礎(chǔ)之上的。假設(shè)對策雙方遵循“無悔原則“，即決策要達(dá)到雙方的策略一旦選定，任何一方擅自單方面改變自己的策略，只會導(dǎo)致自己收益的下降。當(dāng)然，我們還是假設(shè)雙方不能預(yù)知對方選取什么策略，假定雙方的選擇是同時作出的。設(shè)甲和乙進(jìn)行對策，贏利表為其中為甲得到的贏利，為乙得到的贏利。如果存在，，使得元素取到甲的贏利矩陣中它所在列元素()的最大值，取到甲的贏利矩陣中它所在行元素()的最大值；那么就稱(,)為該對策的一個納什均衡點。這個概念容易推廣到雙方都有多于兩個策略可供選擇的情況。為求納什均衡點，可對贏利表中的贏利對的第一個元素按列求出最大值，在最大元素標(biāo)上“＊”號；再對贏利對的第二個元素按行求最大值，標(biāo)上“＊”號。贏利對兩個元素同時標(biāo)有“＊”號的就是納什均衡點。例如有以下贏利表：用上述方法可得納什均衡點(有兩個“＊”號的贏利對)：和是兩個納什均衡點。納什均衡點并不一定存在，例如以下贏利表所表示的對策就沒有均衡點。如果納什均衡點存在，雙方選擇它所對應(yīng)的策略，顯然符合“無悔原則”。以下是一個對策理論中著名的案例。雖然它以囚犯對策的形式出現(xiàn)，但是在經(jīng)濟學(xué)中，有很重要的應(yīng)用。囚徒困境兩人因涉嫌共同搶劫被捕，檢察官已初步掌握他們搶劫的證據(jù)，他們很可能是持槍搶劫，但檢察官未掌握持槍的足夠證據(jù)。兩人入獄后被關(guān)押在不同的牢房，避免他們串供。他們兩人面臨的情況是：如一方揭發(fā)另一方持槍，而另一方?jīng)]有揭發(fā)，揭發(fā)方因作為證人而立功，免于刑事處分，被揭發(fā)者將被判15年徒刑；如相互揭發(fā)，兩人都將被判10年徒刑；兩人都不揭發(fā)，各被判5年徒刑。他們該如何選擇？兩囚徒的對策可由表11刻畫。囚徒乙揭發(fā)不揭發(fā)囚徒甲揭發(fā)不揭發(fā)表11求出贏利表的納什均衡點：可知，兩人都應(yīng)采取揭發(fā)對方的策略。對囚徒困境問題，用最大最小收益的方法也得到同樣的結(jié)論。求最大最小收益如下：-10-15-10-15同樣得到雙方都應(yīng)揭發(fā)對方的結(jié)論。有意思的是，若雙方都采取不揭發(fā)的策略，結(jié)果是雙方都只判5年，顯然比判10年好，然而雙方不能事先互通信息，若一方不揭發(fā)，而另一方選擇揭發(fā)，不揭發(fā)方會被判15年，所以任一方都不會輕易采用不揭發(fā)的策略。如雙方可以商量，則情形就完全不同了，這種對策被稱為合作對策，是對策論的另一種研究內(nèi)容。學(xué)生練習(xí)：1.甲、乙兩名兒童玩游戲，雙方可分別出拳頭(代表石頭)，手掌(代表布)，兩個手指(代筆剪刀)，規(guī)則是：剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀，贏者得1分。若雙方所出相同為和局，均不得分，試列出兒童甲的贏得矩陣。2.今有甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們都想通過內(nèi)部改革挖掘，獲得更多的市場份額。已知兩廠分別都有三個策略措施。據(jù)預(yù)測，當(dāng)雙方采取不同策略措施后兩廠占有份額變動情況如下所示：請你分析，理智情況下，甲、乙兩廠最可能出現(xiàn)什么策略，最大收益是多少？3.某地區(qū)有兩家電視臺，在一天的同一個黃金時間，每家各有兩套節(jié)目可供選擇播出。經(jīng)調(diào)查，兩家電視臺各種節(jié)目搭配時甲臺節(jié)目收視率如下表：乙臺節(jié)目1節(jié)目2甲臺節(jié)目A7040節(jié)目B5545甲臺節(jié)目收視率(%)表中是甲臺節(jié)目的收視率，乙臺節(jié)目的收視率可以由以下公式得到：乙臺收視率=100%-甲臺節(jié)目收視率。這里假設(shè)了該地區(qū)的居民只看這兩家電視臺，設(shè)想兩家電視臺事先都知道這張表，即他們都知道彼此選播節(jié)目后各自的收視率，并假設(shè)他們都可以隨時調(diào)整播放的節(jié)目，請分析這兩家電視臺會采取什么樣的節(jié)目播放對策來應(yīng)付他們之間的競爭？4.練習(xí)1中，如果兩家電視臺可能播放的節(jié)目分別為四個、三個，甲臺節(jié)目收視率(%)如下表所示：乙臺節(jié)目1節(jié)目2節(jié)目3甲臺節(jié)目A704535節(jié)目B454050節(jié)目C555055節(jié)目D604550甲臺節(jié)目收視率(%)此時情況變得比較復(fù)雜，他們會采取什么樣的對策呢？5.中美貿(mào)易問題：1996年5月15日，美國政府借口中國對知識產(chǎn)權(quán)保護(hù)不力，單方面宣布：對中國出口到美國的紡織品、服裝及電子產(chǎn)品實施懲罰性關(guān)稅，涉及產(chǎn)品金額達(dá)30億美元，懲罰性稅率達(dá)100%，并于一個月后生效。當(dāng)晚，中國外經(jīng)貿(mào)部發(fā)表公告，做出了強烈的反應(yīng)。公告中表示：如果美國政府一意孤行，中國將實施反報復(fù)，并與美國貿(mào)易報復(fù)措施生效的同時生效。在公告中還列舉了反報復(fù)清單，報復(fù)懲罰額相當(dāng)。事實發(fā)展是：雙方都有允諾，也有威脅。由于中方反報復(fù)力度相當(dāng)，又在強化知識產(chǎn)權(quán)保護(hù)上作了承諾，因而，誘使美方考慮合作與不合作的得與失。雙方經(jīng)過5天的磋商，在知識產(chǎn)權(quán)問題上達(dá)成一致的同時，彼此宣布取消擬采取的貿(mào)易報復(fù)措施，避免了兩敗俱傷的結(jié)局，得到了好的結(jié)果。請你用數(shù)學(xué)建模的知識分析對策的理念。6.1943年2月，第二次世界大戰(zhàn)中的日本，在太平洋戰(zhàn)區(qū)已處于明顯的劣勢。為扭轉(zhuǎn)戰(zhàn)局，日軍統(tǒng)帥山本五十六大將統(tǒng)率下的一支艦隊策劃了一次軍事行動：由集結(jié)地——南太平洋新不列顛群島的拉包爾出發(fā)，穿過卑斯麥海，開往新幾內(nèi)亞的萊城，支援困守在那里的日軍。山本五十六心中非常明白，在日本艦隊穿過卑斯麥海的3天航程中，不可能躲開盟軍的襲擊，他要謀劃的是盡可能減少損失。當(dāng)盟軍獲悉此情報以后，盟軍統(tǒng)帥麥克阿瑟即命令他麾下的太平洋戰(zhàn)區(qū)空軍司令肯尼將軍組織空中打擊。日美雙方的指揮官及參謀人員都進(jìn)行了冷靜與全面的謀劃。自然條件對于雙方來說是已知的?；厩闆r是：(1)從拉包爾到萊城的海上航線有南線和北線兩條，通過時間均為3天。(2)氣象預(yù)報表明，未來3天中，北線陰雨，能見度差；而南線則天氣晴好，能見度佳。局勢估計如下：局勢一：盟軍偵察機重點搜索北線，日本艦隊也恰好走北線。由于氣候惡劣，能見度低以及轟炸機群在南線，因而盟軍只能實施兩天有效的轟炸。局勢二：盟軍偵察機重點搜索北線，而日本艦隊走南線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍轟炸機群在南線，但有效轟炸也只有兩天。局勢三：盟軍偵察機重點搜索南線，而日本艦隊走北線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍轟炸機群在南線，以及北線天氣惡劣，故有效轟炸只能實施1天。局勢四：盟軍偵察機重點搜索南線，日本艦隊也恰好走南線。此時，日軍艦隊北迅速發(fā)現(xiàn)，盟軍轟炸機群所需航程很短，加之天氣晴好，這將使盟軍空軍在3天中皆可實施有效轟炸。歷史情況：局勢1成為事實，即肯尼將軍命令盟軍偵察機重點搜索北線；而山本五十六命令日本艦隊取道北線航行。盟軍飛機在1天后發(fā)現(xiàn)日本艦隊，基地在南線的盟軍轟炸機群遠(yuǎn)程飛行，在惡劣天氣中，實施了2天有效的轟炸，重創(chuàng)了日本艦隊，但未能全殲。請你用數(shù)學(xué)建模的知識分析、解釋策略中的理性思考。7.(斗雞博弈)兩個人舉著火柴棍從獨木橋的兩端走向中央進(jìn)行火拼，每個人都有兩種戰(zhàn)略：繼續(xù)前進(jìn)，或退下陣來。若兩個人都繼續(xù)前進(jìn)，則兩敗俱傷；若一方前進(jìn)，另一方退下來，前進(jìn)者勝利，退下來的丟了面子；若兩人都退下來，兩人都丟面子。請建立合理的支付矩陣，并找到納什均衡解。8.(智者博弈)豬圈里圈著兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有一個豬食槽，另一邊安裝一個按鈕，按一下按鈕會有10個單位的豬食進(jìn)槽。但誰按按鈕就需要付2個單位的成本。若大豬先到，大豬吃到9個單位，小豬吃到1個單位；若同時到，大豬吃7個單位，小豬吃3個單位；若小豬先到，大豬吃6個單位，小豬吃4個單位，請寫出支付矩陣，并找到納什均衡解。9.兩名囚犯因涉嫌搶劫被捕，警方因證據(jù)不足將二人分關(guān)二室，并宣布：若二人均不坦白，則只能因藏有槍支而被判刑1年；若有一人坦白而另一個不坦白，則坦白者無罪釋放，不坦白者唄判刑10年；若二人都坦白，則同判9年。此二人確系搶劫犯，請分析他們的抉擇。若允許二人通話，那結(jié)果會怎樣？

第五節(jié)動態(tài)規(guī)劃——多階段決策問題教學(xué)目標(biāo)：1.類比于高中階段線性規(guī)劃的知識，學(xué)生理解并掌握動態(tài)規(guī)劃的特點與求解思路，能夠解決簡單的多階段決策問題。2.通過運輸路線最短問題的探究，學(xué)生學(xué)會“逆向思維”解決問題的數(shù)學(xué)方法，將復(fù)雜問題簡單化，進(jìn)而找出問題的最優(yōu)解。3.通過數(shù)學(xué)建模的知識解決生活中具體的實際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生想象能力和創(chuàng)造性的思想。動態(tài)規(guī)劃是運籌學(xué)的一個分支，是求解多階段決策問題的最優(yōu)化方法。動態(tài)規(guī)劃問世以來，在經(jīng)濟管理、生產(chǎn)調(diào)度、排序、裝載等問題中，使得求解更為方便。它不像線性規(guī)劃那樣有一個標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對具體問題進(jìn)行具體分析處理，需要豐富的想象力去建立模型，需要創(chuàng)造性的思想去求解。準(zhǔn)確地說，動態(tài)規(guī)劃不是萬能的，它只適于解決一定條件的最優(yōu)策略問題?；蛟S，大家聽到這個結(jié)論會很失望：其實，這個結(jié)論并沒有削減動態(tài)規(guī)劃的光輝，因為屬于上面范圍內(nèi)的問題極多，還有許多看似不是這個范圍中的問題都可以轉(zhuǎn)化為這類問題。這里所說的滿足一定條件，主要是指下面兩點：(1)狀態(tài)必須滿足最優(yōu)化原理；(2)狀態(tài)必須滿足無后效性。這條特征說明什么呢？它說明動態(tài)規(guī)劃適于解決當(dāng)前決策和過去狀態(tài)無關(guān)的問題。狀態(tài)，出現(xiàn)在策略的任何一個未知，它的地位都是相同的，都可以實施同樣的決策。這就是無后效性的內(nèi)涵。在整個物流成本中，運輸成本所占的比例為33%-67%，所以我們必須關(guān)注如何降低運輸成本問題，最大化地利用運輸設(shè)備和人員，優(yōu)化運輸線路是降低運輸成本的關(guān)鍵。運輸路線決策就是找到運輸網(wǎng)絡(luò)中的最佳路線，以盡可能縮短運輸時間或運輸距離，達(dá)到降低運輸成本、改良運輸服務(wù)的目的。這類問題中，可以按照某種方式把整個過程分成若干個互相聯(lián)系的階段，在每個階段都要求作出決策，從而使整個過程達(dá)到最佳效果。動態(tài)規(guī)劃就是解決此類多階段決策問題的最優(yōu)方法。例題1下圖1是一個路線網(wǎng)絡(luò)圖，連線上的數(shù)字表示兩點之間的距離，要求尋找一條由到的路線，使距離最短，并求出最短長度圖1解：對于這樣一個簡單而具體的問題，可直接使用枚舉法列舉所有從A到E的路線，共14條，然后根據(jù)每條路線的距離，確定出距離最短的路線。動態(tài)規(guī)劃的思想是：如果由到的最短路線是：，那么在上圖中從上的任何一點(如)到的所有路線中，最短路線必然是中的子路線(記作)。否則，若到的最短路是另一條路線，則把與連接起來，就會得到一條從到且不同于的更短的路線。根據(jù)最短路的這一特性，可以從最后一段開始，用逐步向前遞推的方法，依次求出路線上各點到的最短路線，最后得到到的最短路。從最后一段開始，用由后往前逐步遞推的方法，求出各點到點的最短路線，最后求得由點到點的最短路線。所以，動態(tài)規(guī)劃的方向是從各點逐段向始點方向?qū)ふ易疃搪肪€的一種方法如下圖所示。由到只有一條路線，故距離為8。由到也只有一條路線，故距離為8?？紤]上一環(huán)節(jié)，出發(fā)點有，，。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為14，距離為16，故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是，且距離為14。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為16，距離為12，故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是且距離為12.從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為20，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是，且距離為20。再考慮前一環(huán)節(jié)，出發(fā)點有，，。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為28，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是，且距離為24。從出發(fā)，有三條路徑可以選擇，一是至，一是至，一是至。由于距離為32，距離為22，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點,的最優(yōu)路徑是，且距離為22。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為18，距離為32，故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是，且距離為18。再考慮最初的第一環(huán)節(jié)，出發(fā)點只有。從出發(fā)，有三條路徑可以選擇，一是至，一是至，一是至。由于距離為30,距離為32，距離為32.故從出發(fā)到達(dá)終點的最優(yōu)路徑是，并且最短距離為30.學(xué)生練習(xí)：1.下圖2、圖3是兩個路線網(wǎng)絡(luò)圖，連線上的數(shù)字表示兩點之間的距離，要求尋找一條由A到E的路線，使距離最短，并求出最短長度。圖2圖32.對下圖4求從出發(fā)經(jīng)過，，再回到最短路線和最短總路程。圖4

第六節(jié)組合問題中的動態(tài)規(guī)劃——背包問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解組合問題中的動態(tài)規(guī)劃背包問題的數(shù)學(xué)模型描述，并學(xué)會應(yīng)用遞推法求解滿足一定條件的一類不定方程的解。2.培養(yǎng)學(xué)生分類討論、劃歸的數(shù)學(xué)思想，理解整數(shù)條件在不定方程求極值問題中的作用。3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。假設(shè)種不同類型的科學(xué)設(shè)備要求裝入一個登上月球的宇宙飛船中，分別編號為。設(shè)一件第類型設(shè)備的科學(xué)價值為，重量為。若整個宇宙飛船載重量的限度是，那么裝載設(shè)備科學(xué)價值最大化的模型是s.t.且為整數(shù)，，其中是所裝載第種設(shè)備的數(shù)量。由于所求的變量都是整數(shù)，問題歸結(jié)為整數(shù)規(guī)劃問題，把宇宙飛船解釋為登山旅行時，就成為背包問題。下面用遞推法求解具體問題為例加以說明。例題2用遞推法求解s.t.。，且為整數(shù)，解：考慮約束條件，，且為整數(shù)，由于的系數(shù)10比較大，接近11，所以從的選法開始考慮，它只能選0或1.當(dāng)時，可以取0,1,2，在考慮當(dāng)時，可以選0,1,2.，當(dāng)時，可以選0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。依此類推，可得如下的可行分支圖：當(dāng)時，只可以取0，再考慮，只可以取0，再考慮，可以取0或1。分支圖如下：因此當(dāng)，時，。學(xué)生練習(xí)：1.背包問題的一個小規(guī)模的實例：物品重量價格1212美元2110美元3320美元4215美元稱重量W=5，請你查找價值最大的子集。2.某條街上每一公里就有一汽車站，乘車費用如下表：公里數(shù)12345678910費用122131404958697990101而一輛汽車從不行駛超過10公里。某人想行駛n公里，假設(shè)他可以任意次換車，請你幫他找到一種乘車方案使費用最小(10公里的費用比1公里小的情況是允許的)。

第七節(jié)貸款問題教學(xué)目標(biāo)：1.綜合運用等差、等比數(shù)列的知識解決有關(guān)一些實際應(yīng)用問題，體會函數(shù)的觀點、化歸的方法在解題過程中的重要作用。2.學(xué)生理解等額本金與等額本息兩種還款方式的異同，學(xué)會建立遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)列的相關(guān)知識解決問題。3.體會用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中的實際問題的巧妙，進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。預(yù)備知識：等比數(shù)列求和公式某人想商業(yè)貸款買房，借200000，期限20年。如果按當(dāng)時的年利率6.39%，20年后一次還清的話，銀行將按月利率0.5325%的復(fù)利計算，則要還。太多了，怕還不起，所以決定每個月還一點錢。他有兩種還貸款方式，一種是等額本息，一種是等額本金。說明：等額本息，是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息，其中本金遞增，利息遞減，也就是說前期還本付息月供里面本金扣得較少，利息較多)，這樣由于每月的還款額固定，可以有計劃地控制家庭收入的支出，也便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。等額本金，是將本金每月等額償還，然后根據(jù)剩余本金計算利息，所以初期由于本金較多，將支付較多的利息，從而使還款額在初期較多，而在隨后的時間每月遞減，這種方式的好處是，由于在初期償還較大款項而減少利息的支出,比較適合還款能力較強的家庭。兩種還款方式比較而言，同樣的金額、同樣的期限，選擇等額本金可以少支付利息，因為它的月供里面扣除的本金部分比等額本息這種方式多一些，那么，每還過一次后，剩余的本金越少，利息就越少了。至于選擇哪種方式，就要看個人的經(jīng)濟條件了，如果你預(yù)測辦完按揭后還有其他方面需要用錢，那么你可以選擇壓力較小的等額本息，等你把大事都辦妥了，攢些余錢到銀行申請部分提前還貸或者提前結(jié)清貸款，你只用還上剩余的本金就可以了(有些銀行會附加收一點違約金)。如果你是高收入家庭，月供只占你家庭收支的一小部分，沒什么經(jīng)濟壓力的話，可以選擇等額本金。在Internet網(wǎng)絡(luò)上有專門的網(wǎng)絡(luò)計算器：分析：貸款金額200000，貸款年數(shù)20，年利率(%)6.39%=0.0639（月利率=6.39/12%=0.5325%）。如果是上述輸入，按照等額本息計算，會見到如下結(jié)果：如果是上述輸入，按照等額本金計算，會見到如下結(jié)果：問題：請用數(shù)學(xué)建模的方法來回答，這兩種情況是怎么算出來的。第一種情況分析：假設(shè)月等額本息還款，20年還清。(提示：貸款模型是按月利率，按月計算的)，用符號表示，設(shè)一開始的貸款金額記為：，貸款年數(shù)記為，年利率記為，月利率記為假設(shè)每年等額還款數(shù)額均為元。問題中的變量為，，，。數(shù)學(xué)模型的建立：確定變量以及變量之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型的建立。這個月記為第個月，假設(shè)尚欠銀行的款數(shù)記為，上個月記為第個月，結(jié)余欠款記為，加上利息記為，減去這個月的還款，還欠。所以，數(shù)學(xué)模型的語言表述為：這個月的欠款等于上個月的欠款加上利息，再減去這個月的等額還款，一開始的借(欠)款已知，20年必須還清，用數(shù)學(xué)符號表示，數(shù)學(xué)模型為：，表示20年(24個月)還清貸款。求解這個數(shù)學(xué)模型只需要用到等比級數(shù)部分和的求和公式。數(shù)學(xué)模型的求解過程如下：；容易觀察出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，對于任何有由等比級數(shù)部分和的求和公式由于，即所以解釋驗證：利用數(shù)學(xué)軟件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的數(shù)據(jù)代入此公式得到的結(jié)果和“房貸計算器”的等額本息情況結(jié)果比較，它們是完全一致的，從而可以斷定“房貸計算器”的等額本息情況用的就是這個數(shù)學(xué)模型。第二種情況分析：假設(shè)月等額本金還款，20年還清。用符號表示，設(shè)一開始的貸款金額記為：，貸款年數(shù)記為，年利率記為，月利率記為則每年等額還款本金數(shù)額均為元。問題中的變量為，，。數(shù)學(xué)模型的建立：則還款累計支付的利息為解釋驗證：利用數(shù)學(xué)軟件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的數(shù)據(jù)代入此公式得到的結(jié)果和“房貸計算器”的等額本金情況結(jié)果比較，它們是完全一致的，從而可以斷定“房貸計算器”的等額本金情況用的就是這個數(shù)學(xué)模型。學(xué)生練習(xí)：1.從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達(dá)式。(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？2.某地區(qū)2000年底有居民住房面積為，現(xiàn)在住房劃分為三類：其中危舊房占，新型住房占，為加快住房建立，計劃用10年的時間全部拆除危舊住房(每年拆除的數(shù)量相同)，自2001年起居民住房只建設(shè)新型住房。使得從2001年開始每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%，用表示第年底(2001年為第一年)該地區(qū)的居民住房總面積。(1)分別寫出，，的表達(dá)式，并歸納出的計算公式，不必證明。(2)危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該地區(qū)居民住房總面積翻兩番？(精確到年、、)3.某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計伺候每年報廢上年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？4.某國采用養(yǎng)老儲蓄金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲蓄金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加(),因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目，，…，是一個公差為的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利。這就是說，如果固定年利率為()，那么，在第年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?，…，以表示到第年末所累積的儲備金總額。(1)寫出與()的遞推關(guān)系式；(2)求證：，其中是一個等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列。5.據(jù)報道，我國森林覆蓋率逐年提高，現(xiàn)已達(dá)國土面積的14%，某林場去年底森林木材儲存量為立方米，若樹林以每年25%的增長率生長，計劃從今年起，每年冬天要砍伐的木材量為立方米，為了實現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲存量兩番的目標(biāo)，問每年砍伐的木材量的最大值是多少？6.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降。若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年(今年為第一年)的利潤為萬元(為正整數(shù))。(1)設(shè)從今年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求、的表達(dá)式；(2)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？

第八節(jié)分形幾何——柯克雪花面積問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解分形幾何的產(chǎn)生背景以及實際意義，初步了解分形幾何的研究范圍及其發(fā)展方向。2.學(xué)生利用分形幾何的“自相擬”性，利用數(shù)列的相關(guān)知識，討論、探究柯克雪花的長度和面積最大值求解方法。3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、感受美的思想情感，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。19世紀(jì)大數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后”，它具有簡潔美、抽象美、符號美、統(tǒng)一美、和諧美、對稱美、形式美、奇異美、有限美、神秘美等特征。美是一個困難問題的簡單解答，一個復(fù)雜問題的簡單答案，美在種種圖案、建筑物、衣服式樣、家具及裝飾等事物的對稱性上；美在人們對和諧、有規(guī)律的事物的喜愛以及從事物中發(fā)現(xiàn)普遍性與統(tǒng)一性的秩序和規(guī)律中。上個世紀(jì)80年代，由于電子計算機特別是圖像顯示系統(tǒng)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的邏輯形式、結(jié)構(gòu)與證明所構(gòu)成的美才通過在計算機屏幕上顯示出結(jié)果使得數(shù)學(xué)家和門外漢都有目共睹。1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似性和維數(shù)”的論文。在這篇論文中他指出：任何海岸線在一定意義下都是無限長的，它依賴于所選取的尺度。若用1公里的尺度測量海岸線，那么小于1公里的彎曲部分就會被忽略不計。若用1米的尺度測量海岸線，那么會得到較長的海岸線。因為它會捕捉到一些曲折的細(xì)節(jié)。若通過衛(wèi)星觀察來測量海岸線，則一定會得出較短的長度。反之，若通過蝸牛爬過的路程來測量海岸線，那么測得長度必然大得驚人?？傊?，尺度越小測得的海岸線長度就越大。當(dāng)然在物理世界，這種越來越精細(xì)的測量過程必然會有終結(jié)。就人的限制而言，你可能會在使用1米間隔的量具后就停止測量，而物理學(xué)家可能認(rèn)為這種測量過程必會在原子層上達(dá)到一個理論的極限。但若從數(shù)學(xué)家理想化的觀點出發(fā)，這種越來越精細(xì)的測量過程應(yīng)該會無限進(jìn)行下去。這意味著測量結(jié)果將無限增大。也就是說，對于海岸線長度這一問題并沒有確切的數(shù)學(xué)定義，而僅僅是一種選擇，甚至于這種選擇都不能看作是某個“真實”答案的近似值。1904年馮柯克考慮出一種幾何圖形，為蒙德爾布羅的不可捉摸的海岸線問題提供了理想的數(shù)學(xué)模型，我們把這個幾何圖形成為柯克島，也有稱柯克雪花，用來描述自然界中雪花形態(tài)的一種手段。這個問題的具體描述是：當(dāng)一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時發(fā)現(xiàn)一個正三角形島嶼(我們記其邊為);第二次觀測時，發(fā)現(xiàn)它并非正三角形，而是每邊中央三分之一處向外有一正三角形半島，形成正六邊形，第三次觀測時，發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央三分之一處又都有一向外突出的半島(正三角形，如圖1)，…，把這個過程無限繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學(xué)模型——柯克雪花。顯然，這個圖形的邊長是無限的，面積是有限的。下面我們來研究柯克雪花的最大面積。圖1問題：如圖1，已知圖形序列{|}，其中是一個正三角形(設(shè)其邊長為)；是的每邊中央的段向外作正三角形，形成正六角形；是的每邊中央的段向外作正三角形……把這個過程無限繼續(xù)下去，所形成的圖形被數(shù)學(xué)家稱為“柯克雪花”。求“柯克雪花”的最大面積是多少？解：設(shè)的邊數(shù)為，面積為，則。由于每一邊都突出一個三角形，使原來的每一邊變成4條邊，則，所以數(shù)列是一個首項為3，公比為4的等比數(shù)列，即。設(shè)的一條邊的長為，則。因為，所以數(shù)列{}是一個首項為，公比為的等比數(shù)列，即。由于的面積等于的面積再加上向外突出的邊長為的共個正三角形的面積，所以，即所以所以所以，“柯克雪花”的最大面積是。數(shù)學(xué)對象以形式上的對稱、和諧、簡潔，總給人的觀感帶來美麗、漂亮的感受。而數(shù)學(xué)上的許多的東西，只有認(rèn)識到它的正確性，才能感覺到它的“美好”。分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ?，會看見它不斷地作無規(guī)則的布朗運動，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞，每秒鐘多達(dá)十億億次下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要是足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。數(shù)學(xué)之美妙，往往來自于“意料之外”但在“情理之中”的事物。分形在生活中的應(yīng)用十分普遍。分形理論的根本出發(fā)點是局部與整體的相似性。應(yīng)用于預(yù)測時，往往是由局部推及整體，探索事物的發(fā)展規(guī)律。因而分形理論在滑坡預(yù)測報中有著重要的應(yīng)用。同時，分形理論還應(yīng)用于醫(yī)學(xué)。美國克拉克森大學(xué)的研究人員發(fā)現(xiàn)，與健康細(xì)胞相比，癌細(xì)胞在外觀上具有更為顯著的分形特征。以此為據(jù)，他使用新的圖像檢測方法，對來自12位患者的300個細(xì)胞樣本進(jìn)行檢查的結(jié)果表明，其準(zhǔn)確度接近100%。據(jù)此他斷言，基于物理的方法，將達(dá)到甚至超過傳統(tǒng)生化檢測方法在單細(xì)胞水平上的檢測能力。在服飾藝術(shù)、繪畫作品、動漫設(shè)計等方面，分形幾何也得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的圖案設(shè)計受到人腦想象力的限制，而且后續(xù)的修改過程也比較繁瑣，而利用分形的自相似性，再結(jié)合計算機，可以在短時間內(nèi)構(gòu)造出千變?nèi)f化而又具有任意高分辨率的結(jié)構(gòu)的分形圖案。不止這樣，分形還可以用來描述許多其他領(lǐng)域的事物，如股票市場的價位變化、湍流的波動起伏、地質(zhì)活動、行星軌道、動物群體行為、社會經(jīng)濟學(xué)模型、甚至音樂也可以通過圖形來表達(dá)。在當(dāng)今的社會中，分形已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，分形理論應(yīng)用的前景是不容小視的，它具有強大的潛力，在不久的將來必定會開闊更廣大的空間。美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。由此可見分形的重要性。學(xué)生練習(xí)：1.謝爾賓斯基海綿的生成原理為：將一個立方體沿其各個面等分為27個小立方體，舍棄位于立方體面心的六個小立方體，以及位于體心的一個小立方體。對余下的20個立方體按相同的方法逐步遞歸…如下圖2。試討論極限情況下這個小立方體的體積和表面積大小。圖22.按照分形的自相擬原理，設(shè)計一個嚴(yán)格自相擬分形集。

第九節(jié)圖論的思想解決實際問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生學(xué)會將一類具體的實際問題抽象為圖形語言，利用圖論的思想解決現(xiàn)實中紛亂復(fù)雜的現(xiàn)實問題。2.通過漂亮的圖形和巧妙的證明，千變?nèi)f化的解題方法，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。3.培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗數(shù)學(xué)建模過程的快樂。圖論是以圖為研究對象的數(shù)學(xué)分支，圖論中的圖指的是一些點以及連接這些點的線的總體。通常用點代表事物，用連接兩點的線代表事物間的關(guān)系。在自然界和人類社會的實際生活中，用圖形來描述和表示某些事物之間的關(guān)系既方便又直觀。圖論的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用相當(dāng)廣泛。許多學(xué)科諸如信息論、控制論、網(wǎng)絡(luò)理論、博弈論、計算機科學(xué)等，都以圖作為工具來解決實際問題和理論問題。從七橋問題談起：18世紀(jì)時，歐洲有一個風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示。當(dāng)時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點？圖1瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1736年發(fā)表了一篇論文討論這個問題，指出這個問題無解。上面的問題可以抽象成數(shù)學(xué)圖形如下，將每一塊陸地視為點，陸地之間架起的橋視為線，則實際問題的圖像描述如下圖2。而一次走遍七座橋，且每座橋只走一次的問題轉(zhuǎn)化為圖形的一筆劃成問題。通過觀察發(fā)現(xiàn)能一筆畫出的圖形,一定只有一個起點和一個終點(這里要求起點和終點重合),中間經(jīng)過的每一點總是包含進(jìn)去的一條線和出來的一條線,這樣除起點和終點外,每一點都只能有偶數(shù)條線與之相連。圖2上面的結(jié)論用定理描述為：歐拉定理:如果一個網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇頂點的個數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。顯然上面的七橋問題中奇頂點的個數(shù)為4，由歐拉定理可知，它不能一筆畫出，也就是不可能一次走遍七座橋，且每座橋只走一次。例題1：舉行一個國際會議，有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G7個人。已知下列事實：A會講英語；B會講英語和漢語；C會講英語、意大利語和俄語；D會講日語和漢語；E會講德語和意大利語；F會講法語、日語和俄語；G會講法語和德語；試問這7個人應(yīng)如何排座位，才能使每個人都能和他身邊的人交談？分析：我們還是用圖來解決這個問題。依然是建立一個圖的模型，確定結(jié)點和邊。這里有“人和語言”，那么我們用點來代表人，于是點集合V={A，B，C，D，E，F(xiàn)，G}。對于任意的兩點，若有共同語言，就在它們之間連一條無向邊，如下圖3：圖3如何排座位使每個人都能和他身邊的人交談？問題轉(zhuǎn)化為在圖中找到一條“通過每個點一次且僅一次的回路”。而A—B—D—F—G—E—C—A即是圖中的一條回路。照這個順序排座位就可以解決問題了。例題2：設(shè)有個機場，每個機場起飛一架飛機，飛到離出發(fā)機場最近的另一個機場降落，且任何兩機場之間距離不相等，試證明：任一機場降落的飛機不能超過5架。分析：顯然，如果機場的個數(shù)不超過6個，其結(jié)論成立。如果機場的個數(shù)超過6個，我們可以將原題利用圖形化的方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：平面上不存在這樣的點，它到六個點，，，，，的距離，，，，，滿足：……圖4事實上,如圖4所示，如果設(shè)點在其多邊形的內(nèi)部，由于，，則為不等邊三角形的最大邊，所以。同理可得：，，，，。所以+++++。顯然這是不可能的，故這樣的點是不存在的。如果多邊形邊數(shù)大于6，我們同樣可以證明。如果點在多邊形的邊上或外部，我們也同樣可證明這樣的點不存在。從而命題總是成立的，即任一機場降落的飛機不能超過5架。學(xué)生練習(xí)：1.判斷下列圖形哪些可以一筆畫出?2.(1)格尼斯堡的居民能否通過建一座新橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(2)格尼斯堡的居民能否通過建兩座新橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(3)格尼斯堡的居民能否通過拆除一座橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(4)格尼斯堡的居民能否通過拆除兩座橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？3.(哈密頓環(huán)球旅行問題)如下圖5，十二面體的20個頂點代表世界20個城市，能否從某個城市出