上海市高三數(shù)學(xué)一模填選難題解析

2013年上海市高三數(shù)學(xué)一?？陀^壓軸題匯編一、填空題1（2014年閔行區(qū)一模理科12）設(shè)依次表示平面直角坐標(biāo)系軸、軸上的單位向量，且，則的取值范圍是答案：詳解：根據(jù)題意，的幾何意義為一個(gè)點(diǎn)到的距離加上這個(gè)點(diǎn)到的距離等于，如下圖所示，即到點(diǎn)的距離加上到的距離等于，而就等于，所以這個(gè)點(diǎn)的軌跡即線段，而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍，最短距離即下圖中的的長(zhǎng)度，用點(diǎn)到直線的距離公式或者等面積法可求得，因?yàn)椋?，所以距離的最大值為3教法指導(dǎo)：用代數(shù)的方法計(jì)算，因?yàn)橛懈?hào)，過(guò)程會(huì)很繁雜，結(jié)合向量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問(wèn)題，簡(jiǎn)潔明了，易于理解，教學(xué)過(guò)程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的使用2（2014年閔行區(qū)一模理科13），若互不相同，且，則的取值范圍是答案：詳解：根據(jù)題意，如圖所示，，，，所以答案為教法指導(dǎo)：這類題出現(xiàn)較多，典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖象，以及相應(yīng)的性質(zhì)，尤其是對(duì)稱性和周期性；在草稿紙上作圖的時(shí)候，雖然是草圖，但有必要做出一些特殊點(diǎn)進(jìn)行定位；寫(xiě)區(qū)間的時(shí)候，務(wù)必考慮區(qū)間的開(kāi)閉情況變式練習(xí)（2014年閔行區(qū)一模文科13）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根（），則的取值范圍是答案：詳解：根據(jù)題意，如圖所示，，3（2014年閔行區(qū)一模理科14），其中，則所有的交集為答案：詳解：因?yàn)?，所以，結(jié)合耐克函數(shù)的圖像，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，遞增，所以所有的交集為教法指導(dǎo)：本題考查了耐克函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合圖像以及函數(shù)的定義域，處理函數(shù)的值域問(wèn)題；難度不大，但學(xué)生可能會(huì)因?yàn)楹袇?shù)而產(chǎn)生畏難心理，可以讓學(xué)生先求，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再總結(jié)歸納變式練習(xí)（2014年閔行區(qū)一模文科14）已知（是實(shí)常數(shù)），則的最大值與最小值的乘積為答案：4（2014年徐匯區(qū)一模理科12）如圖所示，已知點(diǎn)是△的重心，過(guò)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，則的值為答案：詳解：解法一：∵三點(diǎn)共線，假設(shè)，有，∵，∴＝，因?yàn)槭侵匦?，所以即，∵，∴，化?jiǎn)＝解法二：特殊值法，取教法指導(dǎo)：作為填空題，本題的第一做法應(yīng)是解法二，但對(duì)于一些特別認(rèn)真的學(xué)生，一定會(huì)問(wèn)具體做法的，要求我們能夠?qū)懗鼍唧w過(guò)程；注意向量一些常用知識(shí)點(diǎn)，以及一些轉(zhuǎn)化技巧5（2014年徐匯區(qū)一模理科13）一個(gè)五位數(shù)滿足且(如37201,45412)，則稱這個(gè)五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”.那么，共有個(gè)五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”答案：2892詳解：根據(jù)題意，第二位最大，第四位最小，其他三個(gè)數(shù)介于二者之間；由此可以展開(kāi)分類第二位數(shù)與第四位數(shù)相差2，情況為種；第二位數(shù)與第四位數(shù)相差3，情況為種；第二位數(shù)與第四位數(shù)相差4，情況為種；……以此類推，總共的情況為種教法指導(dǎo)：特殊元素優(yōu)先原則，這里面最大的第二位數(shù)與最小的第四位數(shù)最特殊，由此可以展開(kāi)分類；這類題型學(xué)生一般不知道從何下手，我們要教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出特殊元素或特殊位置，從而合理分類6（2014年徐匯區(qū)一模理科14）定義區(qū)間、、、的長(zhǎng)度均為.已知實(shí)數(shù).則滿足的x構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為答案：2詳解：因?yàn)榍蟮氖菂^(qū)間的長(zhǎng)度，原不等式的解的區(qū)間長(zhǎng)度和不等式的解的區(qū)間長(zhǎng)度是一樣的，因?yàn)橹皇菆D像發(fā)生了平移，移項(xiàng)通分得，因式分解后用數(shù)軸標(biāo)根法解得，區(qū)間長(zhǎng)度之和為教法指導(dǎo)：因?yàn)楹袃蓚€(gè)字母，不等式不好解，所以我們要化歸成一個(gè)字母的不等式問(wèn)題，因?yàn)槊枋龅氖菂^(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)題意，圖像平移并不改變區(qū)間長(zhǎng)度，就轉(zhuǎn)化成一個(gè)字母，然后解出不等式即可求區(qū)間長(zhǎng)度，注意轉(zhuǎn)化化歸的領(lǐng)會(huì)；當(dāng)然，這道題也可以用特殊值法，不再贅述7（2014年松江區(qū)一模理科11）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如．定義在上的函數(shù)，若集合，則集合中所有元素的和為答案：詳解：時(shí)，；，；，；教法指導(dǎo)：根據(jù)題目定義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則，用枚舉法列出所有元素即可，重在理解8（2014年松江區(qū)一模理科13）已知函數(shù)，若，且，則答案：2詳解：設(shè)，∴，，四個(gè)根為，，，，它們的倒數(shù)為，，，倒數(shù)之和等于2解法二：特殊值，例如，令，解出四個(gè)根即可教法指導(dǎo)：本題直接求出四個(gè)解，并不難，就怕有些學(xué)生認(rèn)為沒(méi)這么簡(jiǎn)單，從而去從其他角度分析，反而復(fù)雜了，當(dāng)然，本題可以借助數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行理解，作為填空題，特殊值不失為一種好方法9（2014年松江區(qū)一模理科14）設(shè)集合，若且，記為中元素的最大值與最小值之和，則對(duì)所有的，的平均值＝答案：詳解：當(dāng)最大值為時(shí)，最小值可以為1，2，3…，個(gè)數(shù)為，之和為＝；同理當(dāng)最大值為時(shí)，個(gè)數(shù)為，和為；以此類推，所有的個(gè)數(shù)為，所有的和為＝，除以的個(gè)數(shù)就是的平均值＝教法指導(dǎo)：本題可以舉一些的子集，讓學(xué)生理解的意思，然后按最大值或者最小值進(jìn)行分類，注意可能是個(gè)單元素集合，不要遺漏這種情況；這類題目注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心10（2014年青浦區(qū)一模理科13）已知直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)、，定義為兩點(diǎn)的“非常距離”，當(dāng)平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離滿足時(shí)，則的取值范圍是答案：詳解：根據(jù)題意，通過(guò)比較兩點(diǎn)的水平距離和垂直距離，較大的為“非常距離”，為定點(diǎn)，的軌跡是為圓心，3為半徑的圓，根據(jù)下圖，例如兩點(diǎn)的垂直距離較大，那么此時(shí)的非常距離為圖中的綠色線段部分，而兩點(diǎn)的水平距離相比垂直距離更大，那么非常距離為圖中的紫色線段部分，可以得出與的水平距離或垂直距離最大為3，當(dāng)水平距離等于垂直距離的時(shí)候取到最小值，即圖中取的時(shí)候教法指導(dǎo)：理解性的題型，注意引導(dǎo)學(xué)生如何理解題意，講解時(shí)，一定要輔以圖像幫助理解11（2014年青浦區(qū)一模理科14）若不等式對(duì)任意自然數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：詳解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，因?yàn)槭呛愠闪?，大于最大值，不等式右邊的最大值永遠(yuǎn)小于，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，小于最小值，因?yàn)?，時(shí)取最小值2教法指導(dǎo)：恒成立問(wèn)題均為最值問(wèn)題，注意分類討論，并且是自然數(shù)，討論為偶數(shù)的時(shí)候，是可以取0的，學(xué)生可能會(huì)取2，這是個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)12（2014年金山區(qū)一模理科13）如圖，已知直線，拋物線圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線與軸的距離之和的最小值是答案：1詳解：如下圖，，用點(diǎn)到直線距離公式求教法指導(dǎo)：這是2012長(zhǎng)寧區(qū)二模題，注意圓錐曲線的相關(guān)定義，進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖像引導(dǎo)學(xué)生分析13（2014年金山區(qū)一模理科14）在三棱錐中，、、兩兩垂直，且.設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn)，定義，其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積.若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為答案：詳解：依題意得，，，將不等式中的分離得，右邊的最大值為，所以教法指導(dǎo)：這是2012長(zhǎng)寧區(qū)二模題，主要是理解題意，得出是個(gè)定值，要引導(dǎo)學(xué)生看透看似復(fù)雜的表象，抓住條件的本質(zhì)，然后就是一道常見(jiàn)的恒成立題型14（2014年奉賢區(qū)一模理科13）已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意的都滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)只有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是答案：詳解：根據(jù)已知條件，周期為4，先畫(huà)一個(gè)周期圖像，當(dāng)時(shí)，，，由此畫(huà)出的圖像，此為一個(gè)周期，圖像如下，只有4個(gè)零點(diǎn)即與只有4個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槭俏粗?，需要分類討論：①?dāng)時(shí)，有兩個(gè)界值，如下圖，此時(shí)5個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)，解出此時(shí)3個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)，解得②當(dāng)時(shí)，也有兩個(gè)界值，如下圖，此時(shí)3個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)，解得此時(shí)5個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)，解得教法指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的題型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點(diǎn)要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)以及函數(shù)圖像的變換15（2014年奉賢區(qū)一模理科14）已知函數(shù)，任取，定義集合：，設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記，則（1）若函數(shù)，則（2）若函數(shù)，則的最大值為答案：（1）2；（2）2詳解：定義的意思是函數(shù)在以定點(diǎn)（點(diǎn)在函數(shù)圖像上）為圓心半徑為的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即，第一問(wèn)，，定點(diǎn)，如下圖，藍(lán)色實(shí)線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0，所以2第二問(wèn)，對(duì)于，函數(shù)最大值與最小值之差為2，如下圖，通過(guò)理解觀察，可得出能夠同時(shí)包含最大值和最小值，所以的最大值為2，此時(shí)教法指導(dǎo)：這是一道理解性的定義題型，理解題目的定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分析就不難了二、選擇題1（2014年奉賢區(qū)一模理科18）設(shè)雙曲線（）上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為，則的值為（）A．B.C.0D.1答案：A詳解：雙曲線方程兩邊同時(shí)除，得到，當(dāng)，，即方程，這就是方程的極限位置，即求點(diǎn)到直線的距離，所以選A教法指導(dǎo)：這是一類要考慮極限位置的極限題型，在高考題中出現(xiàn)過(guò)類似題型，一般找到了極限位置，題目是很容易解的，很多學(xué)生不會(huì)做是因?yàn)闆](méi)有想到極限位置，而是想把用表示出來(lái)，這就復(fù)雜了2（2014年徐匯區(qū)一模理科18）已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合：①；②；③；④.其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（）A．①②B.②③C.①④D.②④答案：D詳解：根據(jù)題意，對(duì)于圖像上任意點(diǎn)A，圖像上存在點(diǎn)B，使得OA⊥OB，所以用排除法，①中（1,1）點(diǎn)不符合，③中（1,0）點(diǎn)不符合，所以選D教法指導(dǎo)：這類題型，重在理解題意；作為選擇題，排除法與特殊值法是要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用3（2014年青浦區(qū)一模理科18）對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B.C.D.答案：B詳解：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，滿足，所以，化簡(jiǎn)得：，換元（）得：，根據(jù)題意，此方程在上有解，設(shè)，按對(duì)稱軸分類討論：①當(dāng)，，且，解得；②當(dāng)，即可，解得兩種情況取并集，綜上所述，所以選B教法指導(dǎo)：本題要透過(guò)抽象的定義，看到它的本質(zhì)，本質(zhì)上還是一道方程在定義域內(nèi)有解的問(wèn)題，是平時(shí)練習(xí)過(guò)程中經(jīng)常碰到的題型，按對(duì)稱軸分類討論即可；講解的時(shí)候，要讓學(xué)生區(qū)分開(kāi)“恒成立”與“有解”（或者“能成立”的情況），討論根的分布情況時(shí)，最好結(jié)合圖像幫