江蘇省南通市海安高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省南通市海安高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位,).若是純虛數(shù),則（）A.-4 B.-1 C.1 D.42.直線的傾斜角為()A. B. C. D.3.有6名男教師和5名女教師,從中選出2名男教師、1名女教師組成一個(gè)支教小組,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則是中的()A.第28項(xiàng) B.第29項(xiàng) C.第30項(xiàng) D.第32項(xiàng)5.在中,已知,則“”是“”成立的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要6.已知雙曲線,直線.雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A. B. C. D.7.若命題:“,使得”為假命題,則a,b的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.8.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為（）A. B. C. D.-1二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列可以反映總體數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)為()A.方差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)10.已知不等式對任意恒成立,其中是整數(shù),則的取值可以為()A.-4 B.-2 C.0 D.811.直線與拋物線相交于兩點(diǎn),過兩點(diǎn)分別作該拋物線的切線,與直線均交于點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的是()A.直線過定點(diǎn) B.兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為2pC.存在某一條直線,使得為直角D.設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為,則直線FH斜率的取值范圍是三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知集合,則___________.13.設(shè)若,則___________.14.在長方體中,分別是棱的中點(diǎn),則平面CEF截該長方體所得的截面為___________邊形,截面面積為___________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖,在四棱錐中,已知棱AB,AD,AP兩兩垂直,長度分別為1,2,2,若,且向量與夾角的余弦值為.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.16.（15分）已知向量.設(shè).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,若的平分線交BC于點(diǎn),求AD長.17.(15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓的離心率為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,直線與交于A,B兩點(diǎn),直線與交于D,E兩點(diǎn),且的周長是.(1)求橢圓的方程;(2)當(dāng)時(shí),求的面積.18.(17分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(3)求證:對任意的正數(shù),都存在實(shí)數(shù),滿足:對任意的.19.(17分)“踩高蹺,猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng),發(fā)展“地推經(jīng)濟(jì)”,在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.(1)某商戶借“燈謎”活動促銷,將燈謎按難易度分為B、C兩類,抽到較易的類并答對購物打八折優(yōu)惠,抽到稍難的類并答對購物打七折優(yōu)惠.抽取燈謎規(guī)則如下:在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片,其中3張寫有字母,3張寫有字母,2張寫有字母,顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片,若抽到寫有的卡片,則再抽1次,直至取到寫有或卡片為止.求該顧客取到寫有卡片的概率.(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎,規(guī)定只能取一次,并且只可以向前走,不能回頭,他在街道上一共會遇到條燈謎（不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同）,最適合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等,小明準(zhǔn)備采用如下策略:不摘前條燈謎,自第條開始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的,就摘這條燈謎,否則就摘最后一條.設(shè),記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為.①若,求;②當(dāng)趨向于無窮大時(shí),從理論的角度,求的最大值及取最大值時(shí)的值.(取)

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A 2.D 3. 4. 5. 6. 7. 8.B二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9. 10. 11.三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.12. 13.6 14.五,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)解:依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則,因?yàn)?所以,……2分(1)從而,則,……4分解得;……6分(2)易得,設(shè)平面PCD的法向量,則,且,即,且,所以,不妨取,則平面PCD的一個(gè)法向量,…………9分又易得,故,………………12分所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.………………13分16.(15分)解:(1)由……………………4分令,則,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.…………7分（2）因,因?yàn)?所以,即,故;…………9分由余弦定理得,即,所以(負(fù)舍),……………11分所以,即,所以.………………………15分17.(15分)解:(1)由，知，所以，……………2分因?yàn)榈闹荛L是,所以,……………4分所以,故,所以橢圓的方程為.…………6分(2)分析知直線的斜率存在,且不為0,設(shè)的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立:,得,……………8分同理:,……………………10分所以,解得,…………12分所以,直線的方程為,所以,故.……………15分18.(17分)解:(1)當(dāng)時(shí),,令,列表分析1—0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.………………4分(2),其中,令,分析的零點(diǎn)情況.,令,列表分析—0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增...........6分因?yàn)?所以,即,而,因此在有一個(gè)零點(diǎn),在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn).……10分（3）猜想：恒成立.……………11分證:由(2)得在上單調(diào)遞增,且.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以.故在上存在唯一的零點(diǎn),設(shè)為.由-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增知,.…………13分又,而時(shí),,所以.即.所以對任意的正數(shù),存在,使對任意的,使.……15分補(bǔ)充證明(*):令,所以在上單調(diào)遞增.所以時(shí),,即.補(bǔ)充證明(**)令,所以在上單調(diào)遞減.所以時(shí),,即.……………………17分19.(17分)解：(1)該顧客第一次取到寫有卡片的概率為,……..1分該顧客第二次取到寫有卡片的概率,………………..2分該顧客第三次取到寫有卡片的概率,……………3分該顧客第四次取到寫有卡片的概率,………4分該顧客取到寫有卡片的概率為；……5分(2)①這4條燈謎的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序,有種情況,………………7分要摘到那條最適合燈謎,有以下兩種情況:（i）最適合燈謎是第3個(gè),其它的隨意在哪個(gè)位置,有種情況;（ii）最適合燈謎是最后1個(gè),第二適合燈謎是第1個(gè)或第2個(gè),其它的隨意在哪個(gè)位置,有種情況,………………9分故所求概率為;……………………10分②記事件表示最適合燈謎被摘到,事件表示最適合燈謎排在