2023-2024學(xué)年浙江省慈溪市高二上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省慈溪市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)為，故選：B2.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗雙曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故焦點為和，故選：A3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數(shù)列的前5項和，且，則公差（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在圓外，設(shè)圓心為，點為點，切點為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質(zhì)可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點，在上，且，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由正四面體，得，則，由是的中點，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）的左右頂點，若橢圓E上存在點滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，令，則，所以函數(shù)是增函數(shù)，對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點〖答案〗CD〖解析〗對于A，當(dāng)時，直線的斜率不存在，故A錯誤；對于B，若，則，解得或，經(jīng)檢驗，兩個都符合題意，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：CD.10.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算正確的是（）A.若函數(shù)，則B.若函數(shù)（且），則C.若函數(shù)，則（e是自然對數(shù)的底數(shù)）D.若函數(shù)，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），（）．若，記數(shù)列的前n項和為，則（）A.或16 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，由“冰雹猜想”可得，①若為偶數(shù)，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時，則，解得（舍去），②若為奇數(shù)，則，解得，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當(dāng)時，由，得，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，當(dāng)時，由，，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯誤；對于D，數(shù)列從第三項起是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．Q是線段上動點，是線段上動點，則（）A.當(dāng)Q為線段中點時，PQ∥平面B.當(dāng)Q為重心時，到平面的距離為定值C.當(dāng)Q在線段上運動時，直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設(shè)平面法向量為，則，令，可得，設(shè)，則，當(dāng)Q為線段中點時，，則，故此時不平行平面，A錯誤，當(dāng)Q為重心時，則所以，即，，此時，此時PQ∥平面，由于是線段上點，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯誤對于D，取的中點，連接,由于均為中點，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.〖答案〗〖解析〗由可得，所以半徑為，故〖答案〗為：14.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得成等比數(shù)列，由，，得，得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函數(shù)有兩個極值點,則在區(qū)間上有兩個實數(shù)根.,當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)時,令,解得.令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時,函數(shù)取得極大值.當(dāng)趨近于0與趨近于時,,要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根,只需,解得.故〖答案〗為：.16.設(shè)為拋物線的焦點，直線l與拋物線交于兩點，且，則的面積最小值為______.〖答案〗〖解析〗由已知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當(dāng)時，，所以的面積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．解：（1）的定義域為，當(dāng)時，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域為，，當(dāng)時，令，得，令時，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.18.已知圓內(nèi)有一點，直線l過點M，與圓交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1，求直線l的方程．解：（1）直線過點，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；（2）圓上恰有三點到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線垂直于軸時，直線方程為，不合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動點．（1）若分別為棱中點，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，因為，所以，又平面，所以平面；（2）因為，解得或，又因為，所以，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列首項，且滿足（）．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得，所以，令，則，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，.21.已知函數(shù)（）．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若對任意的時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：．（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）對任意的時，都有，即對任意的時，都有，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，因為當(dāng)時，，所以，經(jīng)檢驗符合題意，所以實數(shù)a的取值范圍為；（2）要證，即證，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，因為，所以，所以，所以，故存在，使得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，又因為，所以，所以若，．22.已知雙曲線的漸近線方程為，且點在上．（1）求的方程；（2）點在上，且為垂足．證明：存在點，使得為定值．解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，因為點在上，所以，解得，所以的方程為；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率為時，則，因為點在上，所以，則，由，得，即，，解得或（舍去），故直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不等于時，設(shè)直線的方程為，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，解得（舍去），聯(lián)立，解得（舍去），所以，則，所以直線的方程為，令，則，故直線過點，同理可得當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程為，直線過點，當(dāng)直線的斜率都存在且都不等于零時，因為，所以，由，得，所以，由，得，則，所以，所以，整理得即，所以所以，所以直線得方程為，所以直線過定點，綜上所述，直線過定點，因為，所以存在的中點，使得.浙江省慈溪市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)為，故選：B2.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗雙曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故焦點為和，故選：A3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數(shù)列的前5項和，且，則公差（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在圓外，設(shè)圓心為，點為點，切點為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質(zhì)可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點，在上，且，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由正四面體，得，則，由是的中點，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）的左右頂點，若橢圓E上存在點滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，令，則，所以函數(shù)是增函數(shù)，對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點〖答案〗CD〖解析〗對于A，當(dāng)時，直線的斜率不存在，故A錯誤；對于B，若，則，解得或，經(jīng)檢驗，兩個都符合題意，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：CD.10.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算正確的是（）A.若函數(shù)，則B.若函數(shù)（且），則C.若函數(shù)，則（e是自然對數(shù)的底數(shù)）D.若函數(shù)，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），（）．若，記數(shù)列的前n項和為，則（）A.或16 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，由“冰雹猜想”可得，①若為偶數(shù)，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時，則，解得（舍去），②若為奇數(shù)，則，解得，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當(dāng)時，由，得，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，當(dāng)時，由，，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯誤；對于D，數(shù)列從第三項起是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．Q是線段上動點，是線段上動點，則（）A.當(dāng)Q為線段中點時，PQ∥平面B.當(dāng)Q為重心時，到平面的距離為定值C.當(dāng)Q在線段上運動時，直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設(shè)平面法向量為，則，令，可得，設(shè)，則，當(dāng)Q為線段中點時，，則，故此時不平行平面，A錯誤，當(dāng)Q為重心時，則所以，即，，此時，此時PQ∥平面，由于是線段上點，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯誤對于D，取的中點，連接,由于均為中點，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.〖答案〗〖解析〗由可得，所以半徑為，故〖答案〗為：14.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得成等比數(shù)列，由，，得，得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函數(shù)有兩個極值點,則在區(qū)間上有兩個實數(shù)根.,當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)時,令,解得.令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時,函數(shù)取得極大值.當(dāng)趨近于0與趨近于時,,要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根,只需,解得.故〖答案〗為：.16.設(shè)為拋物線的焦點，直線l與拋物線交于兩點，且，則的面積最小值為______.〖答案〗〖解析〗由已知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當(dāng)時，，所以的面積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．解：（1）的定義域為，當(dāng)時，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域為，，當(dāng)時，令，得，令時，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.18.已知圓內(nèi)有一點，直線l過點M，與圓交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1，求直線l的方程．解：（1）直線過點，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；（2）圓上恰有三點到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線垂直于軸時，直線方程為，不合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動點．（1）若分別為棱中點，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，因為，所以，又平面，所以平面；（2）因為，解得或，又因為，所以，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取