2024屆江蘇省南京市六校高三下學(xué)期期初聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南京市六校2024屆高三下學(xué)期期初聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.復(fù)數(shù)z滿足則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗A〖解析〗由題意得：由，可得，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第一象限．故選：A.2.在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（）A.2045 B.2046 C.4093 D.4094〖答案〗C〖解析〗由，得，而，解得，所以的前11項(xiàng)的和.故選：C.3.已知平面向量，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，所以，又，所以向量與的夾角為．故選：A．4.畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A是，若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗由已知條件可知，且，蒙日?qǐng)A方程為，蒙日?qǐng)A的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，又因?yàn)?，所以，或，解得或，故選：B.5.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)當(dāng)5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當(dāng)5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當(dāng)5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，；令，則是增函數(shù)，所以，即，則，綜上所述：.故選：A.7.某中學(xué)校園內(nèi)紅豆樹(shù)已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹(shù)高度，他選取與紅豆樹(shù)根部在同一水平面的，兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹(shù)根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹(shù)根部在北偏西的方向上，樹(shù)梢的仰角為，則紅豆樹(shù)的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗依題意可得如下圖形：在中，，，，，所以由正弦定理得：，解得：，在，，所以，則紅豆樹(shù)的高度為米.故選：D8.斜率為的直線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左，右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，以雙曲線右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)A，B，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，則，設(shè)，則，即，因?yàn)椋瑒t，可得，，又因?yàn)橹本€的斜率為，即，且為銳角，則，可得或（舍去），則，且，即，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)（）A.與原數(shù)據(jù)的極差相同 B.與原數(shù)據(jù)的眾數(shù)相同C.與原數(shù)據(jù)的方差相同 D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同〖答案〗AD〖解析〗不妨設(shè)，則，對(duì)A，樣本數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為，A正確；對(duì)B，如數(shù)據(jù)1,1,2，2,4的眾數(shù)為1和2，平均數(shù)為2，數(shù)據(jù)1,1,2，2,4，2眾數(shù)為2，B錯(cuò)誤；對(duì)C，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的方差為，所以新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)方差不同，C錯(cuò)誤；對(duì)D，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確；故選:AD.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到〖答案〗ABD〖解析〗，所以函數(shù)的最小正周期是，故A正確；當(dāng)，，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位得到，再將向下平移個(gè)單位得到，故D正確．故選：ABD．11.如圖，該幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.不存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得平面平面C.存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗由題意，可將幾何體補(bǔ)全為一個(gè)正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)椋?，，則，可得，因?yàn)?，則，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面平面，則，，，則，可得，又因?yàn)椋獾?，即?dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，則直線與平面所成角的正弦值為，，所以，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以，存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，可得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即可得或，因?yàn)?，則則，所以，故當(dāng)時(shí)，方程和均無(wú)解，綜上所述，不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題12.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，則m的值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，在的展開(kāi)式中，由，令，得無(wú)解，即的展開(kāi)式中沒(méi)有的項(xiàng)；在的展開(kāi)式中，由，令，解得，即的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，又因?yàn)榈恼归_(kāi)式中的系數(shù)為80，所以，解得.所以m的值為.故〖答案〗為：.13.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗5〖解析〗對(duì)于函數(shù)，令，可得，可知，若點(diǎn)在直線上，則，即，則，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.故〖答案〗為：5.14.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則________.〖答案〗〖解析〗由可得，由得，記，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知在上在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由可得，又，因此，由可得，所以，可得，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），由，得，設(shè)，則，令，得，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，故,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16.某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量（單位：）與藥效指標(biāo)值（單位：）之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門(mén)進(jìn)行了20次試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到一組數(shù)據(jù)（，2，?，20），其中，分別表示第次試驗(yàn)中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值，已知該組數(shù)據(jù)中與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且，，，，.（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）該公司要用與兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備與生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨(dú)立.①?gòu)脑摴旧a(chǎn)的新藥中隨機(jī)抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；②在該新藥產(chǎn)品檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率.參考公式：，.解：（1），，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）設(shè)事件表示“隨機(jī)取一件藥品來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“隨機(jī)取一件藥品來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“所抽藥品為不合格品”，①因?yàn)樵O(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，所以，，，，所以，②，所以三件不合格品中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別為、上的點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）若平面，為的中點(diǎn)，，，求二面角的正切值.（1）證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接、，因?yàn)?，且是平行四邊形，所以，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危瑒t且，所以四邊形是平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，且、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，，時(shí)，連接，則為等邊三角形，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，.設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則，取，可得，，取，可得，所以，，則。所以，，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為.18.已知，，動(dòng)點(diǎn)Z滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD內(nèi)接于曲線E，點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，設(shè)直線AC，BD的斜率分別是，且.（i）記直線AC，BD的交點(diǎn)為G，證明：點(diǎn)G在定直線上；（ii）證明：.（1）解：因?yàn)樗渣c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為，，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意作出圖形如圖所示（i）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，整理得，因?yàn)闉樗倪呅?，所以，所以點(diǎn)在定直線上；（ii）由題知,直線，設(shè)，直線，將代入得，所以，所以，所以，，解得，所以.19.設(shè)數(shù)列滿足，其中，且，為常數(shù).（1）若是等差數(shù)列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得對(duì)任意的都成立，求的最小值；（3）若，且數(shù)列不是常數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的均成立.求所有滿足條件的數(shù)列中的最小值.解：（1）由題意，可得，化簡(jiǎn)得，又，所以.（2）將代入條件，可得，解得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比的等比數(shù)列，所以.欲存在，使得，即對(duì)任意都成立，則，所以對(duì)任意都成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最大值為，所以的最小值為.（3）因?yàn)閿?shù)列不是常數(shù)列，所以．①若，則恒成立，從而，，所以，所以，又，所以，可得是常數(shù)列．矛盾．所以不合題意.②若，?。?），滿足恒成立．由，得．則條件式變?yōu)椋?，知；由，知；由，知．所以，?shù)列（*）適合題意．所以的最小值為.江蘇省南京市六校2024屆高三下學(xué)期期初聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.復(fù)數(shù)z滿足則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗A〖解析〗由題意得：由，可得，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第一象限．故選：A.2.在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（）A.2045 B.2046 C.4093 D.4094〖答案〗C〖解析〗由，得，而，解得，所以的前11項(xiàng)的和.故選：C.3.已知平面向量，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，所以，又，所以向量與的夾角為．故選：A．4.畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A是，若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗由已知條件可知，且，蒙日?qǐng)A方程為，蒙日?qǐng)A的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，又因?yàn)?，所以，或，解得或，故選：B.5.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)當(dāng)5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當(dāng)5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當(dāng)5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，；令，則是增函數(shù)，所以，即，則，綜上所述：.故選：A.7.某中學(xué)校園內(nèi)紅豆樹(shù)已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹(shù)高度，他選取與紅豆樹(shù)根部在同一水平面的，兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹(shù)根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹(shù)根部在北偏西的方向上，樹(shù)梢的仰角為，則紅豆樹(shù)的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗依題意可得如下圖形：在中，，，，，所以由正弦定理得：，解得：，在，，所以，則紅豆樹(shù)的高度為米.故選：D8.斜率為的直線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左，右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，以雙曲線右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)A，B，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，則，設(shè)，則，即，因?yàn)椋瑒t，可得，，又因?yàn)橹本€的斜率為，即，且為銳角，則，可得或（舍去），則，且，即，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)（）A.與原數(shù)據(jù)的極差相同 B.與原數(shù)據(jù)的眾數(shù)相同C.與原數(shù)據(jù)的方差相同 D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同〖答案〗AD〖解析〗不妨設(shè)，則，對(duì)A，樣本數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為，A正確；對(duì)B，如數(shù)據(jù)1,1,2，2,4的眾數(shù)為1和2，平均數(shù)為2，數(shù)據(jù)1,1,2，2,4，2眾數(shù)為2，B錯(cuò)誤；對(duì)C，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的方差為，所以新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)方差不同，C錯(cuò)誤；對(duì)D，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確；故選:AD.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到〖答案〗ABD〖解析〗，所以函數(shù)的最小正周期是，故A正確；當(dāng)，，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位得到，再將向下平移個(gè)單位得到，故D正確．故選：ABD．11.如圖，該幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.不存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得平面平面C.存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗由題意，可將幾何體補(bǔ)全為一個(gè)正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)?，，，則，可得，因?yàn)?，則，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面平面，則，，，則，可得，又因?yàn)?，解得，即?dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，則直線與平面所成角的正弦值為，，所以，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以，存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，可得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即可得或，因?yàn)椋瑒t則，所以，故當(dāng)時(shí)，方程和均無(wú)解，綜上所述，不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題12.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，則m的值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，在的展開(kāi)式中，由，令，得無(wú)解，即的展開(kāi)式中沒(méi)有的項(xiàng)；在的展開(kāi)式中，由，令，解得，即的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，又因?yàn)榈恼归_(kāi)式中的系數(shù)為80，所以，解得.所以m的值為.故〖答案〗為：.13.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗5〖解析〗對(duì)于函數(shù)，令，可得，可知，若點(diǎn)在直線上，則，即，則，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.故〖答案〗為：5.14.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則________.〖答案〗〖解析〗由可得，由得，記，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知在上在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由可得，又，因此，由可得，所以，可得，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），由，得，設(shè)，則，令，得，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，故,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16.某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量（單位：）與藥效指標(biāo)值（單位：）之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門(mén)進(jìn)行了20次試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到一組數(shù)據(jù)（，2，?，20），其中，分別表示第次試驗(yàn)中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值，已知該組數(shù)據(jù)中與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且，，，，.（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）該公司要用與兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備與生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨(dú)立.①?gòu)脑摴旧a(chǎn)的新藥中隨機(jī)抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；②在該新藥產(chǎn)品檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率.參考公式：，.解：（1），，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）設(shè)事件表示“隨機(jī)取一件藥品來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“隨機(jī)取一件藥品來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“所抽藥品為不合格品”，①因?yàn)樵O(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，所以，，，，所以，②，所以三件不合格品中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別為、上的點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）若平面，為的中點(diǎn)，，，求二面角的正切值.（1）證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接、，因?yàn)?，且是平行四邊形，所以，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危瑒t且，所以四邊形是平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，，時(shí)，連接，則為等邊三角形，所以，