北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題4.9 三角形章末重難點突破（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.9三角形章末重難點突破【北師大版】【考點1三角形的三邊關(guān)系】【例1】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期末）一個三角形兩邊長分別為3，7，若它的周長是小于16的整數(shù)，則第三邊的長為（）A．1 B．3 C．5 D．7【變式1-1】(2023春?九江期末）小明現(xiàn)有兩根4cm、9cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個三角形木框，現(xiàn)從5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有三種選擇方案．【變式1-2】(2023春?西城區(qū)校級期中）長度為20厘米的木棍，截成三段，每段長度為整數(shù)厘米，請寫出一種可以構(gòu)成三角形的截法，此時三段長度分別為，能構(gòu)成三角形的截法共有種．（只考慮三段木棍的長度）【變式1-3】(2023春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點（不含端點），連結(jié)BD，請判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【考點2三角形中三線的應(yīng)用】【例2】(2023春?遷安市期末）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊CB上的中線和高，AE＝6cm，S△ABD＝12cm2，則BC的長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式2-1】(2023春?貴陽期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為60，BD＝5，則△BDE的BD邊上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】(2023春?寬城區(qū)期末）如圖，△ABC的面積為30，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EF⊥BC于點F．（1）求△BDE的面積．（2）若EF＝5，求CD的長．【變式2-3】(2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交CD、CA于點F、E．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）說明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面積分別表示為S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，則S△CEF﹣S△BDF＝（僅填結(jié)果）．【考點3三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【例3】(2023春?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是AC上一點，E是AB上一點，BD，CE相交于點F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，則∠EFD的度數(shù)是（）A．115° B．120° C．135° D．105°【變式3-1】(2023春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°【變式3-2】(2023春?興隆縣期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，點P為BC上任意一點，可以與C重合但不與點B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．（1）當(dāng)點P與C重合時，求∠ADB的度數(shù)；（2）當(dāng)AP⊥BC時，直接寫出∠ADB的度數(shù)；（3）直接寫出∠ADB的取值范圍．【變式3-3】(2023春?鐵西區(qū)期末）在△ABC中，點D，E分別在邊AC，BC上，點P是邊AB上的一個動點，（1）如圖，若∠ACB＝90°，①當(dāng)∠DPE＝75°時，求∠ADP+∠BEP的度數(shù)；②當(dāng)∠DPE＝60°時，則∠ADP+∠BEP＝°；（2）若∠ACB＝m，當(dāng)∠DPE＝n時，請直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度數(shù)．【考點4直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】如圖，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足為P，如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分別等于多少？【變式4-1】如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD與∠DHE的度數(shù)．【變式4-2】（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀是什么？為什么？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，點C，B，E在同一直線上，∠A與∠D有什么關(guān)系？為什么？【變式4-3】(2023春?興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數(shù)；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．【考點5全等三角形的性質(zhì)】【例5】(2023秋?安徽月考）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且△DEF≌△DEA，若∠BDF﹣∠CEF＝60°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．35° D．40°【變式5-1】(2023秋?臨西縣期末）已知△ABC≌△A'B'C，∠A＝40°，∠CBA＝60°，A'C交邊AB于P（點P不與A、B重合）．BO、CO分別平分∠CBA，∠BCP，若m°＜∠BOC＜n°，則n﹣m的值為（）A．20 B．40 C．60 D．100【變式5-2】(2023春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D、點E分別在邊AB、BC上，連結(jié)AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周長比△AEC的周長大6．則△AEC的周長為．【變式5-3】(2023春?二道區(qū)期末）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，點C為AD中點．（1）求∠BAE的度數(shù)和AE的長．（2）延長BC交ED于點F，則∠DFC的大小為度．【考點6全等三角形的判定】【例6】(2023春?樂平市期末）如圖，已知BC＝EF，AF＝DC，點A、F、C、D四點在同一直線上．要利用“SAS”來判定△ABC≌△DEF，下列四個條件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【變式6-1】(2023春?市南區(qū)期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、D在同條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF【變式6-2】(2023春?南海區(qū)校級月考）如圖，AB＝AC，角平分線BF、CE交于點O，AO與BC交于點D，則圖中共有（）對全等三角形．A．8 B．7 C．6 D．5【變式6-3】(2023秋?內(nèi)江期末）如圖1，已知AB＝AC，D為∠BAC的角平分線上面一點，連接BD，CD；如圖2，已知AB＝AC，D、E為∠BAC的角平分線上面兩點，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB＝AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中有全等三角形的對數(shù)是（）A．n B．2n﹣1 C．n(n+1)2 D．3（n【考點7全等三角形的判定與性質(zhì)】【例7】(2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于點E，若BD＝6.4，CD＝5.2．則DE的長度為（）A．1.2 B．0.6 C．0.8 D．1【變式7-1】(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC外一點，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點O，在BD上取一點E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，則∠BDC的度數(shù)為．【變式7-2】(2023春?榆陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點F，∠ABC的平分線BE交AD于點E，CD⊥AC，連接BD．（1）DB⊥AB嗎？請說明理由；（2）試說明：∠DBE與∠AEB互補．【變式7-3】(2023春?富平縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為△ABC邊AC上一點，BC＝CD，點M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC嗎？為什么？（2）求∠DHF的度數(shù)；（3）若EB平分∠DEC，則BE平分∠ABC嗎？請說明理由．【考點8全等三角形的應(yīng)用】【例8】(2023春?溫江區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的A點處，正對他的S點停有一艘游艇．他想知道這艘游艇距離他有多遠，于是他沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達C點．然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時他位于D點．那么C，D兩點間的距離就是在A點處小明與游艇的距離．在這個問題中，可作為證明△SAB≌△DCB的依據(jù)的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS【變式8-1】(2023春?西安期末）如圖，小明站在堤岸涼亭A點處，正對他的S點停有一艘游艇，他想知道涼亭與這艘游艇之間的距離，于是制定了如下方案．課題測涼亭與游艇之間的距離測量工具皮尺等測量方案示意圖測量步驟①小明沿堤岸走到電線桿B旁；②再往前走相同的距離，到達C點；③然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來．測量數(shù)據(jù)AB＝10米，BC＝10米，CD＝5米（1）涼亭與游艇之間的距離是米．（2）請你說明小明做法的正確性．【變式8-2】(2023春?陳倉區(qū)期末）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．【變式8-3】(2023春?于洪區(qū)期末）如圖1，為測量池塘寬度AB，可在池塘外的空地上取任意一點O，連接AO，BO，并分別延長至點C，D，使OC＝OA，OD＝OB，連接CD．（1）求證：AB＝CD；（2）如圖2，受地形條件的影響，于是采取以下措施：延長AO至點C，使OC＝OA，過點C作AB的平行線CE，延長BO至點F，連接EF，測得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，請直接寫出池塘寬度AB．【考點9全等三角形中的動點問題】【例9】(2023春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向點B運動；點Q從點B出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線BD方向運動．點P、點Q同時出發(fā)，當(dāng)以P、B、Q為頂點的三角形與△CAP全等時，a的值為（）A．2 B．3 C．2或3 D．2或12【變式9-1】(2023春?蘇州期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點C，△ABC的邊上有兩個動點D、E，點D以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿AC→CB移動到點B，點E以3cm/s的速度從點B出發(fā)，沿BC→CA移動到點A，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)運動時間為t，則當(dāng)t＝s時，以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．【變式9-2】(2023春?晉中期末）綜合與探究如圖（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝7cm．點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線BD上運動．它們運動的時間為t（s）（當(dāng)點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點Q的運動速度為xcm/s，其它條件不變，當(dāng)點P、Q運動到何處時有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值．【變式9-3】(2023秋?宜賓期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點D在AC上，且AD＝6cm，過點A作射線AE⊥AC（AE與BC在AC同側(cè)），若動點P從點A出發(fā)，沿射線AE勻速運動，運動速度為1cm/s，設(shè)點P運動時間為t秒．連接PD、BD．（1）如圖①，當(dāng)PD⊥BD時，求證：△PDA≌△DBC；（2）如圖②，當(dāng)PD⊥AB于點F時，求此時t的值．【題型10用尺規(guī)作三角形】【例10】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期末）作圖題（要求：用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．已知：∠α，∠β，線段c（如圖所示）．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝2c．【變式10-1】(2023春?和平區(qū)期末）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：線段a，c，∠α．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠BAC＝∠α．【變式10-2】(2023春?市北區(qū)期末）已知：線段a，直線l及l(fā)外一點A．求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，且頂點B、C在直線l上，斜邊AB＝a．【變式10-3】(2023秋?曹縣期末）如圖，已知線段a和∠α，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，∠ABC=12∠專題4.9三角形章末重難點突破【北師大版】【考點1三角形的三邊關(guān)系】【例1】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期末）一個三角形兩邊長分別為3，7，若它的周長是小于16的整數(shù)，則第三邊的長為（）A．1 B．3 C．5 D．7分析：設(shè)第三邊的長為l，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行解答即可．【解答】解：設(shè)第三邊的長為l，則7﹣3＜l＜7+3，即4＜l＜10，∴14＜周長＜20，∵它的周長是小于16的整數(shù)，∴周長為15，∴第三邊長為5，故選：C．【變式1-1】(2023春?九江期末）小明現(xiàn)有兩根4cm、9cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個三角形木框，現(xiàn)從5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有三種選擇方案．分析：根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊，求得第三邊的取值范圍；再從中找到符合條件的數(shù)值．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒應(yīng)＞5cm，而＜13cm．故7cm，9cm，11cm能滿足，有三種選擇方案．故答案是：三．【變式1-2】(2023春?西城區(qū)校級期中）長度為20厘米的木棍，截成三段，每段長度為整數(shù)厘米，請寫出一種可以構(gòu)成三角形的截法，此時三段長度分別為，能構(gòu)成三角形的截法共有種．（只考慮三段木棍的長度）分析：已知三角形的周長，分別假設(shè)三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關(guān)系進行驗證即可求得不同的截法．【解答】解：∵木棍的長度為20厘米，即三角形的周長為20厘米，∴①當(dāng)三角形的最長邊為9厘米時，有4種截法，分別是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；②當(dāng)三角形的最長邊為8厘米時，有3種截法，分別是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米；③當(dāng)三角形的最長邊為7厘米時，有1種截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；∴能構(gòu)成三角形的截法共有4+3+1＝8種．故答案為：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8．【變式1-3】(2023春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點（不含端點），連結(jié)BD，請判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．分析：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解．【解答】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．【考點2三角形中三線的應(yīng)用】【例2】(2023春?遷安市期末）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊CB上的中線和高，AE＝6cm，S△ABD＝12cm2，則BC的長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm分析：由AD為CB邊上的中線可得S△ABC＝2S△ABD＝24cm2，再根據(jù)三角形ABC的面積計算公式12BC?AE=24，可解出【解答】解：∵AD為CB邊上的中線，∴S△ABC＝2S△ABD＝24cm2，即12又AE＝6cm，解得：BC＝8cm，故選：C．【變式2-1】(2023春?貴陽期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為60，BD＝5，則△BDE的BD邊上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：由中線AD推出△ABD的面積，再由中線BE推出△BED的面積，最后結(jié)合BD＝5求出BD邊上的高．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC＝60，∴S△ABD=12S△ABC∵BE是△ABD的中線，∴S△BDE=12S△ABD設(shè)BD邊上的高為h，BD＝5，∴12?BD??=1∴h＝6．故選：D．【變式2-2】(2023春?寬城區(qū)期末）如圖，△ABC的面積為30，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EF⊥BC于點F．（1）求△BDE的面積．（2）若EF＝5，求CD的長．分析：（1）由中線性質(zhì)可得S△ABD=12S△ABC，S△BED=12（2）由三角形面積公式S△BDE=12BD?EF，即152=52【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD=12S△ABC∵BE是△ABD的中線，∴S△BED=12S△ABD（2）∵EF⊥BC，∴S△BDE=12BD?EF∴BD＝3，∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD＝3．【變式2-3】(2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交CD、CA于點F、E．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）說明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面積分別表示為S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，則S△CEF﹣S△BDF＝（僅填結(jié)果）．分析：（1）由CD⊥AB得∠A+∠ACD＝90°，結(jié)合∠A＝∠BCD，從而得∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°；（2）由（1）可知∠ACB＝90°，則有∠CEF＝90°﹣∠CBE，再由CD⊥AB得∠BFD＝90°﹣∠DBF，結(jié)合BE是∠ABC的平分線，有∠CBE＝∠DBF，從而有∠CEB＝∠BFD，最后由對頂角∠CFE＝∠BFD，即可求解；（3）由已知條件可得：CE=13AC，BD=14BD，由S△ABC的面積為36，可得：CD=72AB，BC=72AC，再由S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF），整理得S△CEF﹣S△BDF＝【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°；（2）由（1）可知∠ACB＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠CBE，∵CD⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣∠DBF，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠CBE＝∠DBF，∴∠CEB＝∠BFD，∵∠CFE＝∠BFD，∴∠CEF＝∠CFE；（3）∵AC＝3CE、AB＝4BD，∴CE=13AC，BD=∵S△ABC＝36，△ABC是直角三角形，∴12AB?CD=36，得：CD12AC?BC＝36，得：BC=∵由（1）可得△BCE，△BDF是直角三角形，∴S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF），整理得：S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCD=1=1＝12﹣9＝3．故答案為：3．【考點3三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【例3】(2023春?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是AC上一點，E是AB上一點，BD，CE相交于點F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，則∠EFD的度數(shù)是（）A．115° B．120° C．135° D．105°分析：由△ABD的內(nèi)角和為180°，可以求∠ADB，由△AEC內(nèi)角和為180°，可以求∠AEC，再根據(jù)四邊形AEFD內(nèi)角和為360°，可求∠EFD．【解答】解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四邊形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，故選：A．【變式3-1】(2023春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°分析：已知∠A＝18°，欲求∠C，需求∠ABC．如圖，由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM，得∠1＝∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°，則需求∠3．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠3+∠C＝112°，∠ABC+∠C+18°＝180°，即3∠3+∠C＝162°，故求得∠3＝25°．【解答】解：如圖，由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故選：A．【變式3-2】(2023春?興隆縣期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，點P為BC上任意一點，可以與C重合但不與點B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．（1）當(dāng)點P與C重合時，求∠ADB的度數(shù)；（2）當(dāng)AP⊥BC時，直接寫出∠ADB的度數(shù)；（3）直接寫出∠ADB的取值范圍．分析：（1）由三角形的內(nèi)角和定理求得∠ABC的度數(shù)，利用角平分線的定義可求解∠ABD的度數(shù)，結(jié)合點P與C重合時∠BAP＝90°，利用角平分線的定義可求解∠BAD的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角定理可求解（2）由當(dāng)AP⊥BC可得∠APB＝90°，利用角平分線的定義可求解∠ABD，∠BAD的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角定理可求解；（3）先利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADB＝165°﹣∠BAD，利用P點分別于B點，C點重合時分別求解∠ADB的度數(shù)，進而可求解∠ADB的取值范圍．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝15°，當(dāng)點P與點C重合時，∠BAP＝∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAP，∴∠BAD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣15°﹣45°＝120°；（2）當(dāng)AP⊥BC時，∠APB＝90°，∴∠BAP＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝15°，∵AD平分∠BAP，∴∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣15°﹣30°＝135°；（3）∵∠ABD＝15°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣15°＝165°﹣∠BAD，當(dāng)P點與B點重合時，∠BAD＝0°，∴∠ADB＝165°，當(dāng)P點與C點重合時，∠BAD＝45°，∴∠ADB＝120°，∴120°≤∠ADB＜165°．【變式3-3】(2023春?鐵西區(qū)期末）在△ABC中，點D，E分別在邊AC，BC上，點P是邊AB上的一個動點，（1）如圖，若∠ACB＝90°，①當(dāng)∠DPE＝75°時，求∠ADP+∠BEP的度數(shù)；②當(dāng)∠DPE＝60°時，則∠ADP+∠BEP＝°；（2）若∠ACB＝m，當(dāng)∠DPE＝n時，請直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度數(shù)．分析：（1）①由三角形的內(nèi)角和定理可得：∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，結(jié)合∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝105°，從而可求得∠ADP+∠BEP的度數(shù)；②根據(jù)①的方式進行求解即可；（2）結(jié)合（1）的過程，進行求解即可．【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝105°，∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，90°+105°+（∠ADP+∠BEP）＝360°，解得：∠ADP+∠BEP＝165°；②同理①可得：∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝120°，可求得：∠ADP+∠BEP＝150°；故答案為：150；（2）①∵∠ACB＝m，∴∠A+∠B＝180°﹣m，∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝180°﹣n，∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，180°﹣m+180°﹣n+（∠ADP+∠BEP）＝360°，解得：∠ADP+∠BEP＝m+n．【考點4直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】如圖，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足為P，如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分別等于多少？分析：在直角△ABP中，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABP＝90°﹣∠A＝90°﹣α；利用同角的余角相等可得∠PCD＝90°﹣∠ACB＝∠A＝α．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝90°﹣∠A＝90°﹣α；∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∴∠PCD＝90°﹣∠ACB＝∠A＝α．【變式4-1】如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD與∠DHE的度數(shù)．分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，再根據(jù)∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD代入數(shù)據(jù)計算即可得解；然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠DHE＝∠BAD+∠AEH計算即可得解．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．【變式4-2】（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀是什么？為什么？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，點C，B，E在同一直線上，∠A與∠D有什么關(guān)系？為什么？分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【解答】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A為公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．【變式4-3】(2023春?興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數(shù)；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，進而得到∠CAB＝∠DCB，根據(jù)角平分線的定義計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝∠CAE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠CEF＝∠AFD，根據(jù)對頂角相等證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）證明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．【考點5全等三角形的性質(zhì)】【例5】(2023秋?安徽月考）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且△DEF≌△DEA，若∠BDF﹣∠CEF＝60°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．35° D．40°分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△DEF≌△DEA，∴∠F＝∠A，∵∠BDF＝∠A+∠1，∠1＝∠CEF+∠F，∴∠1＝∠CEF+∠A，∴∠BDF＝∠A+∠CEF+∠A，∴2∠A＝∠BDF﹣∠CEF＝60°，∴∠A＝30°，故選：A．【變式5-1】(2023秋?臨西縣期末）已知△ABC≌△A'B'C，∠A＝40°，∠CBA＝60°，A'C交邊AB于P（點P不與A、B重合）．BO、CO分別平分∠CBA，∠BCP，若m°＜∠BOC＜n°，則n﹣m的值為（）A．20 B．40 C．60 D．100分析：根據(jù)角平分線的定義得出∠BOC＝90°+12∠BPC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及P點在AB邊上且不與A、B重合，確定∠【解答】解：∵BO、CO分別平分∠ABC、∠PCB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°?12（∠ABC+∠＝180°?12（180°﹣∠＝90°+12∠BPC＝90°+12（∠＝110°+12∠∵∠A＝40°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵P點在AB邊上且不與A、B重合，∴0°＜∠ACP＜80°，∴0°＜2∠BOC﹣220°＜80°，∴110°＜∠BOC＜150°，∴m＝110，n＝150．∴n﹣m＝40．故選：B．【變式5-2】(2023春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D、點E分別在邊AB、BC上，連結(jié)AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周長比△AEC的周長大6．則△AEC的周長為．分析：由AC：AB：BC＝2：3：4，可設(shè)AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．△ABC的周長比△AEC的周長大6，可推斷出x＝2，故AC＝4，BC＝8．由△ADE≌△BDE，得AE＝BE，故C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝12．【解答】解：∵△ADE≌△BDE，∴BE＝AE．∴C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC．∵AC：AB：BC＝2：3：4，∴設(shè)AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．∵△ABC的周長比△AEC的周長大6，∴C△ABC﹣C△AEC＝6．∴（AB+BC+AC）﹣（BC+AC）＝6．∴AB＝3x＝6．∴x＝2．∴AC＝2x＝4，BC＝4x＝8．∴C△AEC＝BC+AC＝8+4＝12．故答案為：12．【變式5-3】(2023春?二道區(qū)期末）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，點C為AD中點．（1）求∠BAE的度數(shù)和AE的長．（2）延長BC交ED于點F，則∠DFC的大小為度．分析：（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠ADE，AD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAD，根據(jù)周角的概念求出∠EAB，根據(jù)線段中點的概念求出AE；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE，∠B＝10°，AB＝4cm，∴∠ADE＝∠B＝10°，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB＝4cm，∵∠AED＝20°，∴∠EAD＝180°﹣∠EAD﹣∠AED＝180°﹣10°﹣20°＝150°，∴∠CAB＝150°，∴∠EAB＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵點C為AD中點，∴AC=12AD=1∴AE＝2cm；（2）∵∠B＝10°，∠CAB＝150°，∴∠ACB＝180°﹣150°﹣10°＝20°，∴∠FCD＝20°，∴∠DFC＝180°﹣20°﹣10°＝150°，故答案為：150．【考點6全等三角形的判定】【例6】(2023春?樂平市期末）如圖，已知BC＝EF，AF＝DC，點A、F、C、D四點在同一直線上．要利用“SAS”來判定△ABC≌△DEF，下列四個條件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④分析：先證明AC＝DF，則已知兩組對應(yīng)邊相等，所以要已知它們的夾角相等，則∠ACB＝∠DFE或BC∥EF．【解答】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，∵BC＝EF，∴當(dāng)∠ACB＝∠DFE時，可根據(jù)“SAS”來判定△ABC≌△DEF；當(dāng)BC∥EF，則∠ACB＝∠DFE時，可根據(jù)“SAS”來判定△ABC≌△DEF．故選：B．【變式6-1】(2023春?市南區(qū)期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、D在同條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF分析：根據(jù)全等三角形的判定方法進行判斷．【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴當(dāng)添加∠B＝∠E時，根據(jù)ASA判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AC＝DF時，根據(jù)SAS判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠ACD＝∠BFE時，則∠ACB＝∠DFE，根據(jù)AAS判定△ABC≌△DEF．故選：D．【變式6-2】(2023春?南海區(qū)校級月考）如圖，AB＝AC，角平分線BF、CE交于點O，AO與BC交于點D，則圖中共有（）對全等三角形．A．8 B．7 C．6 D．5分析：根據(jù)題意和圖形，可以寫出全等的三角形，從而可以得到圖中全等三角形的對數(shù)，本題得以解決．【解答】解：∵AB＝AC，角平分線BF、CE交于點O，∴AO平分∠BAC，點D為BC的中點，∴BD＝CD，在△BAD和△CAD中，AB=ACAD=AD∴△BAD≌△CAD（SSS）；同理可證：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACE，由上可得，圖中共有7對全等的三角形，故選：B．【變式6-3】(2023秋?內(nèi)江期末）如圖1，已知AB＝AC，D為∠BAC的角平分線上面一點，連接BD，CD；如圖2，已知AB＝AC，D、E為∠BAC的角平分線上面兩點，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB＝AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中有全等三角形的對數(shù)是（）A．n B．2n﹣1 C．n(n+1)2 D．3（n分析：根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對三角形全等；圖3中有6對三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個圖形中全等三角形的對數(shù)．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，又DE＝DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對三角形全等；同理：圖3中有6對三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是n(n+1)2故選：C．【考點7全等三角形的判定與性質(zhì)】【例7】(2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于點E，若BD＝6.4，CD＝5.2．則DE的長度為（）A．1.2 B．0.6 C．0.8 D．1分析：過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F，根據(jù)AAS證明△AFC≌△AEB，得到AF＝AE，CF＝BE，再根據(jù)HL證明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF＝DE，最后根據(jù)線段的和差即可求解．【解答】解：過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F，∴∠AFC＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AFC＝∠AED＝∠AEB＝90°，在△AFC和△AEB中，∠AFC=∠AEB∠ACF=∠ABE∴△AFC≌△AEB（AAS），∴AF＝AE，CF＝BE，在Rt△AFD和Rt△AED中，AF=AEAD=AD∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），∴DF＝DE，∵CF＝CD+DF，BE＝BD﹣DE，CF＝BE，∴CD+DF＝BD﹣DE，∴2DE＝BD﹣CD，∵BD＝6.4，CD＝5.2，∴2DE＝1.2，∴DE＝0.6，故選：B．【變式7-1】(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC外一點，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點O，在BD上取一點E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，則∠BDC的度數(shù)為．分析：根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝70°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BDC＝∠BAC＝40°．故答案為：40°．【變式7-2】(2023春?榆陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點F，∠ABC的平分線BE交AD于點E，CD⊥AC，連接BD．（1）DB⊥AB嗎？請說明理由；（2）試說明：∠DBE與∠AEB互補．分析：（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則可根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACD，所以∠ABD＝∠ACD，從而得到DB⊥AB；（2）先利用等角的余角相等得到∠BAF＝∠DBF，再利用角平分線的定義得到∠ABE＝∠FBE，則利用三角形外角性質(zhì)和等量代換得到∠BEF＝∠DBE，從而得到∠DBE+∠AEB＝180°．【解答】解：（1）DB⊥AB．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴DB⊥AB；（2）∵AD⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠DBF+∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠DBF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∴∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝∠DBF+∠FBE＝∠DBE，∵∠AEB+∠BEF＝180°，∴∠DBE+∠AEB＝180°，即∠DBE與∠AEB互補．【變式7-3】(2023春?富平縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為△ABC邊AC上一點，BC＝CD，點M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC嗎？為什么？（2）求∠DHF的度數(shù)；（3）若EB平分∠DEC，則BE平分∠ABC嗎？請說明理由．分析：（1）由“SAS”可證△ABC≌△EDC；（2）由“SAS”可證△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的內(nèi)角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，從而問題得以解決；（3）由三角形的內(nèi)角和可得∠DEB+∠EBC＝60°，因為∠DEB＝∠BEC，只要證出∠DEB+∠ABE＝60°，用三角形的外角以及等量代換可以證出，進而得到BE平分∠ABC．【解答】解：（1）△ABC≌△EDC．理由：∵CA平分∠BCE，∴∠ACB＝∠ACE，∵AC＝CE，BC＝CD，∴△ABC≌△EDC（SAS）；（2）在△CDG和△CBF中，CF=CG∠ACB=∠ACE=60°∴△CDG≌△CBF（SAS），∴∠CBF＝∠CDG，∵∠DFH＝∠BFC，∴∠DHF＝∠BCF＝60°；（3）BE平分∠ABC．理由：由（1）得△ABC≌△EDC，∴∠ABC＝∠EDC，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BEC+∠CBE＝60°，又∵∠DFH＝∠A+∠ABE＝∠BEC+∠FCG，∵∠A＝∠DEC＝2∠DEB＝2∠BEC，∴2∠DEB+∠ABE＝∠BEC+60°，∴∠DEB+∠ABE＝60°，∴∠ABE＝∠CBE，即BE平分∠ABC．【考點8全等三角形的應(yīng)用】【例8】(2023春?溫江區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的A點處，正對他的S點停有一艘游艇．他想知道這艘游艇距離他有多遠，于是他沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達C點．然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時他位于D點．那么C，D兩點間的距離就是在A點處小明與游艇的距離．在這個問題中，可作為證明△SAB≌△DCB的依據(jù)的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS分析：根據(jù)全等三角形的判定定理進行解答．【解答】解：在△ABS與△CBD中，∠A=∠C=90°AB=CB∴△ABS≌△CBD（ASA）；或∵AS∥CD，∴∠S＝∠D．在△ABS與△CBD中，∠S=∠D∠ABS=∠DBC∴△ABS≌△CBD（AAS）；綜上所述，作為證明△SAB≌△DCB的依據(jù)的是ASA或AAS．故選：C．【變式8-1】(2023春?西安期末）如圖，小明站在堤岸涼亭A點處，正對他的S點停有一艘游艇，他想知道涼亭與這艘游艇之間的距離，于是制定了如下方案．課題測涼亭與游艇之間的距離測量工具皮尺等測量方案示意圖測量步驟①小明沿堤岸走到電線桿B旁；②再往前走相同的距離，到達C點；③然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來．測量數(shù)據(jù)AB＝10米，BC＝10米，CD＝5米（1）涼亭與游艇之間的距離是米．（2）請你說明小明做法的正確性．分析：根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）涼亭與游艇之間的距離是5米；故答案為：5．（2）理由：在△ABS與△CBD中，∠A=∠C=90°AB=CB∴△ABS≌△CBD（ASA），∴AS＝CD＝5米．【變式8-2】(2023春?陳倉區(qū)期末）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．分析：（1）甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等測量的，所以是可行的；（2）甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案可行；（2）甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【變式8-3】(2023春?于洪區(qū)期末）如圖1，為測量池塘寬度AB，可在池塘外的空地上取任意一點O，連接AO，BO，并分別延長至點C，D，使OC＝OA，OD＝OB，連接CD．（1）求證：AB＝CD；（2）如圖2，受地形條件的影響，于是采取以下措施：延長AO至點C，使OC＝OA，過點C作AB的平行線CE，延長BO至點F，連接EF，測得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，請直接寫出池塘寬度AB．分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【解答】證明：（1）在△ABO與△CDO中OC=OA∠BOA=∠DOC∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；（2）如圖所示：延長OF、CE交于點G，∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴EF＝EG，∵CE＝11m，EF＝10m，∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，∵CG∥AB，∴∠A＝∠C，在△ABO與△CGO中∠A=∠COA=OC∴△ABO≌△CGO（ASA）∴AB＝CG＝21m．【考點9全等三角形中的動點問題】【例9】(2023春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向點B運動；點Q從點B出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線BD方向運動．點P、點Q同時出發(fā)，當(dāng)以P、B、Q為頂點的三角形與△CAP全等時，a的值為（）A．2 B．3 C．2或3 D．2或12分析：根據(jù)題意，可以分兩種情況討論，第一種△CAP≌△PBQ，第二種△CAP≌△QBP，然后分別求出相應(yīng)的a的值即可．【解答】解：當(dāng)△CAP≌△PBQ時，則AC＝PB，AP＝BQ，∵AC＝6，AB＝14，∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8，∴BQ＝8，∴8÷a＝8÷2，解得a＝2；當(dāng)△CAP≌△QBP時，則AC＝BQ，AP＝BP，．∵AC＝6，AB＝14，∴BQ＝6，AP＝BP＝7，∴6÷a＝7÷2，解得a=12由上可得a的值是2或127故選：D．【變式9-1】(2023春?蘇州期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點C，△ABC的邊上有兩個動點D、E，點D以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿AC→CB移動到點B，點E以3cm/s的速度從點B出發(fā)，沿BC→CA移動到點A，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)運動時間為t，則當(dāng)t＝s時，以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三