重難點(diǎn)04幾何綜合題（22年上海二模25題）-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（原卷版）

重難點(diǎn)04幾何綜合題（22年上海二模25題）幾何題是中考數(shù)學(xué)中必考題目之一，主要考察了利用圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）證明線段、角的數(shù)量關(guān)系及動(dòng)態(tài)幾何問題。這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來(lái)解答．將幾何綜合題目分解為基本問題，轉(zhuǎn)化為基本圖形或者可與基本圖形、方法類比，從而使問題得到解決?！緷M分技巧】一、?？碱}型幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動(dòng)型、情景型等，背景鮮活，具有實(shí)用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查考生分析問題、探究問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個(gè)方面的問題：1、證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和、差、倍、分及比例關(guān)系等）；2、證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等）；3、幾何計(jì)算問題；4、動(dòng)態(tài)幾何問題等.二、基本圖形及輔助線解決幾何綜合題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線，在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型，找到“新”問題與“舊”模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問題。在中檔幾何題目教學(xué)中注重對(duì)基本圖形及輔助線的積累是非常必要的。1、與相似及圓有關(guān)的基本圖形2、正方形中的基本圖形3、基本輔助線（1）角平分線——過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線（角平分線的性質(zhì)）、翻折；（2）與中點(diǎn)相關(guān)——倍長(zhǎng)中線（八字全等），中位線，直角三角形斜邊中線；（3）共端點(diǎn)的等線段——旋轉(zhuǎn)基本圖形（60°，90°），構(gòu)造圓；垂直平分線，角平分線——翻折；轉(zhuǎn)移線段——平移基本圖形（線段）線段間有特殊關(guān)系時(shí)，翻折；（4）特殊圖形的輔助線及其遷移——梯形的輔助線等作雙高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面積；銳角三角函數(shù)平移腰——上下底之差；兩底角有特殊關(guān)系（延長(zhǎng)兩腰）；梯形——三角形平移對(duì)角線——上下底之和；對(duì)角線有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。注：在繪制輔助線時(shí)要注意同樣輔助線的不同說(shuō)法，可能會(huì)導(dǎo)致解題難度有較大差異。三、解題思路1、注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過(guò)添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形．2、掌握常規(guī)的證題方法和思路．3、運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問題．還要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法伯?dāng)?shù)形結(jié)合、分類討論等）．【限時(shí)檢測(cè)】一．解答題（共16小題）1．（2022?嘉定區(qū)二模）在梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠DAB＝90°，DC＝3，DA＝6，AB＝9，點(diǎn)E在射線AB上，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，交射線DC于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x．（1）當(dāng)x＝1時(shí)，直線EF與AC交于點(diǎn)G，如圖1，求GE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)x＞3時(shí)，直線EF與射線CB交于點(diǎn)H．①當(dāng)3＜x＜9時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M（與點(diǎn)A、D不重合）在邊AD上運(yùn)動(dòng)，且AM＝BE，聯(lián)結(jié)MH交AC于點(diǎn)N如圖2，隨著動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，試問CH：HN的值有沒有變化，如果有變化，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；如果沒有變化，請(qǐng)你求出CH：HN的值；②聯(lián)結(jié)AH，如果∠HAE＝∠CAD，求x的值．2．（2022?楊浦區(qū)二模）已知在扇形AOB中，點(diǎn)C、D是上的兩點(diǎn)，且．（1）如圖1，當(dāng)OD⊥OA時(shí)，求弦CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)AD，交半徑OC于點(diǎn)E，當(dāng)OD∥AC時(shí)，求的值；（3）當(dāng)四邊形BOCD是梯形時(shí)，試判斷線段AC能否成為⊙O內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請(qǐng)求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD中，AD＝5，以AD上的一點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．（1）當(dāng)AE＝4時(shí)，求矩形對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)邊AB＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且∠GEF＝45°，求邊AB的長(zhǎng)．4．（2022?松江區(qū)二模）已知△ABC中，AB＝AC，AD、BE是△ABC的兩條高，直線BE與直線AD交于點(diǎn)Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，①求證：DB2＝DQ?DA；②如果＝3，求∠C的正切值；（2）如果BQ＝3，EQ＝2，求△ABC的面積．5．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．6．（2022?黃浦區(qū)二模）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）當(dāng)BC＝EC時(shí)，求證：AB＝OE；（2）設(shè)BC＝a，用含a的代數(shù)式表示線段BE的長(zhǎng)，并寫出a的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)OD、DE，當(dāng)△DOE是以DE為直角邊的直角三角形時(shí)，求BC的長(zhǎng)．7．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC＝6，AD⊥AC，點(diǎn)E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，射線DE交邊BC于點(diǎn)F．（1）求證：DC＝2AB；（2）如果DF⊥BC，求∠ACD的余弦值；（3）當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．8．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，已知△ABC，點(diǎn)E在邊AC上，且∠BAC＝∠CBE，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與射線BE交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD．（1）求證：AB2＝BE?BD；（2）如果AB＝4，cos∠ABC＝．①當(dāng)BE＝BC，求CE的長(zhǎng)；②當(dāng)AB＝DC時(shí)，求∠BAC的正弦值．9．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝26，BC＝42，cosB＝，AD＝DC．點(diǎn)M在射線CB上，以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的⊙C交射線CD于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，交射線CA于點(diǎn)G．（1）求線段AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)線段CM＝x，＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DM，當(dāng)∠NMC＝2∠DMN時(shí)，求線段CM的長(zhǎng)．10．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓O與邊AC的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D，與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線與圓O相交于點(diǎn)P，與BC相交于點(diǎn)Q，DP的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FQ．（1）求證：DP＝EP；（2）設(shè)OA＝x，△FPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）如果△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，求AO的長(zhǎng)．11．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10．點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，且CG＝AE，聯(lián)結(jié)EG，以線段EG為對(duì)角線作正方形EDGF，邊ED交AC邊于點(diǎn)M，線段EG交AC邊于點(diǎn)N，邊EF交BC邊于點(diǎn)P．（1）求證：NG＝2EN；（2）設(shè)AE＝x，△AEN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；（3）聯(lián)結(jié)NP，當(dāng)△EPN是直角三角形時(shí)，求AE的值．12．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AB為圓O的直徑，C是弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．（1）求證：＝；（2）如果AF?AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；（3）聯(lián)結(jié)OF，如果△AOF為直角三角形，求的值．13．（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作∠BPF＝∠ADC，設(shè)射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（即點(diǎn)E、F與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；（3）設(shè)AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．14．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝9，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E、F分別在線段AB、DC上，且AE＝DF，聯(lián)結(jié)EF，以AE、EF為鄰邊作平行四邊形AEFG．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)平行四邊形AEFG是矩形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線，分別交EF、AG、AC于點(diǎn)P、Q、M．當(dāng)DP＝MQ時(shí)，求AE的長(zhǎng)．15．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是邊BC上一點(diǎn)，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AB＝4，BP＝4．（1）求線段PD的長(zhǎng)；（2）如果∠C的平分線CQ交線段PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求∠CQP的正切值；（3）過(guò)點(diǎn)D作Rt△ABC的直角邊的平行線，交直線AP于點(diǎn)E，作射線CE，交直線PD于點(diǎn)F，求的值．16．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如果三角形中一個(gè)內(nèi)角α的兩條夾邊中有一條邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這條邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“奇異三角形”，角α叫做“奇異角”，這條邊叫做“角α的奇異邊”．（1）如圖1，已知在△AB