串講01 三角計算（考點串講）（解析版）

串講01三角計算知識網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識梳理1.兩角和與差的余弦公式名稱公式使用條件兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R2.兩角和與差的正弦公式名稱公式使用條件兩角和的正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R3.輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).4.兩角和與差的正切公式名稱公式使用條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－15.二倍角公式公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)6.二倍角公式變形（1）sin2α＝（2）cos2α＝（3）1±sin2α＝(sinα±cosα)2.7.半角公式（1）sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，（2）coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，（3）taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，（4）taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，（5）taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).8.正弦型函數(shù)（1）φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響（2）ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響（3）A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響9.余弦定理（1）（2）（3）10.余弦定理變形（1）（2）（3）11.正弦定理（其中R是△ABC外接圓的半徑）四、常考題型探究考點一余弦和差公式例1．（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用和的余弦公式計算即可.【詳解】.故選：B例2．求值：.【答案】【解析】直接逆用兩角差的余弦公式即可得結(jié)果.【詳解】原式.【變式探究】1.（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩角差的余弦公式計算．【詳解】．故選：B．考點二求特殊角的余弦值例3.（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩角和的余弦公式求得正確結(jié)果.【詳解】.故選：A考點三正弦和差公式例4.（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導公式，逆用兩角差的正弦公式進行求解即可.【詳解】，故選：B化簡：．【答案】0.【解析】直接利用兩角和與差的正弦、余弦展開化簡，可求解.【詳解】解：（方法一）原式．（方法二）原式．【變式探究】=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可求出結(jié)果.【詳解】.故選：A考點四輔助角公式例6.的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)輔助角公式，直接計算，即可得出結(jié)果．【詳解】．故選：B考點五正切和差公式例7.已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩角和的正切公式可得.【詳解】．故選：D化簡，求值：（1）已知，求的值；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用兩角和的正切公式計算即可；（2）逆用兩角和的余弦公式計算即可.【詳解】解：（1），；（2）【變式探究】若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可根據(jù)兩角和的正切公式得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：B考點六“1”的轉(zhuǎn)換例9.已知，則的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】將換為，然后分子、分母同除以即可求解.【詳解】.故選：D考點七正弦倍角公式例10.已知角的頂點在坐標原點，始邊在軸非負半軸上，且角的終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求出的值，根據(jù)二倍角的正弦公式，即可求出的值．【詳解】由題意，角的頂點在坐標原點，始邊在軸非負半軸上，且角的終邊上一點，所以，，所以．故選：D化簡：【答案】【分析】由倍角公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系化簡即可.【詳解】原式【變式探究】已知，為第三象限角，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知利用同角的平方關(guān)系可求的值，進而根據(jù)二倍角的正弦公式即可求解．【詳解】解：，為第三象限角，，，故選：B考點八余弦倍角公式例12.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題中條件，根據(jù)二倍角的余弦公式，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：D例13.化簡：.【答案】1【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式切化弦，再利用二倍角公式化簡即可求值．【詳解】解：．【變式探究】若，則=（

）A． B．C．0 D．【答案】C【詳解】.故選：C考點九正切倍角公式例14.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸正半軸重合，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得,結(jié)合正切的二倍角公式即可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，所以.故選：A【變式探究】已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，利用平方關(guān)系得到，再利用商數(shù)關(guān)系得到，最后用兩和的正切求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以．故選：A考點十正弦型函數(shù)的圖象例15.把函數(shù)f（x）＝sin2x的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象.則g（x）的解析式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可求解，得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象.故選：C【變式探究】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來2的倍，再向左平移個單位，所得圖象的函數(shù)解析式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換求解.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來2的倍，得到，再向左平移個單位，得到，故選：C考點十一正弦型函數(shù)的性質(zhì)例16.若函數(shù)是奇函數(shù)，則可取的一個值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】的圖象左右平移仍為奇函數(shù)，即可求得.【詳解】的圖象左右平移仍為奇函數(shù)，則.故選：A例17.已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍，得到函數(shù)的圖象，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數(shù)求參數(shù).（2）由（1）得，根據(jù)圖象平移過程寫出解析式.【詳解】（1）因為是奇函數(shù)，所以，即.又，所以，檢驗符合.（2）由（1）得：.將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍，得到的圖象.故.【變式探究】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】令，代入的遞增區(qū)間，即可得答案；【詳解】令，則可以化為，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，即，解得，故原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為考點十二余弦定理例18.在中，已知則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，通過計算即可得到答案.【詳解】因為在中有，由余弦定理得：所以故選：B在中，已知，判斷的形狀.【答案】等腰三角形【分析】借助正弦定理將原式化簡即可得.【詳解】法一：由正弦定理，故可化為，即，故為等腰三角形.法二：由正弦定理，故可化為，又，故，則或（舍），故，故為等腰三角形.【變式探究】△內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則△最大內(nèi)角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理，可得，進而，可知△最大角為角，再由余弦定理的推論，即可求出結(jié)果.【詳解】由余弦定理，，所以；所以，所以最大角為角，由余弦定理推論.故選：A考點十三正弦定理例20.在△ABC中，AB＝1，BC＝2，，則（

）A．60° B．90° C．45° D．120°【答案】B【分析】利用正弦定理計算求得.【詳解】由正弦定理得,∴,故選：B例21.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．(1)若，，求c；(2)若的面積為，，求a．【答案】(