專題38事件的相互獨(dú)立性條件概率與全概率公式（理科）（教師版）

專題38事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式（理科）（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨(dú)立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨(dú)立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨(dú)立性檢驗2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.事件的獨(dú)立性：事件的獨(dú)立性是指兩個或多個事件之間沒有關(guān)聯(lián)，即它們的發(fā)生互不影響。通常，如果兩個事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱它們是相互獨(dú)立的;2.相互獨(dú)立事件：兩個或多個事件之間沒有關(guān)聯(lián)，即它們的發(fā)生互不影響;3.條件概率：條件概率是指在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。通常，如果事件A和事件B滿足P(A|B)>0，則稱A在B的條件下發(fā)生;條件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B);4.全概率公式：全概率公式是指對于一組互斥完備事件群，某個事件發(fā)生的概率可以分解成若干個事件發(fā)生的概率的加權(quán)和。通常，如果事件是互斥完備事件群中的某個事件，則對于任一事件E，有全概率公式：P(E)=∑P(E|A)P(A)，其中A為所有可能的事件;5.事件的相互獨(dú)立性、條件概率和全概率公式是概率論中的重要概念，它們在解決概率問題時具有廣泛應(yīng)用。需要注意在解決具體問題時，要根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活運(yùn)用這些概念和公式;【備考策略】1.了解兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義,會利用獨(dú)立性計算概率;2.了解條件概率,能計算簡單隨機(jī)事件的條件概率;3.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系,會利用乘法公式計算概率;;【命題預(yù)測】1.事件的相互獨(dú)立性：這個概念通常會出現(xiàn)在對概率模型的理解和構(gòu)建中;2.條件概率：這個概念在許多實際問題中有著廣泛的應(yīng)用;3.全概率公式：這個公式在求解某些概率問題時非常有用;知識講解一、事件的相互獨(dú)立性1.定義設(shè),為兩個事件,如果P(A)P(B),那么稱事件與事件相互獨(dú)立.

2.性質(zhì)(1)若事件與相互獨(dú)立,則P(B),P(A),P(A)·P(B).

(2)如果事件與相互獨(dú)立,那么與,與,與也都相互獨(dú)立.二、條件概率與全概率公式1.條件概率(1)條件概率一般地,設(shè),為兩個隨機(jī)事件,且,我們稱為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.

(2)概率的乘法公式由條件概率的定義,對任意兩個事件與,若,則P(A)P(B|A).我們稱上式為概率的乘法公式.

(3)條件概率的性質(zhì)設(shè),則①1;

②若與是兩個互斥事件,則P(B|A)+P(C|A);

③設(shè)B和互為對立事件,則(B|)=1P(B|A).

2.全概率公式一般地,設(shè),,…,是一組兩兩互斥的事件,,且,,則對任意的事件,有.我們稱上面的公式為全概率公式,全概率公式是概率論中最基本的公式之一.貝葉斯公式設(shè),,…,是一組兩兩互斥的事件,,且,,則對任意事件,,有,其中.在貝葉斯公式中,和分別稱為先驗概率和后驗概率.

求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的策略(1)列出題中涉及的各個事件,并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎?(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩個事件是互斥還是對立或者是相互獨(dú)立),列出關(guān)系式;(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算;(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時,可先間接地計算其對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.條件概率的求法1.定義法:先求和,再由求.2.基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件數(shù),再求事件所包含的基本事件數(shù),得.應(yīng)用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組,即滿足全概率公式的的一個劃分;(2)用來表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件是否發(fā)生)的情況下,人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識,當(dāng)有了新的信息(知道事件發(fā)生)時,人們對諸事件發(fā)生可能性大小有了新的估計,貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化.考點(diǎn)一、相互獨(dú)立事件的概率1．在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對立事件，獨(dú)立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.【詳解】對于A，事件與事件是相互獨(dú)立事件，但不是對立事件，故A錯誤；對于B，對于事件與事件，,事件與事件是相互獨(dú)立事件,故B錯誤；對于C，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有種，其中，事件發(fā)生，則兩次朝下的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有種，所以，因為拋擲正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，所以，故C正確；對于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D錯誤.2．（2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知事件A、B滿足，，則（

）A． B．C．事件相互獨(dú)立 D．事件互斥【答案】C【分析】利用對立事件概率求法得，結(jié)合已知即獨(dú)立事件的充要條件判斷C，由于未知其它選項無法判斷.【詳解】由題設(shè)，所以，即相互獨(dú)立，同一試驗中不互斥，而未知，無法確定、.3．一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨(dú)立 D．【答案】C【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義及古典概率公式逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個：，其中事件發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；，D不正確.1．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【分析】結(jié)合互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的知識求得正確答案.【詳解】∵，∴，∴事件與相互獨(dú)立、事件與不互斥，故不對立.2．（2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題）分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨(dú)立事件 D．【答案】B【分析】對于A，由互斥事件的定義判斷，對于B，由條件概率的公式求解即可，對于C，由獨(dú)立事件的定義判斷，對于D，由求解【詳解】對于A，由題意可知，，不可能同時發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A不正確；對于B，由題意可得，所以，所以B正確；對于C，因為，，，所以，所以與B不是相互獨(dú)立事件，所以C錯誤；對于D，由C選項可知D是錯誤的.3．隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.考點(diǎn)二、條件概率1．（2023屆浙江省十校聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知隨機(jī)事件A，B，，，，則.【答案】【分析】首先求出，則，則，最后利用對立事件的求法即可得到答案.【詳解】依題意得，所以故，所以.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)概率的乘法公式計算可得.【詳解】因為，，所以.3．（2023年普通高等學(xué)校招生“圓夢杯”統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題）某人連續(xù)兩次對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式計算出，再利用條件概率公式計算出答案.【詳解】設(shè)第一次擊中目標(biāo)為事件A，第二次擊中目標(biāo)為事件B，則，，，所以，故，則.4．已知，，則.【答案】/【分析】由條件概率公式求解，【詳解】由題意得，而，得，而，解得.1．（2023屆江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知，為兩個隨機(jī)事件，，，，，則（

） B． D．【答案】B【分析】根據(jù)互斥、對立事件的加法公式和條件概率公式和乘法公式即可求解?！驹斀狻?，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得.2．已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則A，B對立C．若A，B獨(dú)立，則D．若A，B互斥，則【答案】C【分析】利用條件概率的概率公式以及獨(dú)立事件與對立事件的概率公式，對四個選項進(jìn)行分析判斷，即可得到答案；【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若A，B對立，則，反之不成立，故B錯誤；對C，根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；對D，若A，B互斥，則，故D錯誤；3．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）據(jù)調(diào)查，某地市民大約有0.03%的人患某種疾病，該地大約有0.1%的市民有超過20年的時間有某種不良飲食習(xí)慣，這些人患這種疾病的人約為10%.現(xiàn)從飲食不良習(xí)慣不超過20年的市民中隨機(jī)抽取1名市民，則他患此疾病的概率約為%（精確到0.01）.【答案】0.02%【分析】由條件概率及乘法公式計算即可.【詳解】事件為不良習(xí)慣不超過20年，則，所以，又因為，所以.4．（2023屆湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）人群中患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有15%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.5%，則不吸煙者中患肺癌的概率是．（用分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】設(shè)患肺癌為事件A，吸煙為事件B，由題有，即可得答案.【詳解】設(shè)患肺癌為事件A，吸煙為事件B，則，不吸煙者中患肺癌的概率為.又由全概率公式有，則，解得．考點(diǎn)三、全概率公式的應(yīng)用1．甲?乙兩個箱子里各裝有5個大小形狀都相同的球，其中甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則取出的球是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一白球放入乙箱中，設(shè)事件表示：從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則取出的球是紅球，則有：，所以.2．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）在三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)之比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為（

）【答案】B【分析】由題意可知，分別求出此人來自三個地區(qū)的概率，再利用條件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【詳解】設(shè)事件為“此人是流感患者”，事件分別表示此人來自三個地區(qū)，由已知可得，，由全概率公式得3．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）盒中有2個紅球，3個黑球，2個白球，從中隨機(jī)地取出一個球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.【詳解】從盒中任取1球，是紅球記為，黑球記為，白球記為，則，，彼此互斥，設(shè)第二次抽出的是紅球記為事件B，則，，，，，，.4．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知P（B）=0.3，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知利用全概率公式得，即可求解.【詳解】由全概率公式可得：可得，解得：.則.1．（2023年黑龍江省模擬考試數(shù)學(xué)試題）2023年3月24日是第28個“世界防治結(jié)核病日”，我國的宣傳主題是“你我共同努力，終結(jié)結(jié)核流行”，呼吁社會各界廣泛參與，共同終結(jié)結(jié)核流行，維護(hù)人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性的概率為（

）【答案】D【分析】應(yīng)用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性為事件A,設(shè)隨機(jī)抽取一人實際患病為事件B,隨機(jī)抽取一人非患為事件，則.2．（2023屆吉林省聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是，夏季來的概率是，如果冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國”景點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型分別求出冬季去了“一眼望三國”和夏季去了“一眼望三國”的概率，再結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三國”，則，，在冬季去了“一眼望三國”的概率，在夏季去了“一眼望三國”的概率，所以去了“一眼望三國”的概率.3．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）某批產(chǎn)品來自，兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)線占，次品率為4%；生產(chǎn)線占，次品率為，現(xiàn)隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測，若抽到的是次品，則它來自生產(chǎn)線的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.【詳解】因為抽到的次品可能來自于，兩條生產(chǎn)線，設(shè)“抽到的產(chǎn)品來自生產(chǎn)線”，“抽到的產(chǎn)品來自生產(chǎn)線”，“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，則，由全概率公式得，所以它來自生產(chǎn)線的概率是.4．設(shè)驗血診?某種疾病的誤診率為，即若用表示驗血為陽性，表示受驗者患病，則，若已知受檢人群中有患此病，即，則一個驗血為陽性的人確患此病的概率為.【答案】【分析】結(jié)合條件概率的計算公式，得到，即可求解.【詳解】由題意，結(jié)合條件概率的計算公式，可得：.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率為.2．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進(jìn)行了三局的概率.【詳解】由題意，甲獲得冠軍的概率為，其中甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率為，∴所求概率為.3．拋擲兩枚均勻的硬幣，出現(xiàn)恰好有一枚硬幣正面向上的概率記為；有四個鬮，其中只有一個代表獎品，四個人按序依次抓鬮決定獎品的歸屬，第三個人中獎的概率記為．則與滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋硬幣利用列舉法可求得，因為只有一個獎品，第三個人中獎時，前兩人均沒有中獎，由此可求出，進(jìn)而可得答案【詳解】解：設(shè)兩枚硬幣分別為A，B，則可能出現(xiàn)的情況只有4種：AB都是正面；AB都是反面；A正面B反面；A反面B正面，所以，四個人按序依次抓鬮，則第三個人中獎的概率，所以.4．長時間玩可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩超過1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩不超過1的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩時間超過的學(xué)生”，“玩時間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用全概率公式求隨機(jī)事件B的概率問題，把事件B分拆成兩個互斥事件與的和，再利用條件概率公式計算是解決問題的關(guān)鍵.5．（2023屆福建省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為（

）【答案】D【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行分析求解即可.【詳解】由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩，則，且兩兩互斥，所以，又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件為“選到綁帶式口罩”，則所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為.6．為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第球投進(jìn)的概率為，則他第球投進(jìn)的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，，，，由全概率公式可得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進(jìn)與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進(jìn)行計算.7．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．則投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，乙只投了1個球包括甲未投進(jìn)乙投進(jìn)結(jié)束，甲未投進(jìn)乙未投進(jìn)甲再投投進(jìn)結(jié)束兩個互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率求解.【詳解】設(shè)，分別表示甲、乙在第k次投籃時投中，則，，（，2），記“投籃結(jié)束時，乙只投了1個球”為事件D．則8，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲以獲勝為事件，甲以勝為事件，則，互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率．【詳解】解：甲以獲勝為事件，甲以勝為事件，則，互斥，且，，所以在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為：.9．2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務(wù)，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，該項試驗任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務(wù)成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把試驗任務(wù)成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計算作答.【詳解】試驗任務(wù)成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，，互斥，，，，所以試驗任務(wù)成功的概率.10．（2023屆陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某中學(xué)舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為，乙隊和丙隊答對該題的概率都是.若各隊答題的結(jié)果相互獨(dú)立且都進(jìn)行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計算即可.【詳解】解：記“甲隊答對該題”為事件A，“乙隊答對該題”為事件B，“丙隊答對該題”為事件C，則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率.11．設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，則P(B)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再由即可求出.【詳解】，由，得.12．（2023屆浙江省模擬數(shù)學(xué)試題）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．【答案】【分析】法1：設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，，利用貝葉斯公式即可得到答案；法2：直接在遲到的前提下計算概率.【詳解】法1：由題意設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，則；，小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率．13．加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為.【答案】【詳解】解析：加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，由對立事件公式得加工出來的零件的次品率.14．已知隨機(jī)事件，有概率，，條件概率，則.【分析】根據(jù)條件概率公式計算即可.【詳解】∵，∴，.由乘法公式得.∴.15．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）設(shè)表示事件發(fā)生的概率，若，則.【答案】【分析】根據(jù)題意分別求出、進(jìn)而利用即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，則.16．（2023屆山西省模擬數(shù)學(xué)試題）在臨床上，經(jīng)常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥，設(shè)“試驗結(jié)果為陽性”，“試驗者患有此癌癥”，據(jù)臨床統(tǒng)計顯示，．已知某地人群中患有此種癌癥的概率為，現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽在了1人，其試驗結(jié)果是陽性，則此人患有此種癌癥的概率為．【答案】【分析】根據(jù)已知得出，與，再由條件概率公式與全概率公式計算得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，，.17．（2023屆安徽省模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題）設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，甲、乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為2%和3%.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%，則推測丙車間的次品率為.【答案】5%【分析】令A(yù)表示“取到的是一件次品”，，，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，設(shè)，由全概率公式即可求解.【詳解】解：令A(yù)表示“取到的是一件次品”，，，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，顯然是樣本空間S的一個劃分，且有，，.由于，，設(shè)，由全概率公式得：，而，故.18.【答案】/【分析】先分別求甲乙兩箱摸到紅球的概率，進(jìn)一步求摸到紅球的概率.【詳解】甲箱摸到紅球的概率，乙箱摸到紅球的概率；硬幣正面向上時的概率，硬幣正面向下時的概率，故摸到紅球的概率為.19．有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動一次．若骰子點(diǎn)數(shù)小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時，游戲結(jié)束．則；該棋手獲勝的概率為．【答案】/0.75；；【分析】根據(jù)題意找出與的關(guān)系即可求解.【詳解】由題，因為，故，由，所以，累加可得：．故答案為：；.20．已知第一層書架中有6本數(shù)學(xué)書，4本語文書；第二層書架中有8本數(shù)學(xué)書，12本語文書．隨機(jī)選取一層，再從該層中隨機(jī)取一本書，則它是數(shù)學(xué)書的概率為．【答案】【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式進(jìn)行求解.【詳解】若選到第一層，則選到數(shù)學(xué)書的概率為，若選到第二層，則選到數(shù)學(xué)書的概率為，故隨機(jī)選取一層，再從該層中隨機(jī)取一本書，則它是數(shù)學(xué)書的概率為.21．（2023年浙江省模擬數(shù)學(xué)試題）甲乙兩個盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有5個紅球，2個白球；乙盒中有4個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為.【答案】【分析】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得出的值，然后根據(jù)全概率公式，即可得出答案.【詳解】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得，，，，，根據(jù)全概率公式可得，.【能力提升】1．（2023屆江西省聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理）試題）一袋中有大小相同的個白球和個紅球，現(xiàn)從中任意取出個球，記事件“個球中至少有一個白球”，事件“個球中至少有一個紅球”，事件“個球中有紅球也有白球”，下列結(jié)論不正確的是（

）A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，進(jìn)而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再討論各選項即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球.故事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，且；事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個紅球，且；事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球，且.所以，，，因為，則事件與事件不為互斥事件，A選項正確；，故事件與事件不是相互獨(dú)立事件，B正確；，故D錯誤；，故C正確；2．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列命題正確的序號有．①A與C互斥；②；③A與D相互獨(dú)立；④B與C相互獨(dú)立．【答案】①③【分析】由互斥事件的定義可判斷①；分別列舉事件和事件的樣本點(diǎn)，可求得，，易知，，由相互獨(dú)立公式可判斷③，④；由條件概率公式可判斷②.【詳解】因為與不可能同時發(fā)生，所以與互斥，故①正確；包含：，，，，，共5個基本事件，包含：，，，，，，共6個基本事件，故，，，，則，故③正確；，故④錯誤；，故②錯誤；3．（2023屆浙江省適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題）一位飛鏢運(yùn)動員向一個目標(biāo)投擲三次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，，，則.【答案】【分析】由題意，計算條件概率，利用全概率公式，求得答案.【詳解】由題意，，，則；，，則；4．（2023年云南省模擬數(shù)學(xué)試題）流感病毒分為甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易發(fā)生變異，流感大流行就是甲型流感病毒出現(xiàn)新亞型或舊亞型重現(xiàn)引起的．根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷甲型流感病毒的試驗具有如下的效果：若以表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有甲型流感”，則有，．現(xiàn)對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗的人患有甲型流感的概率為，即，則．【答案】【分析】求出，，，，由條件概率公式和全概率公式可得答案.【詳解】因為，所以,因為，所以，所以，．5．（2023年湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）2022卡塔爾世界杯比賽場地是在卡塔爾的8座體育館舉辦．將甲、乙、丙、丁4名裁判隨機(jī)派往盧賽爾，賈努布，阿圖瑪瑪三座體育館進(jìn)行執(zhí)法，每座體育館至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往盧賽爾體有館”；B表示事件“裁判乙派往盧賽爾體育館”；C表示事件“裁判乙派往賈努布體育館”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．【答案】D【分析】先求出每個體育館至少派一名裁判總的方法數(shù)，再求出事件A，B分別發(fā)生的情況數(shù)與事件A，B同時發(fā)生的情況數(shù)，得到，判斷出A錯誤，同理可得B錯誤；利用條件概率求解公式得到C錯誤，D正確.【詳解】記三座體育館依次為①②③，每個體育館至少派一名裁判，則有種方法，事件A：甲派往①，則若①體育館分2人，則只需將乙、丙、丁與三個體育館進(jìn)行全排列即可，有種，若①體育館分1人：則將乙、丙、丁分為兩組，與體育館②③進(jìn)行全排列，有種，共有種，∴，同理，若甲與乙同時派往①體有館，則①體育館分兩人，只需將丙，丁與體育館②③進(jìn)行全排列，有種，∴，故事件A與B不相互獨(dú)立，A錯誤；同理可得，，若甲派往①體有館與乙派往②體育館同時發(fā)生，若丙丁2人都去往體育館③，有種，若丙丁只有1人去往體育館③，剩余的1人去往體育館①或②，有種情況，綜上：甲派往①體有館與乙派往②體育館同時發(fā)生的情況有種，故，B錯誤；，D正確；事件C：裁判乙派往②體育館，若②體育館分2人，則只需將甲、丙、丁與三個體育館進(jìn)行全排列，有種，若②體育館分1人，則則將甲、丙、丁分為兩組，與體育館①③進(jìn)行全排列，有種，共有種，∴，若事件A，C同時發(fā)生，若丙丁2人都去往體育館③，有種，若丙丁只有1人去往體育館③，剩余的1人去往體育館①或②，有種情況，綜上：事件A，C同時發(fā)的情況有種，∴，，C錯誤；6．第24屆冬奧會奧運(yùn)村有智能餐廳A、人工餐廳B，運(yùn)動員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運(yùn)動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）【答案】A【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據(jù)題意得：，，，則.7．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①事件與相互獨(dú)立；②，，是兩兩互斥的事件；③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先判斷出，，是兩兩互斥的事件，且不滿足，①錯誤，②正確，用條件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出結(jié)論.【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯誤，②正確；，，所以，③正確；④正確；，⑤錯誤，綜上：結(jié)論正確個數(shù)為3.8．（2023屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)題意求出，判斷A選項；B選項，利用全概率公式求出，得到，判斷事件事件與事件B不相互獨(dú)立，得到D選項正確；C選項，利用條件概率公式求解即可.【詳解】由題意得，所以A錯誤；因為，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯誤，D正確；，所以C錯誤；9．（2023屆江西省模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）三個元件，，獨(dú)立正常工作的概率分別是，，，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒，，中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是．【答案】【分析】根據(jù)題意可知電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，然后利用獨(dú)立事件乘法公式分類討論，，接入的元件不同的情況下電路正常工作的概率，結(jié)合，，的大小關(guān)系判斷最大概率.【詳解】由題意，元件，，不正常工作的概率分別為，，電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，（1）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是因為，所以，所以此電路正常工作的最大概率是.10．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)試題（理科））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關(guān)【答案】②④【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷④；根據(jù)條件概率的計算公式分別得出事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.【詳解】由題意可知事件不可能同時發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；由題意得，故②正確；,①⑤錯；因為，所以事件B與事件A1不獨(dú)立，③錯；綜上選②④故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷互斥事件，計算條件概率以及事件的獨(dú)立性，屬于中檔題.11．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說法正確的序號是.①事件，相互獨(dú)立；②；③；④；⑤．【答案】③④⑤【分析】首先判斷出，和是兩兩互斥事件，再判斷與是否相等，可確定①；求出可判斷②；利用全概率判斷③；再利用條件概率判斷④⑤.【詳解】依題意，，和是兩兩互斥事件，，，又，①②錯誤；又，，，③④正確；，⑤正確；故答案為：③④⑤.12．某商場經(jīng)銷A，B兩種生活消耗品，顧客每次必買且只買其中一種，經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn):顧客第一次購買時購買A的概率為.前一次購買A的顧客下一次購買A的概率為，前一次購買B的顧客下一次購買A的概率為那么某顧客第次來購買時購買A產(chǎn)品的概率為.【答案】【分析】設(shè)第次來購買時購買A產(chǎn)品的概率為，根據(jù)題設(shè)有，應(yīng)用構(gòu)造法及等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出通項公式即可.【詳解】設(shè)某顧客第次來購買時購買A產(chǎn)品的概率為，由題意，則，而，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，故.13．一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為．若已知他第二次已經(jīng)及格，則他第一次及格的概率為．【答案】【分析】由條件概率的性質(zhì)和全概率公式計算即可.【詳解】設(shè)“該學(xué)生第i次及格”為事件Ai，i＝1，2，顯然A1，A2為樣本空間的一個完備事件組，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．由貝葉斯公式得，P（A1|A2）．14．（2023屆山西省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）有甲、乙、丙三個開關(guān)和A，B，C三盞燈，各開關(guān)對燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時A，B亮，當(dāng)乙閉合時B，C亮，當(dāng)丙閉合時A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為．【答案】【分析】若AB同時亮，則可能閉合甲開關(guān)或不閉合甲開關(guān)且同時閉合乙，丙開關(guān).若AAB同時亮概率與A亮概率之