2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中等湘東五校高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中等湘東五校高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或72．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,3．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平，實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．1205．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線6．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．010．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．11．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C．12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D．12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%12．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，,則異面直線與所成的角為____.14．在矩形中，，為的中點(diǎn)，將和分別沿，翻折，使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若，則三棱錐的外接球的表面積為_____.15．工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．16．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．（12分）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（12分）橢圓：的離心率為，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線的斜率之積為定值.22．（10分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．3、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.4、C【解析】

可分成兩類，一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，其他一新一老結(jié)對(duì)，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師，分別計(jì)算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，有．∴共有結(jié)對(duì)方式60＋90＝150種．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用．解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計(jì)數(shù)．本題中有一個(gè)平均分組問題．計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．5、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)椋云矫?，故A正確.因?yàn)椋裕云矫婀蔅正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.6、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，?。何覜]有抓到就是真的，與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的；假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．

答案：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.9、D【解析】分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.10、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【詳解】對(duì)A，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對(duì)B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對(duì)C，12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對(duì)D，12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯(cuò)誤故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，易算得∴在∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．14、.【解析】

計(jì)算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為R，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.15、60【解析】分析：首先將選定第一個(gè)釘，總共有6種方法，假設(shè)選定1號(hào)，之后分析第二步，第三步等，按照分類加法計(jì)數(shù)原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，求得總共有種方法.詳解：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，在解題的過程中，需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過程寫出來，所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出，而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的，從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.16、-2【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，代入，計(jì)算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點(diǎn)，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點(diǎn)∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．19、（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，即可得到，的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到，．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，即可得出的最大值．【詳解】（1）設(shè)，則，，，，由題意得，，橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，化簡(jiǎn)得：．

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則，，，，∴當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．20、（1）證明見解析（2）存在，為中點(diǎn)【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量方法得，解得，所以為中點(diǎn)．【詳解】（1）由于為中點(diǎn)，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因?yàn)槊妫婷?，面面，故面，又面，所以面面．?）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點(diǎn)為中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及點(diǎn)在直