福建省福州市長樂文武砂中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省福州市長樂文武砂中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

ks5u參考答案：C2.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A.2

B.3

C.6

D.8參考答案：C3.如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖象大致為(

)參考答案：B4.設(shè)f（x）=（x﹣2）2ex+ae﹣x，g（x）=2a|x﹣2|（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x方程f（x）=g（x）有且僅有6個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】f（x）=g（x），即（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出結(jié)論．【解答】解：f（x）=g（x），即（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，①x=2，a=0時(shí)，x=2為函數(shù)的零點(diǎn)，不合題意；②x≠2，令t=|x﹣2|ex，則t2+a=2at，x＞2，t=（x﹣2）ex，t′=（x﹣1）ex，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；x＜2，t=（2﹣x）ex，t′=（1﹣x）ex，在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，（1，2）上單調(diào)遞減，∵關(guān)于x方程f（x）=g（x）有且僅有6個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，∴t∈（0，e），令y=t2﹣2at+a，則，∴1＜a＜．故選D．5.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題意可得f（x）的圖象和直線y=kx﹣有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得點(diǎn)（1，0）在直線y=kx﹣的下方，由此可得k的范圍．再求出直線y=kx﹣和y=lnx相切時(shí)k的值，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．【解答】解：∵函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴f（x）的圖象和直線y=kx﹣有4個(gè)交點(diǎn)．做出函數(shù)f（x）的圖象，如圖，故點(diǎn)（1，0）在直線y=kx﹣的下方，∴k?1﹣＞0，解得k＞．再根據(jù)當(dāng)直線y=kx﹣和y=lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k==，∴m=，此時(shí)，k==，f（x）的圖象和直線y=kx﹣有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故要求的k的范圍是（，），故選：D．6.已知為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B7.若的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足,則()

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形參考答案：C略8.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，=，則λ=(

)A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．【分析】本題要求字母系數(shù)，辦法是把表示出來，表示時(shí)所用的基底要和題目中所給的一致，即用和表示，畫圖觀察，從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊走到終點(diǎn)，把求出的結(jié)果和給的條件比較，寫出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)∵=2，=，∴=，∴λ=，故選A．【點(diǎn)評】經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想，基底給定時(shí)，分解形式唯一，字母系數(shù)是被基底唯一確定的數(shù)量．9.八個(gè)一樣的小球排成一排，涂上紅、白兩種顏色，5個(gè)涂紅色，

3個(gè)涂白色.若涂紅色的小球恰好有三個(gè)連續(xù)，則不同涂法共有

A．36種

B．30種

C．24種

D．20種參考答案：C略10.已知集合;,則中所含元素的個(gè)數(shù)為

(）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，是第四象限角，則

.參考答案：略12.給出下列四個(gè)結(jié)論：①“若則”的逆命題為真；②若為的極值，則；③函數(shù)（x）有3個(gè)零點(diǎn)；④對于任意實(shí)數(shù)x，有且x>0時(shí),，則x<0時(shí).其中正確結(jié)論的序號是

.（填上所有正確結(jié)論的序號）參考答案：④13.已知點(diǎn)M（a，b）在不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)N（a+b，a﹣b）所在平面區(qū)域的面積為．參考答案：16【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，據(jù)已知求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的約束條件，畫出可行域，求出圖象的面積．【解答】解：令s=a+b，t=a﹣b，則P（a+b，a﹣b）為P（s，t）

由s=a+b，t=a﹣b可得2a=s+t，2b=s﹣t因?yàn)閍，b是正數(shù)，且a+b≤4有，在直角坐標(biāo)系上畫出P（s，t）

s橫坐標(biāo)，t縱坐標(biāo)，即可得知面積為：=16．故答案為：16．14.點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x﹣y﹣4=0的距離的最小值是

．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出平行于直線x﹣y﹣4=0且與曲線y=x2﹣lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)P（x，y），則y′=2x﹣（x＞0）令2x﹣=1，則（x﹣1）（2x+1）=0，∵x＞0，∴x=1∴y=1，即平行于直線y=x+2且與曲線y=x2﹣lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線x﹣y﹣4=0的距離的最小值d==．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．15.若，則的最小值是

。參考答案：4略16.已知等差數(shù)列的公差，它的第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是

參考答案：3略17.已知定義在（0，∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）是連續(xù)不斷的，若方程f'（x）=0無解，且?x∈（0，+∞），f=2017，設(shè)a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），則a，b，c的大小關(guān)系是

．參考答案：a＞c＞b【考點(diǎn)】函數(shù)的連續(xù)性．【分析】根據(jù)題意得出f（x）是單調(diào)函數(shù)，得出f（x）﹣log2015x是定值；設(shè)t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，結(jié)合f（x）是單調(diào)增函數(shù)判斷a，b，c的大?。窘獯稹拷猓骸叻匠蘤′（x）=0無解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是單調(diào)函數(shù)；由題意得?x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，則f（x）﹣log2015x是定值，設(shè)t=f（x）﹣log2015x，則f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函數(shù)，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案為：a＞c＞b．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題計(jì)12分）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，對于任意，且n2,總成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．、參考答案：19.如圖，⊙O和⊙相交于兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明[]參考答案：略20.（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）略；（2）；（3）點(diǎn)滿足時(shí)，有平面試題分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO．利用等腰三角形的性質(zhì)，可得EO⊥AB，證明邊形OBCD為正方形，可得AB⊥OD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，從而可得AB⊥ED；（2）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，從而可得EO⊥OD．建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ABE的一個(gè)法向量為,，利用向量的夾角公式，可求直線EC與平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在點(diǎn)F，且時(shí)，有EC∥平面FBD．確定平面FBD的法向量，證明即可.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，所?由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切?，所以，設(shè)，所以，，，，，，所以，平面的一個(gè)法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為，所以,即直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面平行的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．21.[選修4-5：不等式選講]已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集為（1，+∞）．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若不等式對x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【分析】（1）解絕對值不等式可得不等式|x﹣m|＜|x|的解集為（1，+∞），可得1是方程2mx=m2的解，由此求得m的值．（2）由題意可得不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2對x∈（0，+∞）恒成立，結(jié)合f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|∈（﹣1，3]，可得a+2＞3，a﹣5≤﹣1，由此求得a的范圍．【解答】解：（1）由|x﹣m|＜|x|得|x﹣m|2＜|x|2，即2mx＞m2，而不等式|x﹣m|＜|x|的解集為（1，+∞），∴1是方程2mx=m2的解，解得m=2（m=0舍去）．（2）∵m=2，∴不等式對x∈（0，+∞）恒成立，等價(jià)于不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2對x∈（0，+∞）恒成立．設(shè)，則f（x）∈（﹣1，3]．∴a+2＞3，且a﹣5≤﹣1，∴1＜a≤4．22.已知函數(shù)f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量與共線，求a、b的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0結(jié)合角的范圍可得C=，再由向量共線和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程組可得．【解答