2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)南模中學(xué)高二（下）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)南模中學(xué)高二（下）段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線ax+2y+6=0A.?2 B.2或?1 C.2 2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若OA?A.0 B.1 C.2 D.33.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,A.55 B.255 4.中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個(gè)原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，若雙曲線右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為d，雙曲線CA.2 B.22 C.二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(?2,0)和(2,0)6.直線x+y+1=0被圓C：7.兩條直線l1：3x?4y+9=08.設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)(?1,1)，則當(dāng)點(diǎn)(2,?19.若橢圓x2m+y2=1的離心率為10.已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x216+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且11.南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為______cm．

12.已知圓A：(x+2)2+y2=9，圓B：(x?213.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx?14.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>15.已知A是拋物線x2=2py(p>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)16.已知曲線W1：x2+y2=m2，W2：x4+y2=m2，其中m>0．

①當(dāng)m=1時(shí)，曲線W1與W2有4個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)0<m<1時(shí)，曲線W1三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)M(?1,0)，N(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|?PM?|+|?PN?|18.(本小題14分)

已知直線l：x?y+1=0和圓C：x2+y2?2x+4y?4=0．19.(本小題14分)

某市為改善市民出行，大力發(fā)展軌道交通建設(shè)，規(guī)劃中的軌道交通s號(hào)線線路示意圖如圖所示，已知M、N是東西方向主干道邊兩個(gè)景點(diǎn)，P、Q是南北方向主干道邊兩個(gè)景點(diǎn)，四個(gè)景點(diǎn)距離城市中心O均為32km，線路AB段上的任意一點(diǎn)到N景點(diǎn)的距離比到景點(diǎn)M的距離都多6km，線路BC段上任意一點(diǎn)到O的距離都相等，線路CD段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)Q的距離比到景點(diǎn)P的距離都多6km，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

(1)求軌道交通20.(本小題18分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．

(1)若雙曲線的離心率為2，且M(0,26)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；

(2)若a=1，點(diǎn)M在雙曲線C21.(本小題18分)

已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)．

(1)若|AB|=6，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；

(2)證明：直線M答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直線ax+2y+6=0與直線x+(a?1)y+a2?1=0互相平行，

∴a(a?1)=2.【答案】C

【解析】解：由已知可得F(1,0)，設(shè)A(y024,y0)，

則OA=(y024,y03.【答案】D

【解析】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，

可得c=5a，所以b=2a，

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x，

4.【答案】A

【解析】解：焦點(diǎn)(c,0)到y(tǒng)=bax的距離d=bac1+(ba)2=b，

令y=m(?1≤m≤1)，可得截面為一個(gè)圓環(huán)．

由y=my=bax可得x5.【答案】x2【解析】解：根據(jù)題意可設(shè)所求方程為x2a2?y2b2=1，(a>0,b>0)，

又c=26.【答案】2【解析】解：圓C：x2+(y?1)2=4的圓心C(0,1)，半徑r=2，

點(diǎn)C7.【答案】arccos33【解析】解：設(shè)兩條直線l1：3x?4y+9=0的斜率為k，l2：5x+12y?3=0的斜率為k′，

這兩條直線的夾角為θ，08.【答案】3x【解析】解：設(shè)A(?1,1)，B(2,?1)，

當(dāng)AB⊥l時(shí)，點(diǎn)B與l距離最大，

∴直線l的斜率k=?11+1?1?2=32，

9.【答案】4或14【解析】解：橢圓x2m+y2=1的離心率為32，

可得m?1m=310.【答案】8

【解析】【分析】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓的定義，考查方程思想與運(yùn)算求解能力．

判斷四邊形PF【解答】

解：因?yàn)镻，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F1F2|，

所以四邊形PF1QF2為矩形，

設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，

由橢圓的定義可得|11.【答案】278【解析】解：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由題意得A的坐標(biāo)為(92,3)，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)，則814=6p，解得p=27812.【答案】x2【解析】解：設(shè)圓C的半徑為r，

圓A：(x+2)2+y2=9的圓心A(?2,0)，半徑r1=3，

圓B：(x?2)2+y2=1的圓心B(2,0)，半徑r2=1，

因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，

則|CA|=r+3，|C13.【答案】5

【解析】【分析】

本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|2+|PB|2是個(gè)定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個(gè)靈活的好題．

先計(jì)算出兩條動(dòng)直線經(jīng)過的定點(diǎn)，即A和B，注意到兩條動(dòng)直線相互垂直的特點(diǎn)，則有PA⊥PB，再利用基本不等式即可得出|PA|·|PB|的最大值．

【解答】

解：由題意可知，動(dòng)直線x+my=0經(jīng)過定點(diǎn)A(0,0)，

14.【答案】10【解析】解：設(shè)|PF1|=s，|PF2|=t，且P在第一象限，

由橢圓和雙曲線的定義可得s+t=2a，s?t=2m，

解得s=a+m，t=a?m，在△F1PF2中，∠15.【答案】21【解析】解：過A作準(zhǔn)線的垂線AC，過F作AC的垂線，垂足分別為C，B．

由題意∠BFA=∠OFA?π2=π6，

A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：d=|AB16.【答案】①③【解析】解：首先需要知道W1，W2都關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

對(duì)于①，曲線W1：x2+y2=1，W2：x4+y2=1，

W2過軸上4個(gè)點(diǎn)，(0,±1)，(±1,0)，

當(dāng)x(x≠0)相同，W2的|y|更大，相對(duì)于圓凸出，①正確，

對(duì)于②，當(dāng)x=0時(shí)，縱坐標(biāo)相同，當(dāng)x≠0時(shí)，W2的|y|更大，當(dāng)y=0時(shí)，W2的|x|越大，

曲線W1圍城的區(qū)域面積小于曲線W2圍城的區(qū)域面積，②錯(cuò)誤，

對(duì)于③，當(dāng)m=1.1時(shí)，曲線W1圍城的區(qū)域面積小于W2圍城的區(qū)域面積，

當(dāng)m很大時(shí)，W2圖像完全在W1的圓里，曲線W1圍城的面積大于W2圍城的區(qū)域面積，

即隨著m的增加，一定有一個(gè)時(shí)刻使兩曲線圍城的面積相等，故③正確，

對(duì)于④，若對(duì)于W1的一個(gè)整點(diǎn)為(a,b)(a,b>0)，則對(duì)應(yīng)W2的點(diǎn)為(a,17.【答案】解：(1)由橢圓的定義知，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，

其中c=1?,?a=3?,?∴b=2，

所以所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x23+y22=【解析】本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．

(1)判斷P點(diǎn)的軌跡為橢圓，求出a，b，即可得到橢圓方程．

(2)設(shè)A(18.【答案】解：(1)由圓C：x2+y2?2x+4y?4=0可得，圓心C(1,?2)，半徑r=4+16+162=3，

圓心C(1,?2)到直線l：x?y+1=0的距離為d=|1+2+1|2=22<r，

所以直線l與圓C相交，【解析】(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；

(219.【答案】解：(1)∵線路AB段上的任意一點(diǎn)到N景點(diǎn)的距離比到景點(diǎn)M的距離都多6km，

∴線路AB段所在的的曲線是以定點(diǎn)M，N為左右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

則其方程為x2?y2=9(x<0,y≥0)；

∵線路BC段上任意一點(diǎn)到O的距離都相等，

∴線路BC段所在的曲線是以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓，

則其方程為x2+y2=9(x≤0,y≤0)；

∵線路CD段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)Q的距離比到景點(diǎn)P的距離都多6km，

∴線路CD段所在的曲線是以定點(diǎn)Q，P為上下焦點(diǎn)的雙曲線的下支，

則其方程為x【解析】(1)由題意結(jié)合雙曲線即圓的定義可得軌道交通s號(hào)線線路示意圖所在曲線的方程；

(2)G(x20.【答案】解：(1)由題意得e=ca=2，

又M(0,26)，且△MF1F2是正三角形，

所以tan60°=26c，c=263=22，

所以a=2，b=c2?a2=2，

故雙曲線C的方程為x24?y24=1．

(2)因?yàn)橹本€F1M的斜率為1b，

所以tan∠MF1F2=1b=ab，a>0，

所以sin∠MF1F2=【解析】(1)由雙曲線的離心率公式以及△MF1F2是正三角形的條件可求得a，b的值，則雙曲線方程可求；

(2)結(jié)合題意，利用正余弦定理求解即可；

(3)21.【答案】(1)解：由拋物線性質(zhì)知|AB|=xA+xB+p=6，

可得xA+xB=6?p=6?2=4，

所以AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=xA+xB2=2；

(2)證明：如圖，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨設(shè)x1<x2，

設(shè)l：x=my+1，則m>0，

由y2=4xx=my+1，得y2?4my?4=0，

故y1+y2=4m，y1y2=?4，y1+y22=2m，x1+x22=m(y1+y2