復變函數(shù)積分

復變函數(shù)積分

復變函數(shù)論多媒體教學課件DepartmentofMathematics第一節(jié)

復積分的概念及其簡單性質(zhì)

1、復變函數(shù)積分的的定義2、積分的計算問題3、基本性質(zhì)第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天一、復變函數(shù)積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C(周線)的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關(guān)于曲線方向的說明:

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天2.定義3.1設(shè)有向曲線C把曲線C分成若干弧段,作和式第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于定義的說明:第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3.定理3.1證明正方向為參數(shù)增加的方向,第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)線積分的存在定理,所以第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天在形式上可以看成是公式即復函數(shù)積分可表為兩個實積分.第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天二.復變函數(shù)積分的計算問題設(shè)有向曲線C或第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天證明注用公式(3.2)或(3.3)計算復變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1

解積分路徑的參數(shù)方程為第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天三、復變函數(shù)積分的性質(zhì)復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天估值不等式(6)積分估值定理3.2第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天證明兩端取極限得[證畢]第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天證明而C之長為2,根據(jù)估值不等式知例2第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3證明xy..第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例4

解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為積分路徑不同,積分結(jié)果也可能不同.第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例5

解積分路徑的參數(shù)方程為第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天四、小結(jié)與思考

本課我們學習了積分的定義、存在條件以及計算和性質(zhì).應(yīng)注意復變函數(shù)的積分有跟微積分學中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點掌握復積分的一般方法.第27頁,共29頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)P141習