力學答案解析(漆安慎,杜嬋英)詳解19章

第二章質(zhì)點運動學（習題）

2.1.1質(zhì)點的運動學方程為

(1).F=(3+2t)i+5j,(2).r=(2-3t)i+(4t-l)j求質(zhì)點軌跡并用圖表示。

解，①.x=3+2t,y=5,軌跡方程為y=5

x=2-3t

②[y=4t-l消去時間參量t得：3y+4x-5=0

2.1.2質(zhì)點運動學方程為〒=e2，1+Gj+2刈（1）.求質(zhì)點的軌跡;（2）.

求自t=-l至t=l質(zhì)點的位移。

x=e

7-2

解，①〔消去t得軌跡：xy=l,z=2

2-222

②Ei=ei+ej+2k,r+1=ei+ej+2k

22-2

Ar=r+I-□=(e2-e)i+(e-e)j

2.1.3質(zhì)點運動學方程為7=4產(chǎn)2⑵+3)j,(1).求質(zhì)點的軌跡；(2).

求自t=0至t=l質(zhì)點的位移。

解，①.*=超2?=21+3,消去1得軌跡方程

x=(y-3)2

②r=3j,r,=4i+5j,Ar=r,-r0=4i+2j

2.2.1雷達站于某瞬時測得飛機位置為

R.=4100m,仇=33.7°,o.75s后測得

R?=4240m,4=29.3°,R1,R2均在鉛直平面內(nèi)。求飛機瞬時速率的近

似值和飛行方向(a角)。

解,

AR=JR：+R；-2R]R2cos一名)代人數(shù)值得:

|AR|=、41002+42402-2x4100x4240cos4.4°

?349.385(m)

349.385

=465.8(m/s)

At0.75

利用正弦定理可解出a=-34.89°

2.2.2一小圓柱體沿拋物線軌道運動，拋物線軌道為

y=x2/200（長度mm）。第一次觀察到圓柱體在

x=249mm處，經(jīng)過時間2ms后圓柱體移到x=234mm處。求圓柱體瞬時速度

的近似值。

解,

=19.6mm/ms

a?-112.5°

2.2.3一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者17m。另一人在廣州聽同一

演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京2320km,收聽者離收音機2m,問誰先聽到聲音?

聲速為

340m/s,電磁波傳播的速度為3.0xl（Fm/s。

解，

At.==0.05(s)

'340

3

、2320x10+^=0.0136(S)

△t,=~-3

23.0xl08

At2<At,

在廣州的人先聽到聲音。

2.2.4如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音

747飛機自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計大約用多少時間？如果

能，試估計一下（自己找所需數(shù)據(jù)）。

2.2.5火車進入彎道時減速，最初列車向正北以90km/h速率行駛，3min

后以70km/h速率向北偏西30"方向行駛。求列車的平均加速度。

解,

V,=90j,v2=-70cos60"i+70cos30"j,

Av=v2-v,=-70cos60"i+(70cos300-90)j

-I|Av|、對+29.378,......

a=J——!=-------------------=9O113.9O11(km/h2)

11At0.05

=0.071(m/s)

9131

^^=^,sine=0.7659,e=49.99'

sin30°sinO

2.2.6(1)1=區(qū)85行+1^加6+2戌水為正常數(shù)。求t=0,n/2時的速

度和加速度。(2)

1=36-4&2：+61味,求1=0,1時的速度和加速度(寫出正交分解式)。

解：⑴

r=Rcosti+Rsintj+2tk,

▼==-Rsinti+Rcostj+2k,

dt

dv人人

9=出=-Rcosti-Rsintj

當t=0時，

v=Rj+2k,a=-Ri,

匕=0,v,=R,vz=2,

ax=-R,av=a,=0

當t=n/2時，

v=-Ri+2k,a=-Rj,

vx=-R,vy=0,v2=2,

ax=0,ay="R,az=0

(2)

r=3ti-4.5t2j+6t3k,

v=—=3i-9tj+18t2k,

-的

a=^=.9oj-

當t=0時，

v=3i,a=-9j,

當t=l時,

v=3i-9j+18k,a=-9j+36k,

2.3.1圖中a、b和c表示質(zhì)點沿直線

運動三種不同情況下的x-t圖，試說

明三種運動的特點（即速度，計時起

點時質(zhì)點的坐標，位于坐標原點的時

刻）。

解,a直線的斜率為速度

dx

v=—=tgl20°=-1.732(m/s)

axdt

t=O,xo=20m

20

X=0,—=tg60°,tL=20/、5=11.547(s)

tlx=0

b直線的斜率為速度

vbx=tg30°=0.577(m/s)

t=O,xo=10(m)

工-=tg30",tL=-10/0.577=-17.331(s)

c直線的斜率為速度

vcx=tg45"=l(m/s)

t=O,xo=-25(m)

tU=25(s)

2.3.2質(zhì)點直線運動的運動學方程為*=a。0$}a為正常數(shù)。求質(zhì)點速度

和加速度并討論運動特點(有無周期性，運動范圍，速度變化情況等)。

解，

71

v=—asint=acos(t+—

x2

as=-acost=acos(t+7t)

質(zhì)點受力F=ma=-macost=-mx,是線性恢復力，質(zhì)點

做簡諧振動，振幅為a,運動范圍在一a<x<a,速度具有周期性。

2.3.3跳傘運動員的速度為

'=Pl+e7'v鉛直向下，B、q為正常量。求其加速度。討論當時間足

夠長時(即t-8),速度和加速度的變化趨勢。

解，

q,-<q,-q,

dv=門qe(1+e")+qe(1-e)

a=M-

dtL(1+e-")2

=2fiqeq,

-e-*")2t—>oo,v—>P，a^O

2.3.4直線運動的高速列車在電子計算機控制下減速進站。列車原行駛速

度為V。=180km/h,其速度變化規(guī)律如圖所示。求列車行駛至

x=1.5km時加速度的大小。

解,

a=-^1802sin^Ti=-9675.67(km/h2)

=—0.747(m/s2)

2.3.5在水平桌面上放置A、B兩物體，用一不可伸長的繩索按圖示的裝

置把它們連接起來。c點與桌面固定。已知物體A的加速度=°?5g,

求物體B的加速度。

解,

以C為坐標原點，建立一維坐標系0-X。設(shè)繩的總長度為夕，B的坐標為

X

B,A的坐標為XA,則得

3*人-4*1|=憫端對1求導

33八u3

a?=—a=—x0.5g=—g

B4A48

2.3.6質(zhì)點沿直線的運動學方程為2

X=10t+3to

（1）將坐標原點沿ox軸正方向移動2m,運動學方程如何？初速度有無

變化？

（2）將計時起點前移1s,運動學方程如何？初始坐標和初始速度都發(fā)生

怎樣的變化？加速度變不變？

解，（1）X=10t+3t2

x'=x-2,x=x'+2,代入上式得：

x'+2=10t+3t2,x'=3t2+10t-2,

dxdx，.n=4,

dtdtx初速度不變。

（2）x=10t+3t2

tr=t+l,t=f-1代入上式得：

x=10(f-l)+3(f-l)2

=3C2+4f-7

初坐標t'=0,x=-7(m)由o變?yōu)椤?m.

V、=6f+4初速度由iom/s變?yōu)?m/s.

加速度不變，都是6m/s2.

以下四題用積分

2.4.1質(zhì)點由坐標原點出發(fā)時開始計時，沿x軸運動，其加速度

2

ax=2t[cm/s],求在下列兩種情況下質(zhì)點的運動學方程、出發(fā)后6s時

質(zhì)點的位置、在此期間所走過的位移及路程：

(1)初速度V。=°；

(2)初速度V。的大小為9cm/s,方向與加速度方向相反。

解，⑴Vx=v“+J：axdt,

X=X。+￡V,dtx=Jo12dt=-t\

當t=6s時,

x6=72(cm)Ax=72—0=72(cm)

質(zhì)點運動的路程：/=72(cm)

⑵“-9+.”一9,

23

x=j'(t-9)dt=-t-9t

°3?

當t=6s時，

x=18(cm)Ax=18—0=18(cm)

6，，

2

Vx=t-9,vx=0,t=3,

質(zhì)點運動的路程如圖，

_ot=o

+ot=6x

11

-------c-------1?-,-----一1------>---------------->

-1818

x=—t*'—9t

3,t=3,X3=-18,t=6,X6=18

質(zhì)點運動的路程：As=18x2+18=54(cm)

2.4.2質(zhì)點直線運動瞬時速度的變化規(guī)律為

匕-—3sint?求t]=3至L=5時間內(nèi)的位移。

的

解，Ax=x—x,1=九C—3sintdt，

Ax=x,-x,=￡5-3sintdt=3cost|：

=3(cos5-cos3)?3.82(m)

2.4.3一質(zhì)點作直線運動，其瞬時加速度的變化規(guī)律為

a,=_A(o2cos(ot.在t=o時，匕=0,x=A,其中A、①均為正常數(shù)，

求此質(zhì)點的運動學方程。

Vx=vOx+￡axdt

解,

v、=卜Ao2cos3t?dt

=-Aofcosot-d(ot)=-Aosin(ot

X=X。+f；vdt,

x=A+］：_Acosinot?dt

=A+Acos?t|：=Acosot

2.4.4飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動。剛著陸時，t=0時速度為

V。且坐標為x=o.假設(shè)其加速度為a*=-bv：,b=常量，求此質(zhì)點的運

動學方程。

解,

Vx=，

(bvot+D

1

X=rvo檔(bv°t+l)

Jodt=Jo

(bv0t+1)b(bvot+l)

11

X=x+[ftvdt=-ln(bvt+1)|>-ln(bvt+1)

0Jox,bobo

解以下四題中勻變速直線運動時應(yīng)明確寫出所選的坐標系、計時起點和

初始條件。

2.4.5在195m長的坡道上，一人騎自行車以18km/h的速度和-ZOcm/s?

的加速度上坡，另一自行車同時以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度

下坡。問（1）經(jīng)過多長時間兩人相遇；（2）兩人相遇時，各走過多少路

程。

解,

建立坐標系0-X,原點為質(zhì)點1的初始位置。

對上坡的質(zhì)點l:t=O,Vio=5m/s,Xio=O,ai=-O.2m/s2,

對下坡的質(zhì)點2:t=0,v2o=-l.5m/s,x2o=195m,

a2=-0.2m/s；

相遇時，Xi=X2,所需時間設(shè)為t,則

11

。22

Xi+vj+=x20+v20t+，

5t--x0.2t2=195-1.5t--x0.2t2,

22

t=30(s)

質(zhì)點i的速度表達式為：v

i=v10+axt=5-0.2t

vi==25s,所以質(zhì)點i的路程為兩段路程之和，如圖所式。前

25s的路程:

5x25-1x0.2x252=62.5(m),

^x0.2x52=2.5(m)

后5s的路程：As】=62?5+2.5=65(m)

質(zhì)點2的路程：195-62.5+2.5=135(m)

2.4.6站臺上送行的人，在火車開動時站在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囬_

動后經(jīng)過△t=24s,第一節(jié)車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節(jié)車廂

駛過他面前需要多長時間？火車作勻加速運動。

xI-1_IIJ_II-3_II_4_II_5_I一7一I

Y■CC()CCC()CPC()C()C

,=lat%a=<

解，2242'

設(shè)火車第六節(jié)末尾經(jīng)過此人的時間為t6,

火車第七節(jié)末尾經(jīng)過此人的時間為t7,

11

62=—at：,72=—at；,

2627

.、卜=24?t7、T=24日

6V2^/2427,22/242

At7=t7-t6=24(77-V6)=4.71(s)

2.4.7在同一鉛直線上相隔h的兩點以同樣的速率V。上拋二石子,但在高

處的石子早t。秒被拋出。求此二石子何時何處相遇。

卜y

、VV。

h卜Vv0

o

/，////

2

h+v°t_；gt2=v0(t-t0)-1g(t-t0)

解,

h.vt

--------1---------1-----0-

解出t得:gt。g2

2

y=h+v0t--gt

將t代入2,得

y=g(h+'-h2宜)

2ggt;4

2.4.8電梯以1.Om/s的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板0.50m高,

問當小孩再次落到地板上時，電梯下降了多長距離?

解,

建立基本坐標系0-X,原點固結(jié)在地面上，建立運動坐標系o'-X’原點

固結(jié)在電梯的地板。

小孩相對運動參照系O'-X’（電梯）跳起到落回地板所需時間設(shè)為t,

h=-g（—）2,

則22解出td得，

,、師

t=2、,

vg這段時間電梯下降的距離為As,

?，12x0.50八…/、

As=2v=2xlxJ———=0.638(m)

2.5.1質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，其加速度為

人人

costi—sintj,位置和速度的初始條件為t=0時

―f人?―??人

V=J,r=1,求質(zhì)點的運動學方程并畫出軌跡（本題用積分）。

解，由A=_costi_sintj,得

a、=—cost,%=-sint初始條件:

t=0時，vOx=O,vOy=l,xo=l,yo=O

vv+adt

x=ox￡xvx=￡-costdt=-sint

Vy=v°y+j>ydtVy=1+5—sintdt=cost

x=x0+JTOvxdt,x=JOl+f-sintdt=cost

y=y0+JoVydty=J^costdt=sint

x=cost

V

y=sint

人人

a=costi+sintj,

軌道方程：x?+y2=1

2.5.2在同豎直值面內(nèi)的同一水平線上A、B兩點分別以30°、60°為發(fā)射

角同時拋出兩小球欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點，求A、B

兩點的距離。已知小球在A點的發(fā)射速率VA=9?8m/s?

解,

HA=HB,RA/2=RB/2+AB,

y2

H=^sin230°,

A2g

2

HB=^sin60°,

2g

22

^sin230°=^sin260°,

2g2g

2

2v：sin30°

v——X_________

2

Bsin60°,

v2

sJsin(2x30"),

RA=g

v2

g-JLsin(2x60°),

RB=g

___RR1

AB=、一一1=——(v：sin60°-vjsinl20°)

222gAB

v：sin600「sin230°sinl20°

J--------(1---------------------)x

2gsin360°

v：sin60°sin230°

(1-)?2.38(m)

2gsin260°

2.5.3迫擊炮彈的發(fā)射角為60°,發(fā)射速率150m/s.炮彈擊中傾角30°的山

坡上的目標，發(fā)射點正在山腳。求彈著點到發(fā)射點的距離0A.

解,

2

x____?____X

yA=Atga--22A

2v0cosa

YA=SA-勺X；，……⑴

V▼o

由幾何關(guān)系：

--73--

X、=OAcos30°=^OA……(2)

A2

y=OAsm30°=-OA……(3)

A2

將(2)、(3)式代入⑴式

OA(^OA-1)=0

2工

OA=0,舍去

-----2v2

OA=—^?15.3xl02(m)

3g

2.5.4轟炸機沿與鉛直方向成53°俯沖時，在763m高度投放炸彈，炸彈

離開飛機5.0s時擊中目標。不計空氣阻力。(1)轟炸機的速率是多少？

(2)炸彈在飛行中經(jīng)過的水平距離是多少？(3)炸彈擊中目標前一瞬

間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？

解，以投放炸彈處為坐標原點

2y-gt?

y=V.,cos53°?t+-gt2,v=

⑴,°IT0n2cos53°t'

2x763-9.8x52

V°~—2cos53°?5=212.9(m/s)

(2)x=v0sin53°?t=212.9x0.7986x5?850.1(m),

(3)

v=vosin53°?170(m/s),

vv=v°cos53。+gt?177.1(m/s)

2.5.5雷達觀測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時刻，靠他得到

這樣的信息：（1）拋射體達到最大高度且以速率v沿水平方向運動；（2）

觀察者到拋射體的直線距離為夕；（3）觀測員觀察拋體的視線與水平方向

成°角。

問：（1）拋射體命中點到觀察者的距離D等于多少？（2）何種情況下拋

體飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標？何種情況下拋體在未達到觀測員

以前就命中目標？

1

H=^sinG=—gt2

解，(1)2

觀測者x觀察者=0cos6

拋射體命中點到觀察者的距離

(2)

當X命中點＞X觀察者

9飛越觀察者的頭頂擊中目標，即

5

V。

g

v>^cosO

022sin0

當x命中點vx觀察者，拋體在未達到觀測員以前就命中目標，即

v<^COS0

o22sin0

2.6.1列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在我們所討論的時間范圍

內(nèi)，其運動學方程為S=80t-t2（長度：m時間：s）。t=0時，列車在

圖中。點,此圓弧形軌道的半徑r=1500m.求列車駛過。點以后前進至

1200m處的速率及加速度。

解，采用自然坐標系，。為自然坐標系的原點。

由§=801一下得

dsCA?dv-

v=——=80—2ta=--=-2

Tdt,Tdt,

當s=1200m時，由s=80t-t2得1200=80t—t2,

t=20,t=60,(舍去)因為當t=60時，

vT=80-2x60=-40

當t=20,v‘=80—2x20=40(in/s)即列車駛過。點以

后前進至1200m處的速率為40m/s.

過。點以后前進至1200m處的加速度：

dv?-、

=-3f=-2(m/s2)

at

402_

1.067(m/s2)

1500-

a=Ja：+a：=V22+1.0672=2.267(m/s2),

可以算出五與▽的夾角為152°。

2.6.2火車以200km/h的速度駛?cè)雸A弧形軌道，其半徑為300m。司機一

進入圓弧形軌道立即減速，減速度為2g。求火車在何處的加速度最大?

最大加速度是多少?

解，ax=_2g，

v=v°_2gt,

(v0-2gt)2

R

(v-2gt)4

(2g)2+0

R2

由上式可見t=0時（剛進入圓弧形軌道時），a最大。

a

max

入數(shù)值得

(200xl03/3600)4

a4x98+=22.1(m/s2)

max3002

0=tg1%?27°42r

a,

2.6.3斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道運動。當斗車達到圖中所示

位置時，軌道曲率半徑為150m,斗車速率為50km/h,切向加速度a『=0.4g.

求斗車的加速度。

v2

a=0.4g,an=-^,

解，R

a=Ja：+a：?4.126(m/s2)

0=tg1?18.16°

加速度與水平方向的夾角

a=30°-18.16°=11.84°

2.8.1飛機在某高度的水平面上飛行。機身的方向是自東北向西南，與正

西夾15°角，風以100km/h的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾45°

角，結(jié)果飛機向正西方向運動。求飛機相對于風的速度及相對地面的速

度。

解，基本參照系：地面

運動參照系：風

研究對象：飛機

-?-?-?

絕對速度：V機地，相對速度：V機風，牽連速度：V風地

-?-?-?

V機地二V機風+V▼風地

VV

y機風▼風地

(1)sinl35°sinl50'

sinl35°/、

v機風=sin151V風地=75.9(m/s)

v▼機地_V▼風地

（2）sin30°sinl5°'

sin300___z,、

v知碗=----------1v鳳岫=53?7（m/s）

機地sinl5°風地

2.8.2飛機在靜止空氣中的飛行速率是235km/h,它朝正北的方向飛行,

使整個飛行的時間內(nèi)都保持在一條南北向的公路上空。地面觀察者利用

通訊設(shè)備告訴駕駛員正在刮著速率等于70km/h的風，但飛機仍能以

235km/h的速率沿公路方向飛行。（1）風的方向是怎樣的？（2）飛機的

頭部指向哪個方向？也就是說，飛機的軸線和公路成怎樣的角度?

解，基本參照系：地面

運動參照系：風

研究對象：飛機

-?-?-?

絕對速度：V機地，相對速度：V機風，牽連速度：V風地

―?—*1-?

V機地=V機風+VV風地

35

sina=----?0.1489,

235

a?8.57°=8°34'

0?2a=2x8.57°=17.14°=17°8'

2.8.3一輛卡車在平直路面上以恒定速率30m/s行駛，在此車上射出一拋

體，要求在車前進60m時，拋體仍落回到車上原拋出點，問拋體射出時

相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。

解，以卡車為參照系，以起拋點為坐標原點，建立直角坐標系。-xy,如圖

所示。以拋出時刻為計時起點。

鞏

ax=0=—g,

Vx=VO.x7

Vy=v°y+J：—gdt=v°y-gt，

x

=Jov°、dt=vOxt,

=v2

yJo(oy-gt)dt=vOyt-|gt.

Vox=v°cosa,v°y=v°sina

得：

2

x=v0cosat,y=v0sinat——gt.

t=—=2(s)0\t,x=O,y=0

由已知，30代入

0=v0cosa-2,.....(1),

1

0=vsina-2——g-22.....(2)

02

由(1)得cos=0,sina=

由(2)得v0=9.8(m/s)

表明：拋射體相對卡車以9.8m/s的速率豎直上拋時，當卡車前進了60m,

拋體落回拋射點。

2.8.4河的兩岸互相平行，一船由A點朝與岸垂直的方向勻速行駛，經(jīng)

lOmin到達對岸的C點。若船從A點出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直

地到達彼岸B點，需要12.5min。已知BC=120m.求(1)河寬i,(2)第

二次渡河時船的速率u,(3)水流速度v

Q小BC、、

v船水=；-，……(l)v水岸=7，……(2)

解，第一次.'

笙一/V［岸=v'sina=v?.sina……(3)

v永良=v護永cosa.....(4)

八%力……⑸

2=v?t

由(1)式得‘船水1

山。、心殂夕=vsina-t2

由(3)(5)得船水2

sina'=0.8,a=53.12。

t2

由(2)(4)得

BC

1=丫船水＜^)5℃，

v=---B--C---=---------1-2--0-------=—1(m,/s,)、

船水Lcosa600xcos53.13°3由a)式

=vr7kt船=水-ix6030=200(\m)/

V水岸=V船水cosa=|cos53.13°=0.2(m/s)

2.8.5圓弧公路與沿半徑方向的東西向公路相交如圖。某瞬時汽車甲向東

以20km/h的速率行駛；汽車乙在。=30°的位置向東北方向以速率

20km/h行駛。求此瞬時甲車相對乙車的速度。

解，基本參照系：地面

運動參照系：乙車

研究對象：甲車。

▽甲地=▽乙地+%乙

v甲乙-20km/h=5.56(m/s)

a=30°(東偏南600)

第三章動量定理及動量守恒定律（思考題）

3.1試表述質(zhì)量的操作型定義。

Av0

m=m0kg

解答，Av

式中m。=lkg（標準物體質(zhì)量）

△Wo：為m與m。碰撞m。的速度改變

AV；為m與m。碰撞口的速度改變

這樣定義的質(zhì)量，其大小反映了質(zhì)點在相互作用的過程中速度改變的難易

程度，或者說，其量值反映了質(zhì)量慣性的大小。這樣定義的質(zhì)量為操作型

定義。

3.2如何從動量守恒得出牛頓第二、第三定律，何種情況下牛頓第三定律

不成立？

解答，由動量守恒

Pl+D；=山+①，Pl-Pl=-（p2-p2）

Apt=-Ap2,

Ap1=_Ap1

AtAt

dp1=_dp1

取極限dtdt

動量瞬時變化率是兩質(zhì)點間的相互作用力。

甌d-、一

對于運動電荷之間的電磁作用力，一般來說第三定律不成立。（參見P63

最后一自然段）

3.3在磅秤上稱物體重量，磅秤讀數(shù)給出物體的“視重”或“表現(xiàn)重量”。

現(xiàn)在電梯中測視重，何時視重小于重量（稱作失重）？何時視重大于重量

（稱作超重）？在電梯中，視重可能等于零嗎？能否指出另一種情況使視

重等于零？

解答，①電梯加速下降視重小于重量；

②電梯加速上升視重大于重量；

③當電梯下降的加速度為重力加速度g時一，視重為零；

④飛行員在鉛直平面內(nèi)的圓形軌道飛行，飛機飛到最高點時、

22

VV

m—=mg+N,N=m-----mg=0,

RR

v=7gR

飛行員的視重為零

3.4—物體靜止于固定斜面上。

(1)可將物體所受重力分解為沿斜面的下滑力和作用于斜面的正壓力。

(2)因物體靜止，故下滑力mgsina與靜摩擦力1A0N相等。a表示斜

面傾角，N為作用于斜面的正壓力，口。為靜摩擦系數(shù)。以上兩段話確切

否？

解答，不確切。

(1)重力可以分解為沿斜面向下的和與斜面垂直的兩個力。但不能說分

解為沿斜面的下滑力和作用于斜面的正壓力。

(2)應(yīng)該說，因物體靜止，物體所受的力在斜面方向的分力的代數(shù)和為

零。

3.5馬拉車時，馬和車的相互作用力大小相等而方向相反，為什么車能被

拉動。分析馬和車的受的力，分別指出為什么馬和車能啟動。

解答，

分析受力如圖。地面反作用于馬蹄子上的力使系統(tǒng)啟動。

3.6分析下面例中繩內(nèi)張力隨假想橫截面位置的改變而改變的規(guī)律：

(1)長為［質(zhì)量為m的均質(zhì)繩懸掛重量為W的重物而處于靜止。

(2)用長為2質(zhì)量為m的均質(zhì)繩沿水平方向拉水平桌面上的物體加速前

—?

進和勻速前進。對兩種情況均可用F表示繩作用于物體的拉力，不考慮

繩因自重而下垂。

(3)質(zhì)量可以忽略不計的輕繩沿水平方向拉在水平桌面上運動的重物，

繩對重物的拉力為■，繩的另一端受水平拉力FI，繩的正中間還受與F］

的方向相同的拉力T2。

(4)長為［質(zhì)量為m的均質(zhì)繩平直地放在光滑水平桌面上，其一端受沿

—?

繩的水平拉力F而加速運動。

(5)長為［質(zhì)量為m的均質(zhì)繩置于水平光滑桌面上，其一端固定，繩繞

固定點在桌面上轉(zhuǎn)動，繩保持平直，其角速率為①。

若繩保持平直，你能否歸納出在何種情況下繩內(nèi)各假想橫截面處張

力相等。(提示：可沿繩建立。x坐標系，用x坐標描寫橫截面的位置)。

解答，⑴

T=W+『("y)=W+n^_『y

y是在0至i之間的任意位置。

(2)

勻速前進：F=J1W,T=F

T=F+—xa

加速運動：F>jiw,2

(3)

??

oXX

&

0<x<5，T=F+F2,

2<X<￡，T=F?

(4)

___________________F

/Z|////______________-

H----------V--------------3

OXX

⑸

-mT-2-mcom/2x\

dm=—dx,T=Jcoxdm=CD2——\rxdx=-----(---------)

￡J*Qk222

若繩保持平直，繩的兩端受到大小相等方向相反的外力作用時一，繩靜止或

勻速直線運動。這時張力處處相等。若繩保持平直，繩的兩端受到大小不

等方向相反的外力作用時、繩加速直線運動，這時在忽略繩的質(zhì)量時，張

力處處相等。

3.7兩彈簧完全相同，把它們串聯(lián)起來或并聯(lián)起來，勁度系數(shù)將發(fā)生怎樣

的變化？

-

S

i

s

ksk

i

n△-2,

△x.△Q/22

-

△K

mgwmg

-*p

ET

J

Wmg

解答，如圖，串聯(lián)時：mg=F=kA2=k'2A￡2

并聯(lián)時：mg=F=kA2=k'A"2,k'=2k。

3.8用兩段同樣的細線懸掛兩物體，若突然向下拉下面物體，下面繩易斷,

若緩慢拉，上面線易斷。為什么？

////

解答，突然向下拉下面物體時，由于上面物體要保持靜止狀態(tài)(慣性)，

由于過程的時間極短，上面物體還沒有來得及改變狀態(tài)，下面的繩就斷了。

若緩慢拉下面物體時，上面物體能夠來得及改變狀態(tài)，這樣上面繩內(nèi)的張

力比下面繩內(nèi)的張力大，所以上面繩易斷。

3.9有三種說法：當質(zhì)點沿圓周運動時，

(1)質(zhì)點所受指向圓心的力即向心力；

(2)維持質(zhì)點作圓周運動的力即向心力；

(3)mv〃i?即向心力。

這三種說法是否正確？

解答，以上說法都不確切。

(1)

如圖r的a方向投影為向心力，向心力為

(2)維持質(zhì)點作圓周運動的力可能有ZH.ZE,o

(3)mT/i?不是力，是外力對物體作用的瞬時效應(yīng)。

一dvd/一、dQ

ma=m——=——(mv)=——

m9是動量的變化率，dtdtdt。

3.10雜技演員表演水流星，演員持繩的一端，另端系水桶，內(nèi)盛水，令

桶在鉛直平面內(nèi)作圓周運動，水不流出。

(1)桶到達最高點除受向心力外，還受一離心力，故水不流出；

(2)水受到重力和向心力的作用，維持水沿圓周運動，故水不流出。

以上兩種說法正確否？作出正確分析。

解答，以上兩種說法不正確。

(1)向心力不是獨立于其它相互作用之外的力，向心力為ZEn。離心

力為

LFin的反作用力，它不作用于桶上。

(2)在慣性系內(nèi)，水沿圓周運動，所受的力為重力和桶對水的作用力即

N+mg=m^

在非慣性系內(nèi)，水除受重力和桶對水的作用力外，還受慣性離心力

3.11游戲場中的車可在鉛直圓環(huán)軌道上行駛，設(shè)車勻速前進。在圖中標

出的幾個位置E、C、A、B、D上，何處乘客對坐位的壓力最大？何處最小?

A

解答,

v2

N=-mgcosG+m—,

R

COS0=1,9=0時，N最小

COS0=-1,0=71時，N最大。在最下面。

可以得出D、E點N最大。

3.12下面的動力學方程哪些線性哪些非線性?

一2一

dt非線性

2

dx2

m-=2x+1,

dt~線性

2

dx4x、2

m-=(——心

dtdt非線性

一次方程叫線性方程。n階線性方程具有下列形式

(nn-1n-2

x+p1(t)x4-p2(t)x+???+pnl(t)x'+pn(t)x=q(t)

對于2階線性方程具有下列形式

x"+p0)x，+p2(t)x=q(t)

3.13尾部設(shè)有游泳池的輪船勻速直線航行，一人在游泳池的高臺上朝船

尾方向跳水，旁邊的乘客擔心他跳入海中，這種擔心是否必要？若輪船加

速行駛，這種擔心有無道理？

解答，(1)不必要。由伽利略下的相對性原理

(2)若輪船加速行駛，這種擔心有道理。

在加速平動的非慣性中人除了受到物體的相互作用力外，還受到與加速度

方向相反的慣性力，此力有可能使他跳入海中。

3.14根據(jù)伽利略相對性原理，不可能借助于在慣性參照系中所作的力學

實驗來確定該參照系作勻速直線運動的速度。你能否借助于相對慣性系沿

直線作變速運動的參照系中的力學實驗來確定該參照系的加速度？如何

作？

解答，

ma=TsinG,

mg=TcosO,

tg6=-.

g

a=gtgG

測出9,a可求。

3.15在慣性系測得的質(zhì)點的加速度是由相互作用力產(chǎn)生的，在非慣性系

測得的加速度是慣性力產(chǎn)生的，對嗎？

解答，不對。

ZE+(-ma)=maf

3.16用卡車運送變壓器，變壓器四周用繩索固定在車廂內(nèi)，卡車緊急制

動時，后面拉緊的繩索斷開了。分別以地面和汽車為參照系，解釋繩索斷

開的原因。

制動時加速度向后

解答，地面為參照系（慣性系），變壓器為研究對象，其加速度向后，所

以作用在變壓器上的合力向后，后面的繩索作用在變壓器的力比前面的

大。（由于加速度較大，靜摩擦力遠遠小于繩索的拉力，靜摩擦力可以不

考慮）

制動時加速.反向后

汽車為參照系（非慣性系），變壓器為研究對象，相互作用力和慣性力矢

量和為零，可見，后面的繩索作用在變壓器的力比前面的大。

3.17是否只要質(zhì)點具有相對于勻速轉(zhuǎn)動圓盤的速度，在以圓盤為參照系

時，質(zhì)點必受科里奧利力？

解答,科里奧利力f：=2m%x荷=-2mox▽相

=o

如圖，質(zhì)點具有相對于勻速轉(zhuǎn)動圓盤的速度，在以圓盤為參照系時，質(zhì)點

不一定就受到科里奧利力。

3.18在北半球，若河水自南向北流，則東岸受到的沖刷嚴重，試由科里

奧利力進行解釋。又問，河水在南半球自南向北流，哪邊河岸沖刷較嚴重？

解答，科里奧利力：'k相xCO21Tle0xV相

在北半球，若河水自南向北流，應(yīng)用科里奧利力可判斷東岸受到的沖刷嚴

重。河水在南半球自南向北流

時，西岸受到的沖刷嚴重。

見圖。

3.19在什么情況下，力的沖量和力的方向相同？

解答，沖量是矢量，元沖量的方向總是與力的方向相同；至于在一段較長

時間內(nèi)，力的沖量等于這段時間內(nèi)各無窮小時間間隔元沖量的矢量和，因

此，力的沖量方向決定于這段時間諸元沖量矢量和的方向，即

I=rFdt

Jt。，不一定和某時刻力的方向相同。當在一段時間內(nèi)，各無

窮小時間間隔元沖量方向都相同時一，則這段時間內(nèi)力的沖量和力的方向相

同。另外沖量和平均力的方向總是一致的。

3.20飛機沿某水平面內(nèi)的圓周勻速率地飛行了整整一周，對這一運動，

甲乙二人展開討論：

甲：飛機既然作勻速圓周運動，速度沒變，則動量是守恒的。

乙：不對，由于飛行時，速度的方向不斷變化，因此動量不守恒。根據(jù)動

v2

m—

量定理，動量的改變來源于向心力的沖量。向心力就是r,飛行一

271r

周所用時間為v,飛行一周向心力的沖量等于

V2271T

FAt=111--------=27nliv

rV(m為飛機質(zhì)量，v為速率，r為圓周

半徑。

分析他們說得對不對。

解答，都有錯誤。

甲的錯誤是說“速度沒變”，動量就守恒。

應(yīng)該說：速率不變但速度方向不斷變化，動量不守恒。

V2

m—

乙的錯誤：“向心力就是r”；“飛行一周向心力的沖量等于

v2271r

FAt=m--------=2兀mv

應(yīng)該說：飛行一周向心力的沖量等于零。根據(jù)動量定理，

1''?>

飛行一周時，飛機動量改變?yōu)榱?。如圖。

mv-mv0>

3.21棒球運動員在接球時為何要戴厚而軟的手套？籃球運動員接急球時

往往持球縮手，這是為什么？

前.i一一口出/一"

解答，根據(jù)AtAtAt,AtTF

3.22“質(zhì)心的定義是質(zhì)點系質(zhì)量集中的一點，它的運動即代表了質(zhì)點系的

運動，若掌握質(zhì)點系質(zhì)心的運動，質(zhì)點系的運動狀況就一目了然了?！睂?/p>

否？

解答，不對。

質(zhì)心運動情況不能說明質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的運動情況。

3.23懸浮在空氣中的氣球下面吊有軟梯，有一人站在上面。最初，均處

于靜止，后來，人開始向上爬，問氣球是否運動？

解答，運動。內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，人向上爬，氣球向下運動，達到質(zhì)

點系的質(zhì)心位置不變。

3.24跳傘運動員臨著陸時用力向下拉降落傘，這是為什么？

解答，可達到減少人著陸的速度，減輕地面對人的沖力。

3.25質(zhì)點系動量守恒的條件是什么？在何種情況下，即使外力不為零,

也可用動量守恒方程求近似解?

―?

解答,(1)ZE外=0

(2)外力遠遠小于內(nèi)力；外力在某一方向上的投影代數(shù)和為零，則質(zhì)點

系的動量在該方向上守恒。

第三章動量定理及動量守恒定律(習題)

3.5.1質(zhì)量為2kg的質(zhì)點的運動學方程為

r=(6t2-l)i+(3t2+3t+l)j

(t為時間，單位為s；長度單位為m).

求證質(zhì)點受恒力而運動，并求力的方向大小。

解，v=12ti+(6t+3)j

a=12i+6j

—?人八

F=ma=24i+12j(恒量)

F=V242+122=26.83(N)

12

6=tg1t=26.57°

24

3.5.2質(zhì)量為m的質(zhì)點在oxy平面內(nèi)運動，質(zhì)點的運動學方程為

r=acoscoti+bsincotj,a,b,①為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點

的合力總指向原點。

八人

解干=-acosincoti+bcocoscotj,

a=-a(o2coscoti-ba>2sincotj,

=-cor

―?

F=ma=-mcor

3.5.3在脫粒機中往往裝有振動魚鱗篩，一方面由篩孔漏出谷粒，一方面

逐出秸桿，篩面微微傾斜，是為了

從較底的一邊將秸桿逐出，因角度很小，可近似看作水平，篩面與谷粒

發(fā)生相對運動才可能將谷粒篩出，若谷粒與篩面靜摩擦系數(shù)為0.4,問篩

沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運動。

解答，

以谷篩為參照系，發(fā)生相對運動的條件是

ma'>f0=gomg,

a'W°g，

a'最小值為"=MoS=0,4x9.8=3.92(m/s2)

以地面為參照系：

解答，靜摩擦力使谷粒產(chǎn)生最大加速度為

ma—N°mg,

a

max=Nog，

發(fā)生相對運動的條件是篩的加速度a'Namax=Mog,

a最小值為a'==°?4x9,8=3.92(m/s2)

3.5.4桌面上疊放著兩塊木板，質(zhì)量各為m-m?,如圖所示。m?和桌面

間的摩擦系數(shù)為四2,m1和m?間的靜摩擦系數(shù)為內(nèi)。問沿水平方向用多

大的力才能把下面的木板抽出來。

@2汽a、

miUiHlig

一口1叫g(shù)_=-----------=f

/、m2____Vp

-口2(印1+小2)日

11>X

__-OIA,

a2

解，對于m1：

p1m1g=m]a1,……(1)

對于m2：

F-內(nèi)mg-M2(m+m2)g=m2a2,……(2)

m】和m?發(fā)生相對運動的條件是：a2>a,

F—內(nèi)mg—p，2(m1+mjg之冉mg

mm

2.

FN(也+%)(ni|+m2)g

3.5.5質(zhì)量為m?的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾角為a,質(zhì)量

為的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運動員相對斜面的加速度及其對

斜面的壓力。

解，隔離體:

對于m?.R-m,g-Ncosa=0

Nsina=m2a1

對于m.Ncosa-m^=-mia2sina

-Nsina-111,3,=-m1a2cosa

(m,+m)gsina

a2

2=m+；msm-a

聯(lián)立求解：2.，

N=m,m2gcosa

2

m2+msina

3.5.6在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為m-m”。物體之間及物體與桌

面間的摩擦系數(shù)都為口o求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力。

不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦,繩不可伸長。

解，對于

m,Fim1g-T=-m1a,

=……(1)

對于m?：

一

F-p(m1+m2)g-T=m2a……(2)

a=1s2HlM-g

解方程得：mi+m2

mJF-

X-