三角形的內(nèi)心

關(guān)于三角形的內(nèi)心

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABC三角形的內(nèi)切圓的定義：ABC和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形叫圓的外切三角形定義第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天問題１：作圓的關(guān)鍵是什么？問題２：怎樣確定圓心的位置？問題３：圓心的位置確定后怎樣確定圓的半徑？ABC（確定圓心和半徑）（作兩條角平分線，其交點(diǎn)就是圓心的位置）（過圓心作三角形一邊的垂線，垂線段的長就是圓的半徑）例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓問題４:在這塊三角形材料上還能裁下更大的圓嗎?（不能）任何一個三角形都只有一個內(nèi)切圓典型例題第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天3、以I為圓心，ID為半徑作⊙I，⊙I就是所求的圓.例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I.2、過點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D.三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心②三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等①三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)③三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部三角形內(nèi)心的性質(zhì)第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天定義：和多邊形各邊都相切的圓叫做

，這個多邊形叫做

。

多邊形的內(nèi)切圓圓的外切多邊形內(nèi)切外切如上圖，四邊形DEFG是⊙O的

四邊形，⊙O是四邊形DEFG的

圓，DEFG.O思考:我們所學(xué)的平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四邊形一定有內(nèi)切圓？(菱形，正方形一定有內(nèi)切圓)定義第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度數(shù)ABCO（2）若∠A=80°,則∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，則∠A=

度?！唷螧OC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12

=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠ABC=25°∴∠OBC=

∠OBA=12試探討∠BOC與∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．典型例題第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天名稱確定方法圖形性質(zhì)

內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心）三角形三邊中垂線的交點(diǎn)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．（1）到三邊的距離相等；（2）OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）內(nèi)心在三角形內(nèi)部．

外心(三角形外接圓的圓心)第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天直角三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,∠C是直角,∠AC=3,BC=4.求⊙O的半徑r.●ABC●┏O●┗┓ODEF┗典型例題第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天這個結(jié)論可敘述為“直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和減去斜邊”.直角三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,∠C是直角,三邊長分別是a,b,c.求⊙O的半徑r.ABC●┗┏┓ODEF┗第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,△ABC的面積S=4cm2,周長等于10cm.求內(nèi)切圓⊙O的半徑r.●ABC●O●┗┓ODEF┗老師提示:△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積.第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,△ABC的面積為S,三邊長分別為a,b,c.求內(nèi)切圓⊙O的半徑r.●ABC●O●┗┓ODEF┗這個結(jié)論可敘述為:三角形的面積等于其周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半.第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,∠C是直角,BC=5,r=2.求△ABC的周長.ABC●┗┏┓ODEF┗第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,∠C是直角,AO的延長線交BC于點(diǎn)D,AC=4,CD=2.求⊙O的半徑r.ABC●┗┏ODFE第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天三角形的內(nèi)切圓已知:如圖,在△ABC中,∠A=60°,AB=10,AC=8,

⊙O與△ABC的邊AC,AB相切于點(diǎn)D,E.1.求⊙O的面積s與EA的長x之間的函數(shù)關(guān)系式;2.當(dāng)⊙O與△ABC的三邊都相切時,求⊙O的面積.ABC●┗OED第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天如圖,在△ABC中,∠A=60°,AB=10,AC=8,⊙O與AB,AC相切,設(shè)⊙O與AB的切點(diǎn)為E,且圓的半徑為R,AE=x,若⊙O在變化過程中,都是落在△ABC內(nèi),(含相切),

則x的取值范圍________.ABC●┗OED拓展ABC●┗OEDF0＜x≤9-第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天

1、本節(jié)課從實(shí)際問題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法.

2、通過類比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念。

3、學(xué)習(xí)時要明確“接”和“切”的含義、弄清“內(nèi)心”與“外心”的區(qū)別，

4、利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題時，要注意整體思想的運(yùn)用，在解決實(shí)際問題時，要注意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。歸納總結(jié)第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四邊形1、下列圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是（）2、如圖，△ABC中，E是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DE＝DB練習(xí)第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天3、如圖，菱形ABCD中，周長為40，∠ABC=120°，則內(nèi)切圓的半徑為（）（A）

（B）

（C）

（D）

4、如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，