四川省自貢市重點中學2024年高三下第一次測試數(shù)學試題含解析

四川省自貢市重點中學2024年高三下第一次測試數(shù)學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．設雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．3．我國宋代數(shù)學家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或4．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米6．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復平面內(nèi)點表示復數(shù)，則表示復數(shù)的點是（）A．E B．F C．G D．H7．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．8．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm9．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．10．已知向量，，設函數(shù)，則下列關于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關于直線對稱 B．關于點對稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)11．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元12．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若非零向量，滿足，，，則______.14．在中，點在邊上，且，設，，則________（用，表示）15．某市高三理科學生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績分層抽樣的方式取份試卷進行分析，則應從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.16．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設數(shù)列，其前項和為，證明：.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.21．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內(nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司應聘？說明你的理由.22．（10分）在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為，過點的直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點。（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程：（2）若成等比數(shù)列，求a的值。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、C【解析】

由題得，，又，聯(lián)立解方程組即可得，，進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標準方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關計算，考查了學生的計算能力.3、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關系，還考查了對數(shù)學史的理解能力，屬于基礎題.4、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎題．5、D【解析】

根據(jù)題意，是一個等比數(shù)列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個等比數(shù)列模型，設，所以，解得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

由于在復平面內(nèi)點的坐標為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由，所以，對應點.故選：C【點睛】此題考查的是復數(shù)與復平面內(nèi)點的對就關系，復數(shù)的運算，屬于基礎題.7、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.8、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.9、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內(nèi)，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于難題.10、D【解析】

當時,,∴f(x)不關于直線對稱；當時,,∴f(x)關于點對稱；f(x)得周期，當時,,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項.11、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.12、C【解析】

利用復數(shù)的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復數(shù)的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出，解方程即可得出答案.【詳解】，即解得或（舍）故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應用，屬于中檔題.14、【解析】

結合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．15、【解析】

由題意結合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率，乘以可得.【詳解】解：，所以應從分以上的試卷中抽取份.故答案為：.【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎題.16、【解析】

設，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）190（2）見解析（3）可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關．【解析】

（1）排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；（2）由莖葉圖可得列聯(lián)表；（3）由列聯(lián)表計算可得結論．【詳解】解：（1）．（2）抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016（3）由于，因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關．【點睛】本題考查莖葉圖，考查獨立性檢驗，正確認識莖葉圖是解題關鍵．18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1）由，得.當時，方程的，因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當時，方程有兩個不等實根，且滿足，所以函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當時，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學生的邏輯推理能力以及數(shù)學計算能力，是一道難題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，設平面的法向量為，由可得：，令，則，設平面的法向量為，由可得:，令，則，設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）45°【解析】

（1）設的中點為，連接，設的中點為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導出，從而平面，則，即，進而平面，推導四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】（1）∵是的中點，∴.設的中點為，連接.設的中點為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點.易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標系，設.則，，，，顯然平面的法向量，設平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通常可采用幾何方法和向量方法