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四川省自貢市重點(diǎn)中學(xué)2024年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.給出以下四個(gè)命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.32.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.3.我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶(1202-1261)在《數(shù)書(shū)九章》(1247)一書(shū)中提出“三斜求積術(shù)”,即:以少?gòu)V求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí);一為從隅,開(kāi)平方得積.其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng),,求三角形面積,即.若的面積,,,則等于()A. B. C.或 D.或4.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.5.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米6.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.E B.F C.G D.H7.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.8.臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng),也叫桌球(中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國(guó)地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺(tái)球桌上,畫(huà)出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過(guò)擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長(zhǎng)為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm9.已知平面平面,且是正方形,在正方形內(nèi)部有一點(diǎn),滿足與平面所成的角相等,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為()A. B.16 C. D.10.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)11.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖,則下列說(shuō)法中不正確的是()A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比,該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)D.去年同期浙江省的GDP總量超過(guò)了4500億元12.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若非零向量,滿足,,,則______.14.在中,點(diǎn)在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)15.某市高三理科學(xué)生有名,在一次調(diào)研測(cè)試中,數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,已知,若按成績(jī)分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為_(kāi)_________.16.已知中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),的面積為,則線段的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭(zhēng)有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.21.(12分)有甲、乙兩家外賣(mài)公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無(wú)底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說(shuō)明你的理由.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷;根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷;根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯(cuò)誤.②中,由公理2知道,過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),故③錯(cuò)誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn),線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí);考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解析】
將,,,代入,解得,再分類(lèi)討論,利用余弦弦定理求,再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知,,,代入,得,即,解得,當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史的理解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,畫(huà)出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.6、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由,所以,對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.8、D【解析】
過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來(lái),根據(jù),列方程求出,進(jìn)而可得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因?yàn)椋瑒t,整理化簡(jiǎn)得,又,得,.即該正方形的邊長(zhǎng)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.9、C【解析】
根據(jù)與平面所成的角相等,判斷出,建立平面直角坐標(biāo)系,求得點(diǎn)的軌跡方程,由此求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由于平面平面,且交線為,,所以平面,平面.所以和分別是直線與平面所成的角,所以,所以,即,所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,則,,設(shè)(點(diǎn)在第一象限內(nèi)),由得,即,化簡(jiǎn)得,由于點(diǎn)在第一象限內(nèi),所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.10、D【解析】
當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;f(x)得周期,當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項(xiàng).11、D【解析】
根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì),對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項(xiàng)均正確,該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確;.故D項(xiàng)不正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖、柱形圖的識(shí)別,考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.12、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過(guò)幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.15、【解析】
由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率,乘以可得.【詳解】解:,所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)190(2)見(jiàn)解析(3)可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).【解析】
(1)排序后第10和第11兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表;(3)由列聯(lián)表計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016(3)由于,因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),正確認(rèn)識(shí)莖葉圖是解題關(guān)鍵.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當(dāng)時(shí),方程的,因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且滿足,所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時(shí),不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時(shí),.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類(lèi)推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題、證明數(shù)列不等式問(wèn)題,考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力,是一道難題.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)45°【解析】
(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點(diǎn),在平面中過(guò)B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點(diǎn),∴.設(shè)的中點(diǎn)為,連接.設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點(diǎn).易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè).則,,,,顯然平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通??刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒?/p>
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