專題9 導數(shù)之極值點偏移（講義）2024高考總復習壓軸題《數(shù)學》函數(shù)與導數(shù)解析版

第第頁專題9導數(shù)之極值點偏移【極值點偏移基本定義】眾所周知，函數(shù)滿足定義域內任意自變量都有，則函數(shù)關于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內左側的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關系：①若，則稱為極值點左偏；②若，則稱為極值點右偏.【極值點偏移幾種?？碱愋汀?.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.【極值點偏移的解題方法】1、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.2、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、極值點偏移處理方法：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調緊跟隨.2、答題模板若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調性并求出的極值點；假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.[來源:Z,xx,k.Com]（2）構造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構造成的形式.[來源:Zxxk.Com]（3）通過求導討論的單調性，判斷出在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關系；假設此處在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設，通過的單調性，，與的大小關系得出結論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調性、極值點，證明與（或與）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.[來源:Z。xx。k.Com]例1．（2021·四川達州·二模）已知定義在上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由單調性可知在上恒成立，分離變量可得；利用導數(shù)可求得的最大值，由此可得的范圍；（2）利用導數(shù)，結合零點存在定理可確定，在上單調遞減，在上單調遞增；構造函數(shù)，利用導數(shù)可求得單調性，得到，從而得到，根據(jù)自變量的范圍，結合在上的單調性可證得結論.【詳解】（1）由得：．為上的增函數(shù)，在上恒成立，即，令，則，在上單調遞減，，即，，即實數(shù)的取值范圍為.（2）當時，，則，，在上單調遞增，又，，，使得，且當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，則為的極小值.設，，，，設，，．，，又，，在上單調遞增，，，在上單調遞增，，，，，又在上單調遞減，，即.【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于（為的兩根）的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數(shù)，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.例2．（20-21高三下·全國·階段練習）已知函數(shù)，．（1）若在定義域內是減函數(shù)，求的最小值；（2）若有兩個極值點分別是，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用函數(shù)在定義域內是減函數(shù)等價于在上恒成立，參變分離后，即可求的最小值；（2）令，利用導數(shù)可求得的單調性；令，可求得，得到單調遞增，可得，置換為，由在上的單調性可得自變量的大小關系，從而證得結論.【詳解】（1）定義域為，，在定義域內是減函數(shù)，在上恒成立，即，，令，則，令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，解得：，的最小值為.（2）由（1）知：若有兩個極值點，則；令，則，令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，不妨設，則；令，則，在上單調遞增，，，即，又，，，，又，在上單調遞增，，即.【點睛】方法點睛：本題考查導數(shù)中的極值點偏移問題，處理類似于（為的兩根）的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數(shù)，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.例3．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習）設函數(shù)．（1）當有極值時，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若在定義域內存在兩實數(shù)滿足且，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)有極值可確定，利用導數(shù)可求得；由能成立的思想可知，得到，令，利用導數(shù)可知單調遞增，結合零點可確定的范圍；（2）利用導數(shù)可求得單調性，由此確定；令，，利用導數(shù)可求得，即，代入后，置換成，結合單調性可確定自變量的大小關系，由此證得不等式.【詳解】（1）定義域為，，當時，，即在上單調遞增，不合題意，；令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，；存在，使得成立，則，即，又，，即，令，則，在上單調遞增，又，，即實數(shù)的取值范圍為.（2）當時，，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，由且知：；令，，則，在上單調遞增，，即；，又，；，，又且在上單調遞減，，即.【點睛】方法點睛：本題第二問考查了導數(shù)中的極值點偏移問題的變形，處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數(shù)，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.例4．（2017·山東淄博·一模）設.(1)令，求的單調區(qū)間；(2)當時，直線與的圖像有兩個交點，且，求證：.【答案】(1)當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）先求得的表達式，對求導，討論與0的大小關系，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由（1）知，，根據(jù)單調性可知函數(shù)在處取得極小值也是最小值.構造函數(shù)，利用導數(shù)求得，即有，根據(jù)單調性有，即有.【詳解】（1）由,可得,則.當時,時，，函數(shù)單調遞增；當時，時，，函數(shù)單調遞增；時，，函數(shù)單調遞減；所以，當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，.當時,是增函數(shù)，所以當時，，故單調遞減；當時，，故單調遞增.所以在處取得極小值，且，所以..令，則，于是在上單調遞減，故，由此得即.因為，在單調遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用.解答此類問題，應該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯.解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉化：（1）利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用．（2）將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉化為函數(shù)的單調性問題處理．例5．（2017·四川涼山·一模）設，函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個相異零點，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，當時，點斜式寫出切線方程即可；（2）當時，由可知函數(shù)有零點，不符合題意；當時，函數(shù)有唯一零點有唯一零點，不符合題意；當時，由單調性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）設的兩個相異零點為，，設，則，，兩式作差可得，即，由可得即，，設上式轉化為，構造函數(shù)，證（1）即可．【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，則切線方程為，即．（2）①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是．（3）證明：設的兩個相異零點為，，設，∵，，∴，，∴，，∵，故，故，即，即，設上式轉化為（），設，∴，∴在上單調遞增，∴，∴，∴．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法和構造函數(shù)法，以及轉化思想的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．例6．（16-17高三下·安徽合肥·階段練習）已知（為常數(shù)）.(1)求的極值；(2)設，記，已知為函數(shù)的兩個零點，求證：.【答案】(1)的極大值為，無極小值(2)證明見解析【分析】（1）求導，判斷單調性得極值即可；（2）用導數(shù)判斷出的單調區(qū)間，構造函數(shù),轉化為與圖象兩交點的橫坐標為，,，構造函數(shù)和比較大小，再在上利用函數(shù)單調性得.【詳解】（1）,由得，且時，，時，，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，無極小值；（2）由，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，由條件知，即,構造函數(shù),知與圖象兩交點的橫坐標為，,，由得，時