專題09函數(shù)的奇偶性

20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊專題09函數(shù)的奇偶性№考向解讀專題09函數(shù)的奇偶性№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三張章函數(shù)的概念及性質(zhì)專題09函數(shù)的奇偶性→?考點精析←1函數(shù)奇偶性的概念①一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).②一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點對稱的.2性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．3．奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．4．用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)5判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求f(?x),看下與f(x)的關(guān)系：若f?x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據(jù)函數(shù)得到f(1)≠f(?1)，則排除f(x)是偶函數(shù).④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).對于復(fù)合函數(shù)Fxg(x)f(x)F偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)6關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．→?題型突破←【題型一】對函數(shù)奇偶性概念的理解角度1函數(shù)奇偶性的概念1．（2023·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A：定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：定義域為，則，即為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，則，故為奇函數(shù)，故C正確；對于D：定義域為，則，所以為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C2.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a?1,2a]上的偶函數(shù)，那么a+b【解析】依題意得f(?x)=f(x)，∴b=又a?1=?2a(奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱)，∴a=13，3.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中，不正確的是________：13【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f(?x)=?f(x)，則(1)，(2)正確；對于3，對于(4)，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,則(4)不正確，故答案為：角度2判斷函數(shù)的奇偶性情況1具體函數(shù)的奇偶性判斷4.函數(shù)f(x)=4?x2|x+3|?3【解析】要使函數(shù)有意義，則4?x2≥0|x+3|?3≠0解得?2<x<0或0<x<2，則定義域關(guān)于原點對稱．此時x+3=x+3，則函數(shù)f∵f?x∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，【點撥】本題利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，這點很重要；5.（2023·湖北·華中師大一附中高一開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，判斷的奇偶性并加以證明.(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），當時，，定義域為R，此時，所以為奇函數(shù)，當時，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，綜上：為奇函數(shù).（2）,即，在上恒成立，整理為在上恒成立，令，當時，，所以，故實數(shù)的取值范圍為.情況2抽象函數(shù)的奇偶性判斷6．（2023·全國·高一課時練習）已知，且是定義在R上的奇函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】B【解析】由已知的定義域為R，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，又，，又，所以，所以不為奇函數(shù)，故選：B．8.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()A.f(x)f(?x)是奇函數(shù)B.f(x)|f(?x)|是奇函數(shù)C.f(x)?f(?x)是奇函數(shù)D.f(x)+f(?x)是奇函數(shù)【解析】方法一定義法A選項：設(shè)F(x)=f(x)f(?x)，則F(?x)=F(x)為偶函數(shù)．B選項：設(shè)G(x)=f(x)|f(?x)|，則G(?x)=f(?x)|f(x)|.∴G(x)與C選項：設(shè)MxD選項：設(shè)N(x)=f(x)＋故選C.方法二取特殊函數(shù)排除法令fx=x，可知Fx=f令fx=x2，可知可知Nx=fx＋【點撥】①判斷函數(shù)的奇偶性，一般利用定義法：先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求f(?x)，看下與②判斷抽象函數(shù)的奇偶性時，可以通過“取特殊函數(shù)排除法”.③一般情況下，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).9．（多選題）（2023·全國·高一課時練習）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)【答案】BC【解析】對于A，由且，得，則的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤;對于B，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，當x>0時，，，當x<0時，也有，所以為奇函數(shù)，故B正確;對于C，由且，得，即，的定義域關(guān)于原點對稱，此時，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確;對于D，由且，得且x≠0，的定義域關(guān)于原點對稱，因為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤.故選:BC.【題型二】函數(shù)奇偶性的運用角度1已知函數(shù)奇偶性，求值問題9.設(shè)f(x)為定義上R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=2x+2x+b【解析】因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0?20＋所以當x≥0時，f又因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(?1)=?f(1)=?(21+2×1?1)=?3【點撥】若奇函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)為I，且0∈I，則有f0=0.10.若函數(shù)F(x)=f(x)?2x4是奇函數(shù)，則f?1=【解析】∵函數(shù)F(x)=f(x)?2x∴F(1)+F(?1)=0，即f(1)?2+f(?1)?2=0，則f(1)+f(?1)=4①，∵G(x)=f(x)+(1∴G(1)=G(?1)，即f(1)+12=f(?1)+2，則f(1)?f(?1)=由①?②解得f(?1)=4?角度2判斷函數(shù)的圖像11.函數(shù)f(x)=xA． B． C．D．【解析】函數(shù)的定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，且f(?x)=?(或由y=x3,y=即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，可排除CD；又f1=1故選：B．【點撥】選擇題中判斷函數(shù)的圖像，可采取排除法，主要是研究函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等)、取特殊值等手段進行排除選項！其中取特殊值排除法最簡單.12．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，為奇函數(shù)，所以C錯誤；當時，，所以A，D錯誤，B正確.故選：B.13．（2023·全國·高一課時練習）函數(shù)的圖象不可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若的圖象經(jīng)過原點，可得，即，，若的圖象關(guān)于軸對稱，可得為偶函數(shù)，即，可得，即，故C不可能成立；當，即有，，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且時，為連續(xù)函數(shù)，故A可能成立；當，，即有，，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù)，故B可能成立；若，則，當，，即有，，可得為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，且時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù)，故D可能成立．故選：C．14．（2023·全國·高一單元測試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定義域是，關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，排除B，C；當時，，易知在上是增函數(shù)，排除A．故選：D．角度3已知奇偶性求表達式15．（2023·全國·高三競賽）已知是R上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù).若,則（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由是奇函數(shù)，有.又是偶函數(shù)，有.在中，以代，得,即.故.選A.16．（2022·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期中）函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當x>0時，函數(shù)的解析式為(1)求f（1）的值∶(2)用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；(3)求當x<0時，函數(shù)的解析式.【解析】(1)；(2)證明：任取，則，所以，即，所以在上是減函數(shù)；(3)任取，則，故，即時，函數(shù)的解析式為.【題型三】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合17.已知奇函數(shù)y=f(x)在(?∞,0)為減函數(shù)，且f(2)=0，則不等式(x?1)f(x?1)>0的解集為()A．{x|?3<x<?1} B．{x|?3<x<1或C．{x|?3<x<0或x>3}【解析】由題意畫出f(x)的草圖如下，因為(x?1)f(x?1)>0，所以(x?1)與f(x?1)同號，由圖象可得?2<x?1<0或0<x?1<2，解得?1<x<1或1<x<3，故選：D．【點撥】涉及到函數(shù)奇偶性和單調(diào)性綜合的題目，多利用數(shù)形結(jié)合的方法進行理解，對每個條件要等價轉(zhuǎn)化，做到有根有據(jù)的，不能“想當然”.18.．（2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．(1)求當x＞0時，函數(shù)的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由為奇函數(shù)，得．當x＞0時，，故，故當x＞0時，．（2）由，得，故或．如圖所示，畫出函數(shù)的圖象．

由圖易得的解集為（0，2），的解集為，故不等式的解集為．19.設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2+1)，則使得f(3x?2)>f(x?4)A．13,1B．(?1,32【解析】方法一∵f(x)=lg(∴由f(3x?2)>f(x?4)得lg3x?2則3x?22+1>x?42+1方法二根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=lg(x2+1)，其定義域為有f(?x)=lg(x2+1)=f(x)設(shè)t=x2+1在區(qū)間[0,+∞)上，t=x2+1為增函數(shù)且t≥1，y=lgt則f(x)=lg(x2+1)f(3x?2)>f(x?4)?f(|3x?2|)>f(|x?4|)?|3x?2|>|x?4|，解得x<?1或x>32，故選：【點撥】①若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相反的，若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相同的，②若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，在[0,+∞)上遞增，則求解f(x2)>f(③遇到類似f(3x?2)>f(x?4)的函數(shù)不等式，一般都是利用函數(shù)的單調(diào)性處理.【題型四】已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)20．（2023·全國·高一課時練習）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________.【答案】1【解析】若是奇函數(shù)，則有.當時，，則，又當時，，所以，由，得，解得a=1.故答案為：1.21．（2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則_____．【答案】2【解析】當時，，，又為奇函數(shù)，，而當時，，所以．故答案為：222．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為______．【答案】－6【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，故，即，則解得，所以，，所以，，則，故答案為：6【題型五】抽象函數(shù)的奇偶性問題23．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．為奇函數(shù)C．在區(qū)間上有最大值D．的解集為【答案】ABD【解析】對于A選項，在中，令，可得，解得，A選項正確；對于B選項，由于函數(shù)的定義域為R，在中，令，可得，所以，則函數(shù)為奇函數(shù)，B選項正確；對于C選項，任取，x2∈R，且，則，，所以，所以，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最小值，C選項錯誤；對于D選項，由可得，又函數(shù)在R上為減函數(shù)，則，整理得，解得，D選項正確.故選：ABD．24．（2023·全國·高一課時練習）設(shè)函數(shù)對任意，都有，證明：為奇函數(shù)．【解析】證明：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為函數(shù)對任意，都有，令，則，得，令，則，所以，即，所以為奇函數(shù)．25．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x>0時，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；(3)證明：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).【解析】（1）因為對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（xx）=f（x）+f（x）.即f（x）+f（x）=f（0），而f（0）=0，∴f（x）=f（x），即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).（3）設(shè)x1>x2，則x1x2>0，f（x1x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1x2+x2）=f（x1x2）+f（x2）<f（x2），∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).【題型六】奇偶性與單調(diào)性的綜合運用26．（2022·全國·高一專題練習）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為滿足，對任意的有，所以在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A27.（2022·全國·高一單元測試）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因為，所以，即．故選：D．28．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.由函數(shù)為偶函數(shù)，得，故不等式可化為.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，即,故A錯誤，B正確；由于，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故，故C錯誤；由題意無法確定的正負，即的正負情況不定，故D錯誤，故選：B.另由題意，設(shè)，，，且，此時，故排除A；，，此時，，故排除C，D，故選：B.→?專題精練←1．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，在上單調(diào)遞增；又是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減；，由得：，則，解得：，的解集為.故選：A.2．(2023·湖北高一開學(xué)考試)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，且，則的值為()A． B．0 C．4 D．2【答案】A【解析】∵是上的奇函數(shù)，∴，即，．，∴．故選：A．3．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x+1）=，若f（x）在[1，0]上是減函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)【答案】A【解析】因為函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=，所以，所以是以2為周期的周期函數(shù)，又因為是定義域為R的偶函數(shù)，且在[1，0]上是減函數(shù)，所以在[0，1]上是增函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，故選：A4．（2023·全國·高一課時練習）偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，所以，所以，化簡得，又因為a為正實數(shù)，所以.故選：B.5．（2023·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習）定義在R上的奇函數(shù)，滿足當時，．當時的表示式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，故，又當時，，故，故故選：C6．(2022·江蘇高一開學(xué)考試)(多選)下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是()A． B．C． D．【答案】AB【解析】因為，定義域為，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時，，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項A正確；由函數(shù)的圖像可知：函數(shù)關(guān)于原點對稱且單調(diào)遞減，故選項B正確；而選項中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選項C錯誤；對于函數(shù)，定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但是不滿足題意.故選：AB.7．（2023·全國·高一課時練習）已知是定義在R上的偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以為偶函數(shù)，故滿足題意；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，故不滿足題意；對于C，易得為偶函數(shù)，故滿足題意；對于D，因為，所以不為偶函數(shù)，故不滿足題意；故選：AC8．（2022·全國·高一課時練習）已知奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域、值域均為，則（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】BD【解析】對于A選項，因為且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤對于B選項，因為，所以是奇函數(shù)，故B正確對于C選項，因為，所以是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯誤對于D選項，因為，所以是偶函數(shù)，故D正確故選：BD9．（2023·全國·高一單元測試）已知函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若，則當時，取得最小值C．當時，的值域是D．當時，在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】，則定義域為，且，即，故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；當時，，當且僅當時取到等號，故的值域是，故B不正確，C正確．當時，，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，時，，設(shè)，則，，，，單調(diào)遞增；當，時，，首先在上單調(diào)遞增，又由得（負值舍去），因此時，，所以是增函數(shù)，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．10．(2022·上海市楊浦高級中學(xué)高一期末)已知，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則的值是______________.【答案】【解析】由已知是定義在上的偶函數(shù)，故，即，或，且函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，又，故，因為關(guān)于直線對稱，故，，故答案為：.11．(2022·上海高一期中)已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，且當時，，則時，______．【答案】.【解析】當時，，所以，因為是奇函數(shù)，所以.故答案為：.12．（2022·全國·高一課時練習）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則與的大小關(guān)系是______．（填“>”“=”或“<”）【答案】＞【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，．又，所以，即．故答案為：＞.13．(專題02二次函數(shù)20202021學(xué)年新教材高一數(shù)學(xué)寒假輔導(dǎo)講義(滬教版2020))函數(shù)(常數(shù)，R)是偶函數(shù)，且它的值域為，則該函數(shù)的解析式__________【答案】【解析】，定義域為，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，即或.當時，，值域不是，舍去.當時，，所以，則.故答案為：14．(2022·南昌市新建區(qū)第一中學(xué)高一開學(xué)考試)若是定義在R上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則當時，_________.【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，則，故，時，，則.故答案為：.15．（2022·全國·高一課時練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）的定義域是，關(guān)于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)．（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3）因為的定義域為，所以，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（4）方法一（定義法）

因為函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．①當x＞1時，，所以；②當時，；③當時，，所以．綜上，可知函數(shù)為偶函數(shù)．方法二（圖象法）

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)為偶函數(shù)．16．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．【解析】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以，解得．經(jīng)檢驗，當時，是上的奇函數(shù)，滿足題意．又，解得，所以．（2）在上為增函數(shù)．證明如下：在內(nèi)任取且，則，因為，，，，所以，即，所以在上為增函數(shù)．17．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)滿足，當時，成立，且．(1)求，并證明函數(shù)的奇偶性；(2)當，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）令，