浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(B卷)

2023學(xué)年第一學(xué)期溫州市高二期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（B卷）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題卷上．2．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈．3．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線方程，則傾斜角為（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】由拋物線得：焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M，G分別是BC和CD的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得，代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，所以，，所以，.故選：C.4.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】由直接計(jì)算即可.【詳解】由題意.故選：C.5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)，結(jié)合錐體的體積的計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，可得，三棱錐的體積為，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.6.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼?lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，如下圖的1，3，6，10稱(chēng)為三角形數(shù)，1，4，9，16稱(chēng)為正方形數(shù)，則下列各數(shù)既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A.55 B.49 C.36 D.28【答案】C【解析】【分析】由題意，整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，則第個(gè)三角形數(shù)為；正方形數(shù)可看作，，，，，則第個(gè)正方形數(shù)為；對(duì)于A，令，其解不是正整數(shù)，所以不是正方形數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，解得，令，其解不是正整數(shù)，所以不是三角形數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，解得，令，解得，故C正確；對(duì)于D，令，顯然其解不是正整數(shù)，所以不是正方形數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知圓錐有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱與圓錐的高之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫(huà)出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，利用條件結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式求圓柱的側(cè)面積，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，畫(huà)出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，如圖則，．圓柱側(cè)面積．當(dāng)時(shí)，圓柱側(cè)面積最大，此時(shí)圓柱與圓錐的高之比為．故選：B.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)P在橢圓C上，直線與直線交于點(diǎn)Q，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)，，則，由題意，結(jié)合橢圓定義可列關(guān)于的方程由此即可得解.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，不妨設(shè)，則，點(diǎn)P在橢圓C上，直線與直線交于點(diǎn)Q，且，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以是正三角形，所以，可得，設(shè)，，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是想辦法用含的式子表示出，從而即可順利得解.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知圓和圓外離，則整數(shù)m的一個(gè)取值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】CD【解析】【分析】寫(xiě)出兩圓的圓心及半徑，利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求出圓心距，利用兩圓外離的關(guān)系列出不等式，求出整數(shù)的值.【詳解】因?yàn)榉匠炭苫癁椋詧A的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)榉匠炭苫癁?，由已知，且為正整?shù)，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心距，因?yàn)閳A和圓外離，所以，所以，故的可能取值有，故選：CD.10.以下選項(xiàng)中的兩個(gè)圓錐曲線的離心率相等的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線以及拋物線離心率公式，分別求出各個(gè)圓錐曲線的離心率，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，雙曲線的離心率為；橢圓的離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，雙曲線的離心率為；雙曲線的離心率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，橢圓的離心率為；橢圓的離心率為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，方程可化為拋物線，方程可化為拋物線，而且拋物線的離心率均為1，故D項(xiàng)正確.故選：CD.11.已知三棱錐如圖所示，G為重心，點(diǎn)M，F(xiàn)為中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在上，，，以下說(shuō)法正確的是（）A.若，則平面∥平面B.C.D.若M，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由中位線得，結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理即可得證；對(duì)于BC，直接由圖形的性質(zhì)分解向量即可；對(duì)于D由B中結(jié)論變形為，由四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，即分別為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以面，同理可證面，又面，所以平面∥平面，故A正確；對(duì)于BCD，如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)G為重心，所以點(diǎn)在線段上面，所以，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；因?yàn)?，所以，若M，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列命題正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】AC選項(xiàng)，得到公差，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到對(duì)恒成立，A正確，推出得到C正確；BD選項(xiàng)，得到公比，舉出反例得到C錯(cuò)誤，由，且，得到D正確.【詳解】因?yàn)?，，所以，且，AC選項(xiàng)，若為等差數(shù)列，則公差，，則，對(duì)恒成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，A正確；由于，故，又，故，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；BD選項(xiàng)，若為等比數(shù)列，則公比，不妨設(shè)，，則，故，則數(shù)列不為遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；由于，故，又，故數(shù)列為遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可以是______．（只需填寫(xiě)滿足條件的一個(gè)方程）【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】由相同漸近線的雙曲線的共性即可求解.【詳解】若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可設(shè)為，在這里不妨取即可滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則______．【答案】1【解析】【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和以及等比數(shù)列基本量的計(jì)算可先算的公比，從而由即可得解.【詳解】設(shè)公比為，由題意，所以，又，所以，解得滿足題意，所以.故答案為：1.15.已知點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先得出圓心到直線的距離，以及圓的半徑，由此結(jié)合即可求解.【詳解】顯然點(diǎn)，在圓的外面，而直線，即，又圓的圓心、半徑分別為，所以圓心到直線的距離為，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離的為，則，即點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍是.故答案為：.16.兩個(gè)正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直，M和N分別是對(duì)角線AC和BF上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的得到線段長(zhǎng)度表達(dá)式，配方利用二次函數(shù)最小值.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理知平面，，從而，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，．=，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為；故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，在平行六面體中，，，，，設(shè)，，．（1）用向量表示；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接分解向量即可求解；（2）首先分解向量得，進(jìn)一步結(jié)合兩兩之間的數(shù)量積即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意.【小問(wèn)2詳解】由題意，因?yàn)?，，，，所以，所?18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由等差數(shù)列前和以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差，由此即可得解；（2）直接由等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式分組求和即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意，，因?yàn)椋獾?，所以等差?shù)列的公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和.19.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，平面ABCD，，M為PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面PDB；（2）求CP與平面MAC所成角的正弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)講解.（2）【解析】【分析】（1）利用直線與平面的垂直的性質(zhì)，平面與平面的判斷定理進(jìn)行證明.（2）利用空間向量求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫妫驗(yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意有,,所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)CP與平面MAC所成角為，則，所以CP與平面MAC所成角的正弦值.20.已知圓滿足：①截軸所得弦長(zhǎng)為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1；③圓心到直線：的距離為，求該圓的方程．【答案】或【解析】【詳解】（法一）設(shè)圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．由題意可知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°圓P截x軸所得弦長(zhǎng)為，2|b|=，得r2=2b2，圓P被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2a2=1．又因P（a，b）到直線x2y=0距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或（法二）設(shè)圓的方程為，令x=0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，從而有2b2a2=1．又因?yàn)镻（a，b）到直線x2y=0的距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或21.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明為定值即可；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，要使對(duì)任意的恒成立，只需要即可，令，利用單調(diào)法求出數(shù)列的最小項(xiàng)即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，要使對(duì)任意的恒成立，只需要即可，令，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即，所以.22.已知點(diǎn)在雙曲線C：上，（1）求C的方程；（2）如圖，若直線l垂直于直線OA，且與C的右支交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，記四邊形MPQN與三角形APQ的面積分別為與，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，代入求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，由，求得，且，利用弦長(zhǎng)公式求得則，進(jìn)而得到，再由直線和的方程，得到，求得的面積，進(jìn)而得到，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由點(diǎn)在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由直線垂直于，可得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則，解得，可得，則，又由點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線方程為，令，可得，直線的方程為，令，可得則，所以的面積，又由，則，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，所以，即的取