2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)千錘百煉之離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征

2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)千錘百煉之離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征一、基礎(chǔ)知識：（一）離散型隨機(jī)變量分布列：1、隨機(jī)變量：對于一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)，會有多個可能產(chǎn)生的試驗(yàn)結(jié)果，則通過確定一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗(yàn)結(jié)果與一個確定的數(shù)相對應(yīng)，在這種對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著每次試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，將這種變化用一個變量進(jìn)行表示，稱這個變量為隨機(jī)變量（1）事件的量化：將試驗(yàn)中的每個事件用一個數(shù)來進(jìn)行表示，從而用“數(shù)”即可表示事件。例如：在扔硬幣的試驗(yàn)中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，則提到1，即代表正面向上的事件。將事件量化后，便可進(jìn)行該試驗(yàn)的數(shù)字分析（計(jì)算期望與方差），同時也可以簡潔的表示事件（2）量化的事件之間通常互為互斥事件（3）隨機(jī)變量：如果將事件量化后的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)集，則可將隨機(jī)變量理解為這個集合的代表元素。它可以取到數(shù)集中每一個數(shù)，且每取到一個數(shù)時，就代表試驗(yàn)的一個結(jié)果。例如：在上面扔硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)向上的結(jié)果為，則“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）隨機(jī)變量的記法：隨機(jī)變量通常用等表示（5）隨機(jī)變量的概率：記為取所代表事件發(fā)生的概率2、離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量的取值集合可以是有限集，也可以是無限集3、分布列：一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取得不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：稱該表格為離散型隨機(jī)變量的分布列，分布列概率具有的性質(zhì)為：（1）（2），此性質(zhì)的作用如下：①對于隨機(jī)變量分布列，概率和為1，有助于檢查所求概率是否正確②若在隨機(jī)變量取值中有一個復(fù)雜情況，可以考慮利用概率和為1的特征，求出其他較為簡單情況的概率，利用間接法求出該復(fù)雜情況的概率（二）常見的分布：1、如何分辨隨機(jī)變量分布列是否符合特殊分布：（1）隨機(jī)變量的取值：隨機(jī)變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.（2）每個特殊的分布都有一個試驗(yàn)背景，在滿足（1）的前提下可通過該試驗(yàn)的特征判斷是否符合某分布2、常見的分布（1）兩點(diǎn)分布：一項(xiàng)試驗(yàn)有兩個結(jié)果，其中事件發(fā)生的概率為，令，則的分布列為：則稱符合兩點(diǎn)分布（也稱伯努利分布），其中稱為成功概率（2）超幾何分布：在含有個特殊元素的個元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個數(shù)記為，則有，其中即：則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布，記為（3）二項(xiàng)分布：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，設(shè)在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量，則有，即：則稱隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，記為（三）數(shù)字特征——期望與方差1、期望：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：則稱的值為的期望，記為（1）期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，換句話說，是做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會取一個值（即結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算平均數(shù)，當(dāng)足夠大時，平均數(shù)無限接近一個確定的數(shù)，這個數(shù)即為該隨機(jī)變量的期望。例如：連續(xù)投籃三次，設(shè)投進(jìn)籃的次數(shù)為隨機(jī)變量，那么將這種連續(xù)三次投籃的試驗(yàn)重復(fù)做很多次（比如次），統(tǒng)計(jì)每次試驗(yàn)中的取值，則這個值的代數(shù)平均數(shù)將很接近期望（2）期望的運(yùn)算法則：若兩個隨機(jī)變量存在線性對應(yīng)關(guān)系：，則有①是指隨機(jī)變量取值存在對應(yīng)關(guān)系，且具備對應(yīng)關(guān)系的一組代表事件的概率相同：若的分布列為：則的分布列為：②這個公式體現(xiàn)出通過隨機(jī)變量的線性關(guān)系，可得期望之間的聯(lián)系。在某些直接求期望的題目中，若所求期望的隨機(jī)變量不符合特殊分布，但與一個特殊分布的隨機(jī)變量間存在這樣的關(guān)系，那么在計(jì)算期望時，便可借助這個特殊分布的隨機(jī)變量計(jì)算出期望2、方差：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：且記隨機(jī)變量的期望為，用表示的方差，則有：（1）方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的分散程度，與期望的理解類似，是指做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會取一個值（即結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。方差大說明這些數(shù)分布的比較分散，方差小說明這些數(shù)分布的較為集中（集中在期望值周圍）（2）在計(jì)算方差時，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進(jìn)行計(jì)算：設(shè)隨機(jī)變量為，則（3）方差的運(yùn)算法則：若兩個隨機(jī)變量存在線性對應(yīng)關(guān)系：，則有：3、常見分布的期望與方差：（1）兩點(diǎn)分布：則（2）二項(xiàng)分布：若，則（3）超幾何分布：若，則注：通常隨機(jī)變量的期望和方差是通過分布列計(jì)算得出，如果題目中跳過求分布列直接問期望（或方差），則可先觀察該隨機(jī)變量是否符合特殊的分布，或是與符合特殊分布的另一隨機(jī)變量存在線性對應(yīng)關(guān)系。從而跳過分布列中概率的計(jì)算，直接利用公式得到期望（或方差）二、典型例題：例1：為加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐，創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽，競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽的方式?jīng)Q定出場順序，通過預(yù)賽，選拔出甲，乙等五支隊(duì)伍參加決賽（1）求決賽中甲乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率（2）若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（1）思路：本題可用古典概型進(jìn)行解決，設(shè)為“五支隊(duì)伍的比賽順序”，則，事件為“甲乙排在前兩位”，則，從而可計(jì)算出解：設(shè)事件為“甲乙排在前兩位”（2）思路：一共五支隊(duì)伍，所以甲乙之間間隔的隊(duì)伍數(shù)能取得值為，同樣適用于古典概型?？上葘⒓?，乙占上位置，然后再解決“甲乙”的順序與其他三支隊(duì)伍間的順序問題。解：可取得值為的分布列為：例2：為了提高我市的教育教學(xué)水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學(xué)校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動。這10名教師中，語文教師3人，數(shù)學(xué)教師4人，英語教師3人．求：（1）選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)的概率；（2）選出的3人中，語文教師人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．（1）思路：本題可用古典概型來解，事件為“10名教師中抽取3人”，則，事件為“語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”，則分為“1語0數(shù)”，“2語1數(shù)”，“2語0數(shù)”，“3語”四種情況，分別求出對應(yīng)的情況的種數(shù)，加在一起即為，則即可求出。為了更好的用數(shù)學(xué)符號表示事件，可使用“字母+數(shù)字角標(biāo)”的形式分別設(shè)出“3人中有名語文教師”和“3人中有名數(shù)學(xué)教師”。設(shè)事件為“3人中有名語文教師”，為“3人中有名數(shù)學(xué)教師”，事件為“語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”（2）思路：本題可將語文老師視為特殊元素，則問題轉(zhuǎn)化為“10個元素中不放回的抽取3個元素，特殊元素個數(shù)的分布列”，即符合超幾何分布。隨機(jī)變量的取值為，按超幾何分布的概率計(jì)算公式即可求出分布列及期望語文教師人數(shù)可取的值為，依題意可得：的分布列為例3：某市為準(zhǔn)備參加省中學(xué)生運(yùn)動會，對本市甲，乙兩個田徑隊(duì)的所有跳高運(yùn)動員進(jìn)行了測試，用莖葉圖表示出甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動員本次測試的成績（單位：cm，且均為整數(shù)），同時對全體運(yùn)動員的成績繪制了頻率分布直方圖，跳高成績在185cm以上（包括185cm）定義為“優(yōu)秀”，由于某些原因，莖葉圖中乙隊(duì)的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知所有運(yùn)動員中成績在190cm以上（包括190cm）的只有兩個人，且均在甲隊(duì)（1）求甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動員的總?cè)藬?shù)及乙隊(duì)中成績在（單位：cm）內(nèi)的運(yùn)動員人數(shù)（2）在甲，乙兩隊(duì)所有成績在180cm以上的運(yùn)動員中隨機(jī)選取2人，已知至少有1人成績?yōu)椤皟?yōu)秀”，求兩人成績均“優(yōu)秀”的概率（3）在甲，乙兩隊(duì)中所有的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運(yùn)動員中隨機(jī)選取2人參加省中學(xué)生運(yùn)動會正式比賽，求所選取運(yùn)動員中來自甲隊(duì)的人數(shù)的分布列及期望（1）思路：本小問抓好入手點(diǎn)的關(guān)鍵是明確兩個統(tǒng)計(jì)圖的作用，莖葉圖所給的數(shù)據(jù)為甲，乙兩隊(duì)的成績，但乙隊(duì)有殘缺，所以很難從莖葉圖上得到全體運(yùn)動員的人數(shù)。在頻率分布直方圖中，所呈現(xiàn)的是所有運(yùn)動員成績的分布（但不區(qū)分甲，乙隊(duì)），由此可明確要確定全體運(yùn)動員的人數(shù)，需要通過直方圖，要確定各隊(duì)的情況，則需要莖葉圖。要補(bǔ)齊乙隊(duì)的數(shù)據(jù)，則兩個圖要結(jié)合著看。在第（1）問中，可以以190cm以上的人數(shù)為突破口，通過頻率直方圖可知190cm以上所占的頻率為，而190cm以上只有2人，從而得到全體人數(shù)，然后再根據(jù)頻率直方圖得到的人數(shù)，減去甲隊(duì)的人數(shù)即為解：由頻率直方圖可知：成績在以190cm以上的運(yùn)動員的頻率為所以全體運(yùn)動館總?cè)藬?shù)（人）成績位于中運(yùn)動員的頻率為，人數(shù)為由莖葉圖可知：甲隊(duì)成績在的運(yùn)動員有3名（人）（2）思路：通過頻率直方圖可知180cm以上運(yùn)動員總數(shù)為：（人），結(jié)合莖葉圖可知乙在180cm以上不缺數(shù)據(jù)。題目所求的是條件概率，所以可想到公式，分別求出“至少有1人成績?yōu)椤畠?yōu)秀’”和“兩人成績均‘優(yōu)秀’”的概率，然后再代入計(jì)算即可解：由頻率直方圖可得：180cm以上運(yùn)動員總數(shù)為：由莖葉圖可得，甲乙隊(duì)180cm以上人數(shù)恰好10人，且優(yōu)秀的人數(shù)為6人乙在這部分?jǐn)?shù)據(jù)不缺失設(shè)事件為“至少有1人成績優(yōu)秀”，事件為“兩人成績均優(yōu)秀”（3）思路：由（2）及莖葉圖可得：在優(yōu)秀的6名運(yùn)動員中，甲占了4名，乙占了2名，依題意可知的取值為，且符合超幾何分布，進(jìn)而可按公式進(jìn)行概率的計(jì)算解：由（2）可得：甲有4名優(yōu)秀隊(duì)員，乙有2名優(yōu)秀隊(duì)員可取的值為的分布列為：例4：現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（3）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）.（1）思路：按題意要求可知去參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為，4個人扔骰子相互獨(dú)立，所以屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停迷撃Ｐ颓蟪龈怕始纯?。解：依題意可得：參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為設(shè)事件為“有個人參加甲游戲”（2）思路：若甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)，即為事件，又因?yàn)榛コ?，所以根?jù)加法公式可得：，進(jìn)而可計(jì)算出概率解：設(shè)事件為“甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)”（3）思路：表示兩個游戲人數(shù)的差，所以可取的值為。時對應(yīng)的情況為，時對應(yīng)的情況為，時對應(yīng)的情況為，從而可計(jì)算出對應(yīng)的概率，得到分布列解：可取的值為例5：某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是分鐘（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望，方差解：（1）思路：條件中說明各路口遇到紅燈的情況相互獨(dú)立，。在第三個路口首次遇到紅燈，即前兩次沒有遇到，第三次遇到紅燈。使用概率乘法即可計(jì)算解：設(shè)事件為“在第個路口遇到紅燈”，則，設(shè)事件為“第三個路口首次遇到紅燈”即（2）思路：在上學(xué)途中遇到一次紅燈就需要停留2分鐘，一共四個路口，所以要停留的時間可取的值為，依題意可知的取值對應(yīng)的遇到紅燈次數(shù)為，且該模型屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以可用形如二?xiàng)分布的公式計(jì)算遇到紅燈次數(shù)的概率，即為對應(yīng)取值的概率，從而列出分布列，在計(jì)算期望與方差時，如果借用分布列計(jì)算，雖然可得到答案，但過程比較復(fù)雜（尤其是方差），考慮到符合二項(xiàng)分布，其期望與方差可通過公式迅速得到，且與之間存在聯(lián)系：。所以先利用二項(xiàng)分布求出的期望與方差，再利用運(yùn)算公式得到的期望方差即可解：可取的值為，設(shè)遇到紅燈的次數(shù)為，則對應(yīng)的值為的分布列為：小煉有話說：本題的亮點(diǎn)在于求的期望方差時，并不是生硬套用公式計(jì)算，而是尋找一個有特殊分布的隨機(jī)變量，通過兩隨機(jī)變量的聯(lián)系（線性關(guān)系）和的期望方差來得到所求。例6：甲，乙去某公司應(yīng)聘面試，該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照答對題目的個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響（1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望；（2）請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？（1）思路：依題意可知對于甲而言，只要在抽題的過程中，抽中甲會答的題目，則甲一定能夠答對，所以甲完成面試題數(shù)的關(guān)鍵在于抽題，即從6道題目中抽取3道，抽到甲會的4道題的數(shù)量，可知符合超幾何分布；對于乙而言，抽的題目是無差別的，答對的概率相同，所以乙正確完成面試題數(shù)符合二項(xiàng)分布。從而利用超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率公式即可得到分布列和方差解：（1）設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：，可取的值為的分布列為：的分布列為：（2）思路：由（1）可知，說明甲，乙兩個人的平均水平相同，所以考慮甲，乙發(fā)揮的穩(wěn)定性，即再計(jì)算，比較它們的大小即可解：甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲勝出的概率較大小煉有話說：（1）第（2）問在決策時，用到了期望和方差的意義，即期望表明隨機(jī)變量取值的平均情況，而方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值是相對分散（不穩(wěn)定）還是集中（穩(wěn)定），了解它們的含義有助于解決此類問題（2）當(dāng)隨機(jī)變量符合特殊分布時，其方差也有公式以方便運(yùn)算：①二項(xiàng)分布：若，則②超幾何分布：若，則例7：某個海邊旅游景點(diǎn)，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：租用時間不超過2小時收費(fèi)100，超過2小時的部分按每小時100收?。ú蛔阋恍r按一小時計(jì)算）．現(xiàn)甲、乙兩人獨(dú)立來該景點(diǎn)租用小型游艇，各租一次．設(shè)甲、乙租用不超過兩小時的概率分別為，租用2小時以上且不超過3小時的概率分別為，兩人租用的時間都不超過4小時．（1）求甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件為“甲，乙租用時間均不超過2小時”事件為“甲，乙租用時間均在2小時至3小時之間”事件為“甲，乙租用時間均在3小時至4小時之間”故所求事件的概率（2）的取值可以為則故的分布列為：例8：將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左，右兩邊下落的概率分別是（1）分別求出小球落入袋和袋中的概率（2）在容器入口處依次放入4個小球，記為落入袋中的小球個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（1）思路：本題的關(guān)鍵要抓住小球下落的特點(diǎn)，通過觀察圖形可得：小球要經(jīng)歷三層障礙物，且在經(jīng)歷每層障礙物時，只有一直向左邊或者一直向右邊下落，才有可能落到袋中，其余的情況均落入袋，所以以袋為突破口即可求出概率解：設(shè)事件為“小球落入袋”，事件為“小球落入袋”，可知依題意可得：（2）思路：每個小球下落的過程是彼此獨(dú)立的，所以屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，由?）可得：在每次試驗(yàn)中，落入袋發(fā)生的概率為，所以服從二項(xiàng)分布，即，運(yùn)用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可得到答案解：可取的值為，可知的分布列為：例9“已知正方形的邊長為，分別是邊的中點(diǎn)．（1）在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，求滿足的概率；（2）從這八個點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個點(diǎn)，記這兩個點(diǎn)之間的距離為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．（1）思路：首先明確本題應(yīng)該利用幾何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件個數(shù)為無限多個）。為“正方形內(nèi)部的點(diǎn)”，所以，設(shè)事件為“”，則點(diǎn)位于以為圓心，為半徑的圓內(nèi)，所以為正方形與圓的公共部分面積，計(jì)算可得：，從而算出解：設(shè)事件為“”（2）思路：八個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，由正方形性質(zhì)可知兩點(diǎn)距離可取的值為，概率的計(jì)算可用古典概型完成。為“八個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)”，則，當(dāng)時，兩點(diǎn)為邊上相鄰兩點(diǎn)，共8組；當(dāng)時，該兩點(diǎn)與中點(diǎn)相關(guān)有4組；當(dāng)時，除了正方形四條邊，還有，所以由6組；當(dāng)時，該兩點(diǎn)為頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)，共8組；當(dāng)時，只能是正方形對角線，有2組，根據(jù)每種情況的個數(shù)即可計(jì)算出概率，完成分布列解：可取的值為的分布列為：例10：一種電腦屏幕保護(hù)畫面，只有符號和SKIPIF1<0隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)和SKIPIF1<0之一，其中出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)SKIPIF1<0的概率為，若第次出現(xiàn)SKIPIF1<0，則記SKIPIF1<0；出現(xiàn)SKIPIF1<0，則記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（2）當(dāng)時，求且SKIPIF1<0的概率．（1）思路：依題意可知表示試驗(yàn)進(jìn)行了三次，可能的情況為3，12，21，3。且符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀８鶕?jù)題目要求可知對應(yīng)的取值為，分別計(jì)算出概率即可列出分布列解：的取值為的分布列為：（2）思路：由可知在8次試驗(yàn)中出現(xiàn)5次，3次。而可知在前四次中，出現(xiàn)的次數(shù)要大于出現(xiàn)的次數(shù)，可根據(jù)前四次出現(xiàn)的個數(shù)進(jìn)行分類討論，并根據(jù)安排和出現(xiàn)的順序解：設(shè)為“前四次試驗(yàn)中出現(xiàn)個，且，三、歷年好題精選1、已知箱裝有編號為的五個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同），箱裝有編號為的兩個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同）,甲從A箱中任取一個小球，乙從B箱中任取一個小球，用分別表示甲，乙兩人取得的小球上的數(shù)字.（1）求概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2、春節(jié)期間，某商場決定從3種服裝，2種家電，3種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動（1）試求出選出的3種商品中至少有一種是家電的概率（2）商場對選出的某商品采用抽獎方式進(jìn)行促銷，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高100元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎機(jī)會：若中一次獎，則獲得數(shù)額為元的獎金；若中兩次獎，則共獲得數(shù)額為元的獎金，若中3次獎，則共獲得數(shù)額為元的獎金，假設(shè)顧客每次抽獎中獎的概率都是，請問：商場將獎金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利3、為了搞好某次大型會議的接待工作，組委會在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，切只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”（1）求12名男志愿者的中位數(shù)（2）如果用分層抽樣的方法從所有“高個子”，“非高個子”中共抽取5人，再從這5個人中選2人，那么至少有一個是“高個子”的概率是多少？（3）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列并求出期望4、如圖所示：機(jī)器人海寶按照以下程序運(yùn)行：①從A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)B或C或D，到達(dá)點(diǎn)B,C,D之一就停止②每次只向右或向下按路線運(yùn)行③在每個路口向下的概率為④到達(dá)P時只向下，到達(dá)Q點(diǎn)只向右（1）求海寶從點(diǎn)A經(jīng)過M到點(diǎn)B的概率和從A經(jīng)過N到點(diǎn)C的概率（2）記海寶到B,C,D的事件分別記為，求隨機(jī)變量的分布列及期望5、如圖，一個小球從處投入，通過管道自上而下落至或或，已知小球從每個岔口落入左右兩個管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動，若投入到小球落到，則分別設(shè)為一、二、三等獎（1）已知獲得一、二、三、等獎的折扣率分別為，記隨機(jī)變量為獲得等獎的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望（2）若由3人參加促銷活動，記隨機(jī)變量為獲得一等獎或二等獎的人數(shù)，求6、某地區(qū)一個季節(jié)下雨天的概率是0.3，氣象臺預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8，某場生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨，若下雨而不作處理，每天會損失3000元，若對當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理，可使產(chǎn)品不受損失，費(fèi)用是每天500元（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的概率分布，并求其平均值（2）若該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的概率分布，計(jì)算的平均值，并說明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇7、正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，從正四棱柱的12條棱中任取兩條，設(shè)為隨機(jī)變量，當(dāng)兩條棱相交時，記；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，記（1）求概率（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望8、投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評審，若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用。設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為（1）求投到該雜志的一篇稿件被錄用的概率（2）記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望9、（2016，湖南師大附中月考）師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后，以每間隔10輛就抽取一輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（）分成六段：統(tǒng)計(jì)后得到如下圖的頻率分布直方圖．（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中，用到的是什么抽樣方法？并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；（2）若從車速在的車輛中做任意抽取3輛，求車速在和內(nèi)都有車輛的概率；（3）若從車速在的車輛中任意抽取3輛，求車速在的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望．10、已知暗箱中開始有3個紅球，2個白球（所有的球除顏色外其它均相同），現(xiàn)每次從暗箱中取出一個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中（1）求第二次取出紅球的概率（2）求第三次取出白球的概率（3）設(shè)取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數(shù)學(xué)期望11、某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，凡在該超市購物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎機(jī)會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅色球，1個黃色球，1個藍(lán)色球和1個黑色球，顧客不放回的每次摸出1個球，直至摸到黑色球停止摸獎，規(guī)定摸到紅色球獎勵10元，摸到黃色球或藍(lán)色球獎勵5元，摸到黑色球無獎勵（1）求一名顧客摸球3次停止摸獎的概率（2）記為一名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望12、某技術(shù)部門對工程師進(jìn)行達(dá)標(biāo)等級考核，需要進(jìn)行兩輪測試，每輪測試的成績在9.5分及以上的定為該輪測試通過，只有通過第一輪測試的人員才能進(jìn)行第二輪測試，兩輪測試的過程相互獨(dú)立，并規(guī)定：①兩輪測試均通過的定為一級工程師②僅通過第一輪測試，而第二輪測試沒通過的定為二級工程師③第一輪測試沒通過的不予定級已知甲，乙，丙三位工程師通過第一輪測試的概率分別為；通過第二輪測試的概率均為（1）求經(jīng)過本次考核，甲被定為一級工程師，乙被定為二級工程師的概率（2）求經(jīng)過本次考核，甲，乙，丙三位工程師中恰有兩位被定為一級工程師的概率（3）設(shè)甲，乙，丙三位工程師中被定為一級工程師的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望13、（2015，廣東）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則____14、（2015，安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果.（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求的分布列和均值15、（2015，福建）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（1）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（2）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．16、（2015，天津）為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.17、（2015，山東）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（1）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（2）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望18、（2014，四川）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列．（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因．19、（2016，唐山一中）設(shè)不等式確定的平面區(qū)域?yàn)?，確定的平面區(qū)域?yàn)?（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域內(nèi)任取3個整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個整點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的概率；（2）在區(qū)域內(nèi)任取3個點(diǎn)，記這3個點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20、（2016，天一大聯(lián)考）某猜數(shù)字游戲規(guī)則如下：主持人給出8個數(shù)字，其中有一個是幸運(yùn)數(shù)字，甲，乙，丙三人依次來猜這個幸運(yùn)數(shù)字，有人猜中或者三人都未猜中游戲結(jié)束。甲先猜一個數(shù)，如果甲猜中，則甲獲得10元獎金，如果甲沒有猜中，則主持人去掉四個非幸運(yùn)數(shù)字（包括甲猜的）；乙從剩下的四個數(shù)中猜一個，如果乙猜中，則甲，乙均獲得5元獎金，如果乙沒有猜中，則主持人再去掉兩個非幸運(yùn)數(shù)字（包括乙猜的）；丙從剩下的兩個數(shù)中猜一個，如果丙猜中，則甲，乙，丙均獲得2元獎金。如果丙沒有猜中，則三個人均沒有獎金（1）求甲至少獲得5元獎金的概率（2）記乙獲得的獎金為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望21、（2016，廣東省四校第二次聯(lián)考）為普及高中生安全逃生知識與安全防護(hù)能力，某學(xué)校高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽．該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，預(yù)賽為筆試，決賽為技能比賽．先將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表．分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段）頻數(shù)（人數(shù)）頻率[60，70）9[70，80）0.38[80，90）160.32[90，100）合計(jì)1（1）求出上表中的的值；（2）按規(guī)定，預(yù)賽成績不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．已知高一二班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格．①求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②記高一?二班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22、（2016，唐山一模）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元：方案二：每滿200元可抽獎一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）（1）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為320元，用所學(xué)概率知識比較哪一種方案更劃算？習(xí)題答案：1、解析：（1）設(shè)事件為“取出號球”，設(shè)事件為“取出號球”，則（2）的取值為的分布列為：2、解析：(1)設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有種不同的選法，選出的3種商品中，沒有家電的選法有種．所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為（2）設(shè)顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機(jī)變量，其所有可能的取值為3、解析：（1）由莖葉圖可得：男志愿者身高數(shù)據(jù)為：所以中位數(shù)為：（2）由莖葉圖可得：“高個子”12人，“非高個子”18人所以這5個人中，有2個高個子，3個“非高個子”設(shè)事件為：“至少有一個是‘高個子’”（3）由莖葉圖可得高個子中能擔(dān)任禮儀小姐的有4人則可取的值為的分布列為：4、解析：（1）依題意可得每個路口向下的概率為，向右的概率為設(shè)事件為“點(diǎn)A經(jīng)過M到點(diǎn)B”設(shè)事件為“從A經(jīng)過N到點(diǎn)C”（2）的分布列為：5、解析：（1）可取的值為的分布列為：（2）由（1）可知：獲得一等獎或二等獎的概率為，且6、解析：（1）可取的值為，依題意可得