高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案解析

高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案解析

1.設(shè)$f(x,y)=ax+by$，其中$a,b$為常數(shù)，則$f(xy,f(x,y))=axy+abx+by$。2.函數(shù)$z=x+y$在點(diǎn)$(1,2)$處，沿從點(diǎn)$(1,2)$到點(diǎn)$(2,2+3)$的方向的$2$方向?qū)?shù)是$1+2\sqrt{2}$。3.設(shè)有向量場(chǎng)$\vec{A}=y\vec{i}+xy\vec{j}+xz\vec{k}$，則$\operatorname{div}\vec{A}=2x$。4.二重積分$\iint\limits_Df(x,y)\mathrmkucg4qkx\mathrm86koa6cy$交換積分次序后為$\iint\limits_{D'}f(x,y)\mathrmskeomucy\mathrmymeum60x$，其中$D'$為$D$投影到$y$軸上的區(qū)間，$D=\{(x,y)|0\leqx\leq(y-3)^n,0\leqy\leq1\}$。5.冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}z^n$的收斂域?yàn)?[0,6)$。___\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrmmwma2ikz}{(z^2+1)^2}=\pi$。解：設(shè)曲面在點(diǎn)$M(x,y,z)$處的法線平行于$\vec{S}$，令$F=xyz-32$，則在點(diǎn)$M(x,y,z)$處曲面的法向量為$\vec{n}=\langleF_x,F_y,F_z\rangle=\langleyz,xz,xy\rangle$。由于$\vec{n}\parallel\vec{S}$，故有$\frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{z}{1}$。解得$x=4y,z=8y$，代入曲面方程$xy(8y)=32$，解得$y=1$，$x=4$，$z=8$，用點(diǎn)向式即得所求法線方程為$\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{8}=\frac{z-8}{1}$。令$y'=p$，則$y''=p'$，原方程化為$p'=1+p$。該方程是一階線性非齊次方程，其通解為$p=-1+Ce^x$，其中$C$是常數(shù)。代入$y'=p$得$y'=-1+Ce^x$，對(duì)其積分得$y=-x+C'e^x+D$，其中$C'$和$D$是常數(shù)。因此原方程的通解為$y=-x+Ce^x+D$。1.B2.D3.A4.C5.D6.A7.B8.C9.B1.22.53.1/34.3/21.(1)1/2(2)-3/22.(1)2(2)1/41.$\frac{x}{y}=2$，所以$x=2y$，代入第二個(gè)式子得到$y=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，$x=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{\sqrt{\pi}},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})$。2.由于$f(x)$在$[0,1]$上單調(diào)遞增，所以$f^{-1}(x)$在$[f(0),f(1)]$上單調(diào)遞增，所以可以使用分塊法，將$[0,1]$分成$n$個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為$\frac{1}{n}$，則在第$i$個(gè)小區(qū)間上，$f^{-1}(x)$的取值范圍為$[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$，所以在該區(qū)間上的最大值為$f^{-1}(\frac{i-1}{n})$，代入面積公式得到該小區(qū)間上的矩形面積為$\frac{1}{n}f^{-1}(\frac{i-1}{n})$，將所有小區(qū)間上的矩形面積相加得到總面積為$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f^{-1}(\frac{i-1