高等數(shù)學(xué)-練習(xí)題

習(xí)題七1.在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點(diǎn)的位置：A(1,2,3);

B(-2,3,4);

C(2,-3,-4);D(3,4,0);

E(0,4,3);

F(3,0,0).解：點(diǎn)A在第Ⅰ卦限；點(diǎn)B在第Ⅱ卦限；點(diǎn)C在第Ⅷ卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2.xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.3.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn)，y=z=0;y軸上的點(diǎn)，x=z=0;z軸上的點(diǎn)，x=y=0.4.求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：（1）（0，0，0），（2，3，4）；

（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；

（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）(2)(3)(4).5.求點(diǎn)（4，-3，5）到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)(4，-3，5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故

.6.在z軸上，求與兩點(diǎn)A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M（0，0，z），則解得

即所求點(diǎn)為M（0，0，）.7.試證：以三點(diǎn)A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.證明：因?yàn)閨AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC為等腰直角三角形.8.驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見圖7-1圖7-19.設(shè)試用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC邊分成五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點(diǎn)與A連接，試以，表示向量,,和.解：11.設(shè)向量的模是4，它與投影軸的夾角是60°，求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為，則12.一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B（2，-1，7），它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4，-4和7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x,y,z)，則解得x=-2,y=3,z=0故A的坐標(biāo)為A(-2,3,0).13.一向量的起點(diǎn)是P1（4，0，5），終點(diǎn)是P2（7，1，3），試求：（1）在各坐標(biāo)軸上的投影；

（2）的模；（3）的方向余弦；

（4）方向的單位向量.解：（1）(2)(3).(4).14.三個(gè)力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn).求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分別用單位向量來表達(dá)向量a,b,c.解：16.設(shè)m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.向量r與三坐標(biāo)軸交成相等的銳角，求這向量的單位向量er.解：因,故,（舍去）則.18.已知兩點(diǎn)M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），點(diǎn)M在線段M1M2上，且，求向徑的坐標(biāo).解：設(shè)向徑={x,y,z}因?yàn)椋裕?{}.19.已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，0，12）的距離是7，的方向余弦是，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y,z）,得又故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，3，6）或P（）.20.已知a,b的夾角，且，計(jì)算：(1)a·b;

(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=(2)

21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),計(jì)算：（1）a·b;

(2)(2a-3b)·(a+b)；

（3）解：（1）(2)(3)22.已知四點(diǎn)A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：={3，-2，-6}，={6，2，3}23.設(shè)重量為100kg的物體從點(diǎn)M1(3,1,8)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)M2（1，4，2），計(jì)算重力所作的功（長(zhǎng)度單位為m）.解：取重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向，依題意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解:(a+3b)·(7a-5b)=

①(a-4b)·(7a-2b)=

②由①及②可得：又，所以,故.25.一動(dòng)點(diǎn)與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)因,故.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.26.設(shè)a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a-b)=2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(1)a×b;

(2)2a×7b;(3)7b×2a;

(4)a×a.解：（1）(2)(3)(4).28.已知向量a和b互相垂直，且.計(jì)算：(1)|(a＋b)×(a－b)|；(2)|(3a＋b)×(a－2b)|.（1）(2)29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.30.一平行四邊形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為，因?yàn)?所以

.即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.31.已知三點(diǎn)A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1)，點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，證明：.證明：中點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為故

.32.求同時(shí)垂直于向量a=(2,3,4)和橫軸的單位向量.解：設(shè)橫軸向量為b=(x,0,0)則同時(shí)垂直于a，b的向量為=4xj－3xk故同時(shí)垂直于a，b的單位向量為.33.四面體的頂點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積.解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為A,B,C,D.則由A，B，D三點(diǎn)所確定三角形的面積為.同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為.故四面體的表面積.34.已知三點(diǎn)A(2,4,1),B(3,7,5),C(4,10,9)，證：此三點(diǎn)共線.證明：,顯然則故A，B，C三點(diǎn)共線.35.求過點(diǎn)(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又過點(diǎn)(4,1,-2)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.36.求過點(diǎn)M0(1,7,-3)，且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面方程為：x-1+7(y-7)-3(z+3)=0即x+7y-3z-59=037.設(shè)平面過點(diǎn)(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為又(1,2,-1)在平面上，則有得b=2.故所求平面方程為38.求過(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn)，有化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置，并畫出其圖形：(1)y=0;

(2)3x-1=0;(3)2x-3y-6=0;

(4)x–y=0;(5)2x-3y+4z=0.解：(1)y=0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）(2)3x-1=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3)圖7-2

圖7-3(3)2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.(如圖7-4)(4)x–y=0表示過z軸的平面（如圖7-5）(5)2x-3y+4z=0表示過原點(diǎn)的平面（如圖7-6）.圖7-4

圖7-5

圖7-640.通過兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n={A,B,C}已知平面法向量為n1={1,1,-1}過已知兩點(diǎn)的向量l={1,1,1}由題知n·n1=0,

n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程為x-y=0.41.決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：（1）經(jīng)過點(diǎn)（5，-4，6）；

（2）與平面2x-3y+z=0成的角.解：（1）因平面過點(diǎn)（5，-4，6）故有

5-4k-2×6=9得k=-4.（2）兩平面的法向量分別為n1={1,k,-2}

n2={2,-3,1}且解得42.確定下列方程中的l和m:(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2)平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3},

n2={m,-6,-1}(2)n1={3,-5,l},

n2={1,3,2}43.通過點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},

n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1={3,-1,7},

n2={1,-1,2}.故則45.求通過下列兩已知點(diǎn)的直線方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；

（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或

（2）直線方向向量可取為s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或

46.求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過點(diǎn)（0，7，17），因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:且直線的參數(shù)方程為：47.求下列直線與平面的交點(diǎn)：(1),

2x+3y+z-1=0;(2),

x+2y-2z+6=0.解：（1）直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點(diǎn)為（2，-3，6）.（2）直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點(diǎn)為（-2，1，3）.48.求下列直線的夾角：（1）和

；（2）

和

解：（1）兩直線的方向向量分別為：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1)×10=0知s1⊥s2從而兩直線垂直，夾角為.(2)直線的方向向量為s1={4,-12,3},直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49.求滿足下列各組條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，-3，4），且與平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）過點(diǎn)（0，2，4），且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）過點(diǎn)（-1，2，1），且與直線平行.解：（1）可取直線的方向向量為s={3，-1，2}故過點(diǎn)（2，-3，4）的直線方程為（2）所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量n1與n2不平行，故所求直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量故過點(diǎn)（0，2，4）的直線方程為（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s={2，-1，3}故過點(diǎn)（-1，2，1）的直線方程為.50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含.因?yàn)橹本€的方向向量為s={-2，-7，3}平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直線不在平面上.(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.(3)直線在平面上，因?yàn)?而直線上的點(diǎn)（2，-2，3）在平面上.51.求過點(diǎn)（1，-2，1），且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為{1，2，3}，故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52.求過點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3,

x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為其中λ為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)（1，-2，3）故解得λ=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053.求點(diǎn)（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過點(diǎn)（-1，2，0）作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向量，即s=n={1，2，-1}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求點(diǎn)（-1，2，0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)54.求點(diǎn)（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過點(diǎn)（1，2，1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n={1，2，2}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程得.故垂足為，且與點(diǎn)（1，2，1）的距離為即為點(diǎn)到平面的距離.55.求點(diǎn)（3，-1，2）到直線的距離.解：過點(diǎn)（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量即故過已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點(diǎn)到直線的距離為56.建立以點(diǎn)（1，3，-2）為中心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.57.一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2，0，-3）的距離與離點(diǎn)（4，-6，6）的距離之比為3，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)，由題意知化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.58.指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：（1）;

（2）;（3）;

（4）;（5）;

（6）.解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.（2）母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8.圖7-7

圖7-8（3）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.（4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10.圖7-9

圖7-10（5）母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11.（6）z軸，如圖7-12.圖7-11

圖7-1259.指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：（1）;

（2）;（3）;

（4）;（5）;

（6）.解：（1）半軸分別為1，2，3的橢球面，如圖7-13.(2)頂點(diǎn)在（0，0，-9）的橢圓拋物面，如圖7-14.圖7-13

圖7-14(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15.(4)單葉雙曲面，如圖7-16.圖7-15

圖7-16(5)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓錐面，其中心軸是y軸，如圖7-17.(6)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-18.圖7-17

圖7-1860.作出下列曲面所圍成的立體的圖形：(1)x2+y2+z2=a2與z=0,z=

(a>0);

(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3)z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;

(4)z=6-(x2+y2),x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分別如圖7-19，7-20，7-21，7-22所示.圖7-19

圖7-20圖7-21

圖7-2261.求下列曲面和直線的交點(diǎn)：(1)與;(2)與.解：（1）直線的參數(shù)方程為代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4，-2），（6，-2，2）.(2)直線的參數(shù)方程為代入曲面方程可解得t=1,得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3，2）.62.設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3，且位于距離xOy平面5個(gè)單位的平面上，試建立這個(gè)圓的方程.解：設(shè)（x，y，z）為圓上任一點(diǎn)，依題意有即為所求圓的方程.63.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為64.求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為65.試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.(1)平面x=2;

(2)平面y=0;(3)平面y=5;

(4)平面z=2.解：（1）截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.（2）截線方程為為xOz面上的一個(gè)橢圓.(3)截線方程為為平面y=5上的一個(gè)橢圓.(4)截線方程為為平面z=2上的兩條直線.66.求單葉雙曲面與平面x-2z+3=0的交線在xOy平面，yOz平面及xOz平面上的投影曲線.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交線在xOy平面上的投影為以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-60z-35=0.故交線在yOz平面上的投影為交線在xOz平面上的投影為習(xí)題八1.判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和邊界：(1){(x,y)|x≠0};(2){(x,y)|1≤x2+y2<4};(3){(x,y)|y<x2};(4){(x,y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}.解：(1)開集、無界集，聚點(diǎn)集：R2，邊界：{(x,y)|x=0}.(2)既非開集又非閉集，有界集,聚點(diǎn)集：{(x,y)|1≤x2+y2≤4}，邊界：{(x,y)|x2+y2=1}∪{(x,y)|x2+y2=4}.(3)開集、區(qū)域、無界集，聚點(diǎn)集：{(x,y)|y≤x2}，邊界：{(x,y)|y=x2}.(4)閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其本身，邊界：{(x,y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2=1}.2.已知f(x,y)=x2+y2-xytan,試求.解：3.已知,試求解：f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y=(x+y)xy+(xy)2x.4.求下列各函數(shù)的定義域：解：5.求下列各極限：解：(1)原式=(2)原式=+∞.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6.判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)O(0，0)處是否連續(xù)：(3)解：(1)由于又，且,故.故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)故O(0,0)是z的間斷點(diǎn).(3)若P(x,y)沿直線y=x趨于(0，0)點(diǎn)，則,若點(diǎn)P(x,y)沿直線y=-x趨于(0，0)點(diǎn)，則故不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).7.指出下列函數(shù)在向外間斷：(1)f(x,y)=;

(2)f(x,y)=;(3)f(x,y)=ln(1－x2－y2);

(4)f(x,y)=解：(1)因?yàn)楫?dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處間斷，而在其余點(diǎn)處均連續(xù).(2)因?yàn)楫?dāng)y2=2x時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(3)因?yàn)楫?dāng)x2+y2=1時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(4)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)沿直線y=x趨于O(0,0)時(shí)..故(0，0)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).8.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x2y+;

(2)s=;(3)z=xln;

(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;

(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;

(8).解：(1)(2)

(3)(4)(5)兩邊取對(duì)數(shù)得故

(6)(7)(8)9.已知，求證：.證明：

.由對(duì)稱性知

.于是

.10.設(shè)，求證：.證明：

,由z關(guān)于x,y的對(duì)稱性得故

11.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1).解：則.12.求曲線在點(diǎn)（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設(shè)切線與正向x軸的傾角為α,則tanα=1.

故α=.13.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x4+y4-4x2y2;

(2)z=arctan;(3)z=yx;

(4)z=.解：(1)由x,y的對(duì)稱性知(2)，(3)(4)14.設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：15.設(shè)z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：(1);

(2);(3);

(4).解：(1)∵∴(2)∵∴

(3)∵∴(4)∵∴17.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似計(jì)算：(1)(1.02)3·(0.97)2;

(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)設(shè)f(x,y)=x3·y2，則故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)設(shè)f(x,y)=,則故取,則(3)設(shè)f(x,y)=xy,則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長(zhǎng)a=10cm，另一邊長(zhǎng)b=24cm,當(dāng)a邊增加4mm，而b邊縮小1mm時(shí)，求對(duì)角線長(zhǎng)的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為l，則當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí)，(cm)故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)約增加0.062cm.20.1mol理想氣體在溫度0℃和1個(gè)大氣壓的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，體積是22.4L，從這標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下將溫度升高3℃，壓強(qiáng)升高0.015個(gè)大氣壓，問體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=，且在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，R=8.20568×10-2,ΔV≈dv=-=故體積改變量大約為0.09.21.測(cè)得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限是0.01cm3，質(zhì)量m=30.80g，其絕對(duì)誤差限是0.01g，求由公式