中子擴散理論

關(guān)于中子擴散理論2反應(yīng)堆物理的核心問題之一：確定堆內(nèi)中子通量密度按空間和能量的分布第二章通過求解中子慢化方程，解決了中子通量密度按能量的分布，φ(E)～E，即中子能譜本章，將研究中子通量密度按空間的分布，即φ(r)～r第2頁,共62頁，2024年2月25日，星期天3Contents引言（輸運過程、輸運理論及擴散現(xiàn)象）單能中子擴散方程非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴散方程的解擴散長度、慢化長度和徙動長度第3頁,共62頁，2024年2月25日，星期天4輸運過程及輸運理論中子狀態(tài)的描述反應(yīng)堆物理與屏蔽計算的基本方法

一、引言第4頁,共62頁，2024年2月25日，星期天51、輸運過程（Transport）以及輸運理論對于自然界的微觀粒子(中子、光子、電子、離子和分子等)，在介質(zhì)中會發(fā)生無規(guī)則碰撞，使得單個粒子的運動形式是雜亂無章的，即某一時刻、在介質(zhì)中某一位置、具有某種能量與某一運動方向

的粒子，在稍晚些時候，將運動到介質(zhì)中的另一位置、以另一能量和另一運動方向出現(xiàn)，這一現(xiàn)象稱之為粒子輸運過程。對于大量粒子而言，其運動形式呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律，使得人類對粒子行為的研究成為可能。那么，用于描述粒子在介質(zhì)中遷移的統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)理論，就統(tǒng)稱為粒子輸運理論。第5頁,共62頁，2024年2月25日，星期天6發(fā)展簡史：最早的粒子輸運理論是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子運動論”作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程（又稱輸運方程），當(dāng)時是用來描述氣體從非平衡態(tài)到平衡態(tài)的過渡過程；1910年Hilbert論述了Boltzmann方程解的存在性與唯一性，奠定了粒子輸運理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；1939年發(fā)現(xiàn)中子后，隨著核反應(yīng)堆和核武器的出現(xiàn)，中子輸運理論得到極快發(fā)展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并發(fā)展了球諧函數(shù)方法，使得高精度地解析求解Boltzmann中子輸運方程成為可能；1946年VonNeumann和Ulam等開發(fā)了第一個用概率論方法（MonteCarlo方法）計算中子鏈式反應(yīng)的程序；1955年Carlson等人提出了離散縱標法(即早期SN方法)；在上述方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了大批應(yīng)用程序軟件。第6頁,共62頁，2024年2月25日，星期天7中子狀態(tài):位置矢量r(x,y,z)、能量E(或運動速度v)、運動方向

(θ,φ)、時間t

：單位矢量，模等于1，方向表示中子的運動方向，通過極角和方位角來表示2、中子狀態(tài)的描述第7頁,共62頁，2024年2月25日，星期天8中子角密度：在r處單位體積內(nèi)和能量為E的單位能量間隔內(nèi)，運動方向為

的單位立體角內(nèi)的中子數(shù)目。中子角通量密度：沿方向在單位時間內(nèi)穿過垂直于這個方向的單位面積上的中子數(shù)目。

對中子角密度和中子角通量對所有立體角方向積分，可得前面所定義的中子密度和中子通量密度第8頁,共62頁，2024年2月25日，星期天9中子輸運理論的基本問題之一，就是采用中子角密度

（或中子角通量密度

）來描述中子輸運過程。為了得到中子角通量密度

，需要建立描述中子輸運過程的精確方程，即“玻爾茲曼方程”。它是一個含有位置r(x,y,z)、能量E(或運動速度v)、運動方向

(θ,φ)、時間t七個自變量的偏微分—積分方程，求解過程非常復(fù)雜，只有在極個別的簡單情況下，才能求出解析解。第9頁,共62頁，2024年2月25日，星期天確定性方法(Deterministicmethod)數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)物理方程表示，然后采用數(shù)值方法求解優(yōu)點：計算快速缺點：模型簡化不夠精確，大型多維問題需大量計算時間及存儲空間等典型方法：離散縱標法（SN）非確定性方法(蒙特卡羅方法，MonteCarlomethod)：基于統(tǒng)計理論，通過計算機的隨機模擬來跟蹤中子在介質(zhì)中的運動優(yōu)點：計算精確，可以模擬三維復(fù)雜幾何模型缺點：計算耗時，特別是對于深穿透問題（Deep-penetration）混合方法研究熱點3、反應(yīng)堆物理與屏蔽計算基本方法10第10頁,共62頁，2024年2月25日，星期天11中子擴散理論求出介質(zhì)內(nèi)中子角通量密度的分布,才算對介質(zhì)內(nèi)中子的分布有了全面了解.要做到這一點，需要研究中子輸運理論，求解中子輸運方程。這是一個非常復(fù)雜和困難的任務(wù).在本課程中，我們研究輸運理論的簡化形式－中子擴散理論。玻爾茲曼輸運方程中子擴散方程單群中子擴散方程假設(shè)中子通量密度角分布各向同性假設(shè)中子具有單一能量本節(jié)內(nèi)容第11頁,共62頁，2024年2月25日，星期天12菲克定律菲克定律的推導(dǎo)菲克定律和擴散方程的使用范圍單能中子擴散方程的建立擴散方程的邊界條件二、單能中子擴散方程第12頁,共62頁，2024年2月25日，星期天13分子擴散現(xiàn)象香水分子的擴散（無風(fēng)狀態(tài)）墨滴在靜水中的擴散血液中的養(yǎng)分透過細胞膜向細胞內(nèi)擴散分子擴散是由于分子間的無規(guī)則碰撞產(chǎn)生的，使得分子從密度大的地方向密度小的地方擴散，并且分子擴散的速率與分子密度的梯度成正比，也就是服從“菲克定律”。同樣，中子的擴散現(xiàn)象也服從“菲克定律”。只不過由于中子密度（1016m-3）比介質(zhì)原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的擴散主要是中子與介質(zhì)原子核碰撞的結(jié)果，中子之間的碰撞可以忽略。1、菲克定律(Fick’slaw)第13頁,共62頁，2024年2月25日，星期天14中子從通量高的地方流向通量低的地方，通量差別越大，中子“流量”越大菲克定律：上式中的被稱為中子流密度（簡稱中子流、或流。Current）.

中子流密度是一個向量,

其方向是通量場的負梯度方向.

其數(shù)值等于垂直于梯度方向的單位面積上每秒穿過的凈中子數(shù)目。單位：中子/cm2.S第14頁,共62頁，2024年2月25日，星期天15第15頁,共62頁，2024年2月25日，星期天16中子流密度是向量，可以寫成三個分量之和其中三個分量分別稱為該方向的分中子流密度，每個分量可寫成兩個分量只差JZ+是沿z軸正方向每秒穿過x-y平面上單位面積的中子數(shù)JZ-是沿z軸負方向每秒穿過x-y平面上單位面積的中子數(shù)第16頁,共62頁，2024年2月25日，星期天17如果某平面與中子流密度方向不垂直，那么每秒通過該平面上單位面積的凈中子數(shù)是第17頁,共62頁，2024年2月25日，星期天18第18頁,共62頁，2024年2月25日，星期天19中子流密度與中子通量密度的差別:中子流密度用于描述中子的定向運動，是矢量中子通量密度用于計算核反應(yīng)率，是標量

兩者的量綱相同

當(dāng)所有中子運動方向相同時，中子通量與中子流數(shù)量（大?。┫嗟取５?9頁,共62頁，2024年2月25日，星期天20場論知識數(shù)量場φ的梯度向量場的散度

哈密頓算符

拉普拉斯算符

第20頁,共62頁，2024年2月25日，星期天21考慮穩(wěn)態(tài)情況，同時假設(shè)：介質(zhì)是無限的、均勻的；在實驗室坐標系中散射是各向同性的；介質(zhì)的吸收截面很小，即

a<<s(弱吸收介質(zhì))；

是隨空間位置緩慢變化的函數(shù)。2、菲克定律的推導(dǎo)第21頁,共62頁，2024年2月25日，星期天22以所研究的點作為坐標原點第22頁,共62頁，2024年2月25日，星期天23考慮上半空間發(fā)生的散射使多少中子從上到下穿過dA首先考慮體積元dV中的散射中子有多少由于散射中子各向同性地飛向四面八方,飛向dA的只占一部分.這一份額等于dA的面積與以r為半徑的球面積之比,再乘以cos

此外并非所有飛向dA的中子都能夠到達的dA,沿途的碰撞會使得部分中子“偏離航向”，此外還有一部分中子會被介質(zhì)吸收掉第23頁,共62頁，2024年2月25日，星期天24第24頁,共62頁，2024年2月25日，星期天25

把上半空間所有地方的散射中子的貢獻統(tǒng)統(tǒng)考慮進來,即對上半空間積分,就得到從上而下穿過dA的總中子數(shù)目。這個數(shù)目就是沿負z方向的分中子流密度乘以dA第25頁,共62頁，2024年2月25日，星期天26由于已經(jīng)假設(shè)中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的，將

(r)

在原點處按泰勒級數(shù)展開，取1階項，代入積分可得第26頁,共62頁，2024年2月25日，星期天27

第27頁,共62頁，2024年2月25日，星期天28推導(dǎo)過程由于cosφ和sinφ從0到2π的積分為0，所以含有x，y項的積分將等于0，則可以得到第28頁,共62頁，2024年2月25日，星期天29分步積分洛必達法則第29頁,共62頁，2024年2月25日，星期天30第30頁,共62頁，2024年2月25日，星期天31

令，便完成了菲克定律之推導(dǎo)，得到斐克定律：中子流密度

正比于負的中子通量密度的梯度，其比例常數(shù)為擴散系數(shù)D第31頁,共62頁，2024年2月25日，星期天32介質(zhì)是無限的、均勻的、散射各向同性；有限介質(zhì)內(nèi)，在距離表面幾個自由程之外的內(nèi)部區(qū)域，斐克定律是近似成立的；在距真空邊界兩三個自由程以內(nèi)的區(qū)域，不適用。介質(zhì)的吸收截面很小，即

a<<s；中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的函數(shù)。在強中子源附近，在強吸收體附近，或者兩種擴散性質(zhì)顯著不同的交界面附近，斐克定律不適用；在較遠處，近似成立3、菲克定律/擴散理論的適用范圍第32頁,共62頁，2024年2月25日，星期天33在實驗室坐標系中散射是各向異性的；利用輸運自由程

tr來對各向異性進行修正則效果更佳（考慮了實驗室系中散射的各向異性）第33頁,共62頁，2024年2月25日，星期天34原因

第34頁,共62頁，2024年2月25日，星期天35討論左右兩邊通量分布相同,材料散射截面不同,請問:交界面上有無從左到右的凈中子流?據(jù)菲克定律,沒有凈中子流.據(jù)碰撞擴散機理,似乎有凈中子流.

？孰是孰非第35頁,共62頁，2024年2月25日，星期天36

第36頁,共62頁，2024年2月25日，星期天37

中子數(shù)守恒（中子數(shù)平衡）：在一定體積內(nèi)，中子總數(shù)對時間的變化率應(yīng)等于在該體積內(nèi)中子的產(chǎn)生率減去該體積內(nèi)中子的吸收率和泄漏率。(3-25)4、單能中子擴散方程的建立第37頁,共62頁，2024年2月25日，星期天38中子泄漏的計算考察右圖，通過平行于平面的兩個表面逸出體積元的中子泄漏率為沿Z方向單位體積的中子泄漏率是對和方向可以采用類似的表達式。第38頁,共62頁，2024年2月25日，星期天39中子泄漏的計算結(jié)果，每單位體積內(nèi)中子的泄漏率

第39頁,共62頁，2024年2月25日，星期天40產(chǎn)生率：吸收率：(3-28)(3-29)中子連續(xù)方程：(3-31)第40頁,共62頁，2024年2月25日，星期天41利用斐克定律(3-32)如果擴散系數(shù)D與空間位置無關(guān)，可得(3-33)因此，如果斐克定律成立，連續(xù)方程可寫為下式，即單能中子擴散方程(3-34)假設(shè)中子通量密度不隨時間變化，可得穩(wěn)態(tài)單能中子擴散方程(3-35)第41頁,共62頁，2024年2月25日，星期天42第42頁,共62頁，2024年2月25日，星期天43常用的邊界條件：在擴散方程適用范圍內(nèi)，中子通量密度必須為正的、有限的實數(shù)。在兩種不同擴散性質(zhì)的介質(zhì)交界面上，垂直于分界面的中子流密度相等，中子通量密度相等。(3-37)(3-38)(3-39)(3-40)將及表達式帶入上兩式，然后分別相減、相加可得：5、擴散方程的邊界條件第43頁,共62頁，2024年2月25日，星期天44(3)介質(zhì)與真空交界的外表面上，自真空返回介質(zhì)的中子流為零，即(3-41)

這一邊界條件顯然非常嚴格，但使用起來有時有些不便，因為擴散方程中的函數(shù)是通量不是中子流，更不是偏中子流第44頁,共62頁，2024年2月25日，星期天45反應(yīng)堆的外表面可以看作該情況。(3-42)(3-43)直線外推距離d(3-44)

因擴散理論在真空邊界處不適用，利用輸運理論進行修正可得：d=0.7104

tr

。在自由表面外推距離d處，中子通量密度等于零。第45頁,共62頁，2024年2月25日，星期天46外推距離處中子通量真為零嗎？Absolutelynot!這個邊界條件是說，如果按通量在真空邊界上的斜率外推的話，在外推邊界處通量降為零。

實際上，堆外中子通量變化并不如外推線所示那樣。我們用外推邊界條件，是為了解出堆內(nèi)的通量分布。第46頁,共62頁，2024年2月25日，星期天47非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴散方程無限介質(zhì)內(nèi)點源的情況（球坐標系）無限平面源位于有限厚度介質(zhì)內(nèi)的情況包含兩種不同介質(zhì)的情況三、非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴散方程的解第47頁,共62頁，2024年2月25日，星期天48穩(wěn)態(tài)單能擴散方程為若S(r)=0，即對于無源區(qū)域，擴散方程為（波動方程）或其中L稱為中子擴散長度(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)非增殖介質(zhì)內(nèi)的中子擴散方程第48頁,共62頁，2024年2月25日，星期天49常見幾何波動方程

2

±

B

2=0

的解第49頁,共62頁，2024年2月25日，星期天1.無限介質(zhì)內(nèi)點源的情況（球坐標系）邊界條件為：除r=0處以外，中子通量密度在各處為正的有限值；中子源條件：引入一個新的變量u=r

，則(3-50)式可變?yōu)?3-50)推導(dǎo)過程第50頁,共62頁，2024年2月25日，星期天511.無限介質(zhì)內(nèi)點源的情況（球坐標系）方程普遍解為可得根據(jù)邊界條件(1)可知，C=0；由邊界條件(2)有因此中子通量密度為(3-51)根據(jù)斐克定律有第51頁,共62頁，2024年2月25日，星期天522.無限平面源位于有限厚度介質(zhì)內(nèi)的情況

設(shè)在厚度為a的無限均勻平板的中心面上有一源強為S的平面源，此時擴散方程為(3-52)邊界條件為：當(dāng)x=±(a/2)時，

(±a/2)=0;中子源條件：當(dāng)x>0時，(3-52)解為(3-53)由邊界條件(1)可得(3-54)因此根據(jù)邊界條件(2)可以求出(3-55)中子通量密度為(3-56)第52頁,共62頁，2024年2月25日，星期天53(3-57)考慮系統(tǒng)對稱性，用|x|代替上式中的x，可得對所有x均適用的表達式對于無限厚度平面源，a→，有(3-61)第53頁,共62頁，2024年2月25日，星期天54當(dāng)a/L=3（介質(zhì)厚度為中子擴散長度3倍時）時，除在邊界附近外，中子通量密度的分布與無限介質(zhì)內(nèi)的分布相差不多。薄板泄露較大，邊界處中子通量密度下降很快；厚板（大于三個擴散長度），大部分中子在到達邊界以前被散射回來，泄露很小==〉反應(yīng)堆沒有必要采用過厚的反射層第54頁,共62頁，2024年2月25日，星期天553.包含兩種不同介質(zhì)的情況P76第55頁,共62頁，2024年2月25日，星期天56擴散長度(diffusionlength)(3-75)大多數(shù)元素的散射截面與能量無關(guān)，當(dāng)熱中子能譜按麥克斯韋譜分布時，熱中子吸收截面等于(3-76)將上式代入(3-75)式可得(3-77)四、擴散長度、慢化長度和徙動長度第56頁,共62頁，2024年2月25日，星期天57考慮無限介質(zhì)內(nèi)有一熱中子點源的情況，

在的球殼內(nèi)，第57頁,共62頁，2024年2月25日，星期天58擴散長度的物理意義：熱中子擴散長度的平方,等于無限大介質(zhì)中的點源放出的熱中子從產(chǎn)生地點到被吸收地點的直線距離的均方值的六分之一.第58頁,