2022-2023上海八年級數(shù)學(xué)上冊期末專題復(fù)習(xí)08 正反比例函數(shù)綜合（考點(diǎn)講解）（教師版）

專題08正、反比例函數(shù)綜合【典例分析】【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念1．正比例函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝－的圖象的交點(diǎn)的情況為(

C

)A．只有一個交點(diǎn) B．有兩個交點(diǎn)C．沒有交點(diǎn) D．不能確定【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)【專題】正比例反比例綜合【分析】正比例函數(shù)經(jīng)過一三象限、反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限【解答】∵正比例函數(shù)經(jīng)過一三象限、反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限∴兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)評】考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即對應(yīng)兩函數(shù)解析式組成的方程組的解是解題的關(guān)鍵．2．如果k＜0，那么函數(shù)y＝（1﹣k）x與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（C）A．B．C．D．【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)【專題】正比例反比例綜合【分析】根據(jù)k>0正比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，k<0反比例函數(shù)經(jīng)過二四象限得出答案【解答】∵k<0，∴1-k>0∴y＝（1﹣k）x經(jīng)過一、三象限經(jīng)過二四象限故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．3．若y與z成反比例關(guān)系，z與x成正比例關(guān)系，則y與x成__反比例____關(guān)系.【考點(diǎn)】正比例、反比例關(guān)系【專題】正比例反比例綜合【分析】根據(jù)y與z成反比例，可得出；z與x成正比例，可得出z=k′x，兩式結(jié)合即可得出y與x的關(guān)系．【解答】由y與z成反比例,可得出；z與x成正比例,可得出z=k′x，兩式結(jié)合得：，故y與x的關(guān)系是反比例函數(shù).故答案為反比例.【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的定義.4．已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x2成正比例，y2與x成反比例，并且當(dāng)x＝時，y＝5，當(dāng)x＝1時，y＝﹣1，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【考點(diǎn)】正比例、反比例關(guān)系式【專題】正比例反比例綜合【分析】根據(jù)題意分別表示出y1、y2與x關(guān)系式，得到y(tǒng)與x關(guān)系式，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式．【解答】∵y1與x2成正比例，y2與x成反比例，∴y1＝kx2，，∵y＝y(tǒng)1+y2，∴y＝kx2+，∵當(dāng)x＝時y＝5，當(dāng)x＝1時y＝﹣1，∴，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣4x2+．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是分別表示出y1、y2與x關(guān)系式，進(jìn)而確定y與x關(guān)系式．【考點(diǎn)2】正、反比例函數(shù)綜合1、已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2，求這兩個函數(shù)的解析式．【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)（x，kx），根據(jù)點(diǎn)A，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積計算即可．【解答】∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2∴A(-1，-2)，B(1，2)代入正比例函數(shù)中，解得k=1代入反比例函數(shù)，解得m=3兩個函數(shù)的解析式為y=2x和.【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.2．如圖，設(shè)函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)A、C，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)B，則的面積是___1___.【考點(diǎn)】正比例、反比例面積【專題】正比例反比例綜合【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)（x，kx），根據(jù)點(diǎn)A，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積計算即可．【解答】點(diǎn)A坐標(biāo)(x，kx)，∴點(diǎn)C坐標(biāo)(?x，?kx)，∵AB⊥x軸，∴S△ABC=AB?(OB?x)=×kx×2x=kx2，∵比例函數(shù)y=kx(k>0)與反比例函數(shù)的圖象相交于A.C兩點(diǎn)，∴kx2=1，∴S△ABC=1.故答案為1.【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.3．如圖，點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B、D在x軸上，、均為正三角形，則點(diǎn)C坐標(biāo)是______.【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)【專題】正比例反比例綜合【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出OE=EB=1，設(shè)BF=m，進(jìn)而表示出C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式即可得出m的值，進(jìn)而得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，∵△OAB,△BCD均為正三角形,A在反比例函數(shù)，設(shè)A的橫坐標(biāo)是?1，則A的縱坐標(biāo)是?，∴OE=1,OA=2OE=2,AE=，∴易求OE=EB=1，設(shè)BF=m，則C(?2?m,-m)，代入得：m2+2m?1=0，解得：m=?1±，∵m>0，∴m=?1+，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：.【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的應(yīng)用和正三角形的性質(zhì).4．如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，且為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B.（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動時，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得與的面積相等？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動時，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q（x，x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，x）．根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【解答】（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，正比例函數(shù)的解析式為.∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，∴，.∴，.∴正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動時，假設(shè)在直線MO上存在這一的點(diǎn)，使得與面積相等，則.∵，∴，解得.當(dāng)時，.當(dāng)時，.故在直線MO上存在這樣的點(diǎn)或，使得與面積相等.【點(diǎn)評】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解.5．如圖，已知長方形OABC的頂點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y后上，反比例函數(shù)的圖像過BC邊上點(diǎn)M，與AB邊交于點(diǎn)N，且.求此反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)N的坐標(biāo).【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】先將代入正比例函數(shù)得到，再結(jié)合題意得到，用待定系數(shù)法得到，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入計算即可得到答案.【解答】∵在正比例函數(shù)的圖像上，∴，.∴，而.∴.∴.設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將代入解析式得到k=2，故解析式為.∵M(jìn)、N在反比例函數(shù)的解析式為.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為.【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法進(jìn)行求6．如圖，A(3，m)是反比例函數(shù)y＝在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作AB∥x軸，連接OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)P(2，)．(1)求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)連接AP，求△OAP的面積．【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積、解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解析式求解可得解析式，再把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到m的值，求OA的解析式，由AB∥x軸即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到AE＝1、PE＝3?、PD＝，再利用割補(bǔ)法求解可得．【解答】(1)將P(2，)代入y═，得：k＝12，則反比例函數(shù)解析式為y＝，把A(3，m)代入y＝得m＝4，如圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則OC＝3、AC＝4，∴OA＝＝5，設(shè)OP的解析式為y=kx，則∴∵AB∥x軸，∴可設(shè)B（x,4），∴x=8∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，4)；(2)∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(8，4)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(2，4)，∴AE＝2﹣3、PE＝4﹣、PD＝，則△OAP的面積＝×(4+)×(2﹣3)＝5．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是用割補(bǔ)法求三角形的面積．【課后練習(xí)】1．函數(shù)y＝k1x和（k1＜0且k1k2＜0）的圖象大致是（B）A．B． C． D．【考點(diǎn)】正比例、反比例圖像【專題】正比例反比例綜合【分析】根據(jù)k<0正比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，k>0反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限得出答案【解答】∵k1＜0，∴y＝k1x經(jīng)過二、四象限∴k1k2＜0∴k2>0，經(jīng)過一、三象限故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．2．已知y＝y(tǒng)1+y2，且y1與成正比例，y2與x+2成反比例．又當(dāng)x＝1、x＝2時，y的值都為1．求y與x的函數(shù)解析式．【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；【解答】（1）∵y1與成正比例，y2與x+2成反比例∴y=k1+．∵當(dāng)x=1時，y=1．當(dāng)x=2時，y=1，∴，解得，，∴y=【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．3、已知反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)（2，3），（1）求這兩個函數(shù)解析式；（2）判斷點(diǎn)（1，6）是否在反比例函數(shù)的圖像上；（3）求兩個函數(shù)圖像的另一個交點(diǎn)．【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；【解答】（1）∵反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)（2，3），∴∴（2）點(diǎn)（1，6）代入反比例函數(shù)中成立，∴在函數(shù)圖像上（3）正反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱∴另一個交點(diǎn)是（-2，-3）【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．4、在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知正比例函數(shù)和正反比例函數(shù)的圖像相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，且與原點(diǎn)的距離是4，(1)求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求△APQ的面積．【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的方程聯(lián)列得出點(diǎn)的坐標(biāo)（2）切割法求面積【解答】（1）令，即，解得：，，對應(yīng)值分別為和，即得P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和或和；（2）點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，且與原點(diǎn)距離為4，可得，則有，直線過原點(diǎn)，即可得：．【點(diǎn)評】考查正反比例函數(shù)兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的綜合應(yīng)用．5．如圖，正方形OAPB、ADFE的頂點(diǎn)A、D、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在AP上，點(diǎn)P、F在函數(shù)的圖象上，已知正方形OAPB的面積為9．（1）求k的值和直線OP的解析式；（2）求正方形ADFE的邊長．【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；【解答】（1）∵正方形OAPB的面積為9∴BP=3，∴P（3,3）設(shè)代入得（2）設(shè)正方形ADFE的周長為a∴F（3+a，a）F點(diǎn)在反比例函數(shù)上∴∴∴ ∵F點(diǎn)在第一象限∴點(diǎn)F坐標(biāo)為：．【點(diǎn)評】考查反比例函數(shù)幾何意義的應(yīng)用，用點(diǎn)在函數(shù)圖像上進(jìn)行解題．6．已知函數(shù)，其中與x成正比例,與x成反比例，且當(dāng)x＝1時，y＝1；x＝3時，y＝5．求：（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x＝2時，y的值．【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）把x=2代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計算即可．【解答】（1）設(shè)y1=k1x（k1≠0），y2=（k2≠0），∴y=k1x-．∵當(dāng)x=1時，y=1．當(dāng)x=3時，y=5，∴，解得，，∴y=（2）由（1）知，y=，當(dāng)x=2時，y=.【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．7．如圖，點(diǎn)A在曲線y＝(x＞0)上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，OA的垂直平分線交OB、OA于點(diǎn)C、D，當(dāng)AB＝1時，△ABC的周長為_4___．【考點(diǎn)】反比例、垂直平分線【專題】正比例反比例綜合【解答】∵點(diǎn)A在曲線y＝(x＞0)上，AB⊥x軸，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案為4．【點(diǎn)評】運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)．解題時注意運(yùn)用線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=kx和雙曲線交于點(diǎn)A(－3，2)．（1）填空：k=，m=-6；（2）已知點(diǎn)B(0，6)，若點(diǎn)P在直線l上，且S△ABP=2S△ABO，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在雙曲線上找出點(diǎn)M，使得∠AOM=45°，求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）設(shè)直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)為C，由對稱性可知OA=OC，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，S△ABP=2S△ABO，此時P(3，－2)．當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長線上時，S△ABP=2S△ABO，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；（3）如下圖中，將OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，則OA=OA′，作AE⊥x軸于E，A′F垂直y軸于F，證明出△AOE≌△A′OF（AAS），進(jìn)而得出A′(2，3)，取AA′的中點(diǎn)D，直線OD在第二象限交雙曲線于點(diǎn)M，此時∠AOM=45°，求直線OD的解析式，再構(gòu)建方程組確定M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵A(－3，2)在直線y=kx和雙曲線的圖象上，∴將A(－3，2)代入可得：解得：k=，m=－6；（2）設(shè)直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)為C，如下圖所示，則由對稱性可知OA=OC，∴C(3，－2)，∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，S△ABP=2S△ABO，則點(diǎn)P不在線段AO上，∴當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長線上時，S△ABP=2S△ABO，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，此時P(3，－2)；當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長線上時，S△ABP=2S△ABO，即PA=2AO，此時P(－9，6)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，－2)或(－9，6)．（3）當(dāng)點(diǎn)M在OA下方時，若∠AOM=45°，則點(diǎn)M在第三象限，此時不存在滿足條件的點(diǎn)M；當(dāng)點(diǎn)M在OA上方，如圖，將OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，則OA=OA′，∵∠AOM=45°，∴∠A′OM=45°，∠AOA′=90°，作AE⊥x軸于E，A′F垂直y軸于F，∴∠AEO=∠A′FO=90°，∵∠AOE+∠AOF=90°，∠A′OF+∠AOF=90°，∴∠AOE=∠A′OF，在△AOE和△A′OF中，∴△AOE≌△A′OF（AAS）∴AE=A′F=2，OE=OF=3，∴A′(2，3)，連結(jié)AA′，取AA′的中點(diǎn)D，直線OD在第二象限交雙曲線于點(diǎn)M，此時∠AOM=45°．由A(－3，2)，A′(2，3)可知D(，)，∴直線OD的解析式為y=－5x．由，解得或．∵點(diǎn)M在第二象限，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考察了一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．9．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是平行四邊形OABC的兩個頂點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）將沿著x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，判斷點(diǎn)D是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】正比例、反比例表達(dá)式、等腰三角形【專題】正比例反比例綜合【分析】（1）證明Rt△COE≌Rt△BAF，則，故點(diǎn)，故，即可求解；（2）翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則，即可求解；（3）分、、三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）分別過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為：、，∵四邊形為平行四邊形，則，，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF=OE=1，故點(diǎn)，故，則反比例函數(shù)表達(dá)式為：；（2）翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，∴D