第10講 二元一次方程組的應用（原卷版）

第10講二元一次方程組的應用2.4【學習目標】1．以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題．【基礎知識】一、常見的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，.二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.【考點剖析】例1．某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．七年級一班在16場比賽中得26分．設該班勝x場，負y場，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（

）A． B． C． D．例2．小李家去年節(jié)余5000元，今年可節(jié)余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入與支出各是多少？設去年的收入為元，支出為元，則可列方程組為（

）A． B． C． D．例3．如圖，10塊相同的長方形墻磚拼成一個長方形，設長方形墻磚的長和寬分別為厘米和厘米，則依題意列方程組正確的是（

）A． B． C． D．例4．周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了20元錢（兩種物品都買），小明的購買方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例5．一個兩位數(shù)，若交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，則所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大63，這樣的兩位數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例6．咖啡A與咖啡B以之比（以質(zhì)量計）混合，A的原價為50元/kg，B的原價為40元/kg．若A的價格增加，而B的價格減少，且混合咖啡每千克的價格不變，則等于（

）A． B． C． D．例7．甲乙兩輛小車同時從A地開出，甲車比乙車每小時快，結(jié)果甲車行駛了40分鐘到達了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達地，設甲車和乙車的速度分別為，，則下列方程組正確的是（

）A． B． C． D．例8．某校組織一批學生去研學，若單獨租用45座新能源客車若干輛，則有15人沒有座位；若單獨租用35座新能源客車，則用車數(shù)量將增加2輛，并空出15個座位．現(xiàn)在要求同時租用45座和35座兩種車型的新能源客車，既保證每人有座位，又保證每輛車不空座位，則需45座和35座兩種車型的數(shù)量分別為（

）A．3輛、2輛 B．2輛、3輛 C．1輛、4輛 D．4輛、1輛例9．如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的．兩根鐵棒長度之和為55cm，此時木桶中水的深度是(

)A．16 B．18 C．20 D．24例10．某同學去蛋糕店買面包，面包有A，B兩種包裝，每個面包品質(zhì)相同，且只能整盒購買，商品信息如下：若某同學正好買了50個面包，則他最少需要花（

）元．A包裝盒B包裝盒每盒面包個數(shù)（個）38每盒價格（元）511A．71 B．74 C．75 D．81例11．某公司在安排出差的22名員工住宿時，有2人間和3人間兩種房間可供選擇，如果每一個房間都住滿，則安排住宿的方案有_______種．例12．A，B兩地相距80km．一艘船從A出發(fā)，順水航行4h到B，而從B出發(fā)逆水航行5h到A，已知船順水航行、逆水航行的速度分別是船在靜水中的速度與水流速度的和與差，船在靜水中的速度是__________km/h．例13．一次越野賽跑中，當小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達終點，時小明到達終點．這次越野賽跑的全程為_______．例14．今年“五一”勞動節(jié)期間，某手機專賣店上架了甲、乙兩款手機．前三天售出的甲款手機的數(shù)量比乙款手機的數(shù)量多50%，后兩天售出的甲款手機的數(shù)量比前三天售出的甲款手機的數(shù)量少40%，結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機的總數(shù)量多12%，若后兩天甲、乙兩款手機的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機的銷售總額多24%，在整個銷售期間甲乙兩款手機的單價不變，則甲款手機的單價與乙款手機的單價的比值為______．例15．淇淇的爸爸騎摩托車載著淇淇在公路上勻速行駛，在12：00點時，淇淇看到路邊里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為7，在13：00點時看到路邊里程碑上的數(shù)仍然是一個兩位數(shù)，但十位與個位數(shù)字與12：00點時看到的正好互換了，在14：00點時看到的數(shù)比12：00點時看到的兩位數(shù)中間多了個0．則淇淇在14：00點時看到路邊里程碑上的數(shù)為______．例16．某服裝店用5700元購進A，B兩種新式服裝，按標價售出后可獲得毛利潤3600元（毛利潤＝售價－進價），這兩種服裝的進價，標價如表所示．類型價格A型B型進價（元/件）60100標價（元/件）100160(1)請利用二元一次方程組求這兩種服裝各購進的件數(shù)；(2)如果A種服裝按標價的9折出售，B種服裝按標價的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標價出售少收入多少元？【真題演練】一、單選題1．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）張三經(jīng)營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現(xiàn)將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種4．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識、動手實踐能力、現(xiàn)場應變能力和團隊精神，湘潭市舉辦了第10屆青少年機器人競賽．組委會為每個比賽場地準備了四條腿的桌子和三條腿的凳子共12個，若桌子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為40條，則每個比賽場地有幾張桌子和幾條凳子？設有張桌子，有條凳子，根據(jù)題意所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則與的和是（

）A．9 B．10 C．11 D．126．（2016·湖南常德·中考真題）某氣象臺發(fā)現(xiàn)：在某段時間里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知這段時間有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，則這一段時間有（）A．9天 B．11天 C．13天 D．22天二、填空題7．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)，的系數(shù)與相應的常數(shù)項，即可表示方程，則表示的方程是_______．8．（2012·湖北咸寧·中考真題）某賓館有單人間和雙人間兩種房間，入住3個單人間和6個雙人間共需1020元，入住1個單人間和5個雙人間共需700元，則入住單人間和雙人間各5個共需_____元．9．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經(jīng)之首”，其書中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊共值金10兩．2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？”根據(jù)題意，可求得1頭牛和1只羊共值金_____兩．10．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶可以盛酒斛、1個小桶可以盛酒斛．根據(jù)題意，可列方程組為__________．11．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）在精準扶貧的過程中，某駐村服務隊結(jié)合當?shù)馗呱降匦?，決定在該村種植中藥材川香、貝母、黃連增加經(jīng)濟收入，經(jīng)過一段時間，該村已種植的川香、貝母、黃連面積之比4:3:5，是根據(jù)中藥材市場對川香、貝母、黃連的需求量，將在該村余下土地上繼續(xù)種植這三種中藥材，經(jīng)測算需將余下土地面積的種植黃連，則黃連種植總面積將達到這三種中藥材種植總面積的．為使川香種植總面積與貝母種植總面積之比達到3:4，則該村還需種植貝母的面積與該村種植這三種中藥材的總面積之比是____．三、解答題12．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設獸有x個，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．13．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數(shù)、金價各是多少？請解決上述問題．14．（2021·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎品的三種物品，回到學校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應的金額．15．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）某地區(qū)2020年進出口總額為520億元．2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進出口總額＝進口額＋出口額．(1)設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數(shù)式填表：年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y(2)已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額度分別是多少億元？【過關(guān)檢測】一、單選題1．中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B．C． D．2．《九章算術(shù)》中記載這樣一個問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．問繩長、井深各幾何？”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問繩長和井深各多少尺？若設繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學問題，分為九章，其中第八章“方程”篇中記載了這樣一道題：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢八十，乙得甲太半而錢亦八十．問甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢80．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢80．若設甲、乙原本各持錢x，y，則根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．4．某商店將某種碳酸飲料每瓶的價格下調(diào)了10%．將某種果汁飲料每瓶的價格上調(diào)了5%，已知調(diào)價前買這兩種飲料各一瓶共花費8元，調(diào)價后買上述碳酸飲料3瓶和果汁飲料2瓶共花費19.8元，若設上述碳酸飲料、果汁飲料在調(diào)價前每瓶分別為x元和y元，則可列方程組為（）A． B．C． D．5．天虹商場現(xiàn)銷售某品牌運動套裝，上衣和褲子一套售價500元，若將上衣價格下調(diào)，將褲子價格上調(diào)，則這樣一套運動套裝的售價提高，設上衣和褲子在調(diào)價前單價分別為x元和y元，則可列方程組為（

）A．B．C．D．6．綜合實踐課上，同學們在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數(shù)、式子和圖案（其中每個式子或圖案都表示一個數(shù)），若處于每一橫行、每一豎列、兩條斜對角線上的3個數(shù)之和都相等，則x+y的值為（

）A．6 B．10 C．12 D．?67．《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作。在它的“方程”一章里，一次方程組是由算籌布置而成的?！毒耪滤阈g(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1、圖2.圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)的系數(shù)與相應的常數(shù)項。把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖2所示的算籌圖中有一個圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為A．

B． C． D．8．《算法統(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學家程大位的主要著作在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的“甜果苦果”就是其中一首．“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個請君布算莫遲疑！”大意是說：用999文錢共買了1000個甜果和苦果，其中4文錢可以買苦果7個，11文錢可以買甜果9個，請問甜、苦果各買幾個？若設甜果買x個，買苦果y個，可以列方程為（

）．A． B．C． D．9．某工廠用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等），做成如圖2所示的A種與B種兩種長方體形狀的無蓋紙盒．現(xiàn)有正方形和紙板180張，長方形紙板340張，剛好全部用完若設能做成x個A型盒子y個B型盒子則以下列出的方程組中正確的為（）A． B．C． D．10．如圖，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字．它是由前12位數(shù)字和校驗碼構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)分別代表“國家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼、校驗碼”．其中，校驗碼是用來校驗商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性．它的編制是按照特定的算法得來的．其算法為：步驟1：計算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a，即；步驟2：計算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b，即；步驟3：計算3a與b的和c，即；步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d，即；步驟5：計算d與c的差就是校驗碼X，即．如圖，若條形碼中被污染的兩個數(shù)字的和是5，則被污染的兩個數(shù)字中右邊的數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．4 D．5二、填空題11．如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個果凍的質(zhì)量也相等，則一個果凍的質(zhì)量為______克．12．小明與爸爸的年齡和是歲，爸爸對小明說：“當我的年齡是你現(xiàn)在的年齡的時候，你還要年才出生呢．”如果設現(xiàn)在小明的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，則可列二元一次方程組為：______．13．如圖1，8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形，將這8個一樣大小的長方形改變拼法，可以拼成如圖2那樣的正方形，中間恰好留下了一個邊長為3米的小正方形，則每個小長方形的面積為________平方米．14．如圖，8塊相同的長方形地磚拼成一個大長方形地磚，每塊大長方形地磚的長比寬多，設小長方形的長為，寬為，則拼成的大長方形地磚面積是______．15．據(jù)記載，“幻方”源于我國古代的“洛書”，古人稱之為縱橫圖．如圖所示的幻方中，每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)字或字母的和均相等，則m的值為______________．5981316．在新冠疫情下，口罩作為重要的防疫物資，國家投入了大量的資金和工廠進行口罩的生產(chǎn)，每個工廠生產(chǎn)的口罩型號，顏色均有差異．某商店共有a種不同型號的口罩，每種口罩都有紅、白、藍三種顏色，并且貨源充足，每種型號的口罩紅色的價格均為每包50元，白色的價格均為每包b元，藍色的價格均為每包c元，且滿足，b、c均為正整數(shù)．A、B、C三人每人都將每種型號的口罩各買一包，且對于同種型號的口罩，三人選擇的顏色各不相同．結(jié)賬時，A、B都花了1200元，且他們買的藍色口罩數(shù)量不同，C花了1400元，三種顏色的口罩皆有購買，請問C用于購買白色、藍色的口罩最多一共花費_____元．三、解答題17．加工某種產(chǎn)品需經(jīng)兩道工序，第一道工序每人每天可完成件，第二道工序每人每天可為完成件．現(xiàn)有位工人參加這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每天第一，第二工序所完成的件數(shù)相等．列二元一次方程組18．聊城于集地區(qū)生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元．當?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工能力是：粗加工，每天可加工16噸；精加工，每天能加工6噸．但兩種加工方式不能同時進行，受季節(jié)等條件的限制，公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢．為此制定了兩種方案：（1）盡可能對蔬菜進行精加工，剩余的在市場上直接銷售；（2）將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成，你認為選擇哪種方案獲利多？為什么？19．中藥是我國的傳統(tǒng)醫(yī)藥，其獨特的療效體現(xiàn)了我們祖先的智慧，并且在抗擊新冠疫情中，中醫(yī)藥發(fā)揮了重要的作用．某種藥材種植基地欲將一批150噸的重要中藥材運往某藥品生產(chǎn)廠，現(xiàn)有甲、乙兩種車型供運輸選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：車型甲乙運載量（噸/輛）1012運費（元/輛）700720若全部中藥材用甲、