2020-2021學(xué)年福建省寧德市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年福建省寧德市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.命題“若螭顓都是奇數(shù)，則創(chuàng)書通是偶數(shù)”的逆否命題是()

A.若:穌題都不是奇數(shù)，則撕書曲是偶數(shù)

B.若磔#額是偶數(shù)，則礴盤都是奇數(shù)

C.若蝴書曲不是偶數(shù)，則僦題都不是奇數(shù)

D.若通■帶凝不是偶數(shù)，則魏題不都是奇數(shù)

2.已知函數(shù)/~(x)=；：管，若/(砌=[，貝!1/(一a)=()

A.；B.C.|D.-|

2222

3.將函數(shù)/(久)=2ttmG+》的圖象向左平移E個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象,

則9(久)的解析式為()

A.g(.x)=2tan(^+^)-1B.5(x)=2tan(^-^)+1

C.g(x)=2tanG一劫+1D.g(x)=2以嗚一月一1

4.已知a=0.23,b=]og30.2,c=302,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.若關(guān)于x的不等式(x-2)(x-a-4)<0的解集中恰有三個正整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,2)

C.[-6,-5)U(1,2]D.(1,2]

-1-1

6.已知a,b€R+,滿足a+6=l,貝的最小值為()

A.2B.4C.2A/2D.5

7.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

工“

A.朋=潴書;1B.朋=對對C.般=二D.般=-婷

索,

8.設(shè)448C的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a”,c若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且/>B>C,

3b=20acosA,則sizM:sinB：sinC^jQ)

A.4：3：2B,5：6：7C.5：4：3D,6：5：4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9,下列命題中，正確的有（）

A.若a>b>。,貝！lac?>be2

B,若a<b<0,貝！Ja?>ab>b2

C.若a>6>0且c>0,則比>-

a+ca

D.若a<b<0且c<0,則奈<口

10.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）

1

A.y=%+1B.y=xC.y=-D.y=x\x\

11.下列選項(xiàng)中，與s譏30。的值相等的有（）

A.1-2COS275°B.sml35°cosl50—cos45°cos75°

Ccos35°Vl-sin20°

D.tan200+tan250+tan20°tan25°

V2cos20°

12.下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/（久）=］在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

B.命題“三比6凡x2+x+l>0,>的否定是“Wx€R,x2+x+1<0

C.兩個三角形全等是兩個三角形相似的必要條件

D.若y=/（x）為奇函數(shù)，貝。=x/（x）為偶函數(shù)

三、單空題（本大題共3小題，共15.0分）

13.為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：

加密密鑰密碼.發(fā)送，解密密鑰密碼r

明文密文密文明文，

現(xiàn)在加密密鑰為y=loga（x+2）,如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送，接受

方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密后得到明文為

14.如圖，直角APOB中，^PBO=90°,以。為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于4

點(diǎn).若圓弧卷等分APOB的面積，且乙4OB=a弧度，則.

15.若關(guān)于x的方程V?二淳-kx+2k-3=0有且只有一個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.函數(shù)f(x)=s譏久+cosx的最小正周期為,單調(diào)增區(qū)間為,/(—勺=.

五、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(本小題滿分10分)已知集合4={x\x2—3x+2=0},B-{x\x2—a光+3a—5=0}.若AnB=

B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.已知函數(shù)f(x)=刀+?,且f(1)=5.

(I)求?。?/p>

(H)判斷并證明f(x)的奇偶性；

(HI)判斷函數(shù)/(%)在(2,+8),上是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？并證明.

2

19.已知函數(shù)y=f。)，xED,yEX；5(x)=%-(4V7tan6)x+1,

(1)當(dāng)f(久)=sin(x+0)為偶函數(shù)時，求。的值.

(2)當(dāng)/⑶=sin(2x+￡)+gsin(2x+￡^,g(x)在4上是單調(diào)遞減函數(shù)，求。的取值范圍.

20.某地煤氣公司規(guī)定，居民每個月使用的煤氣費(fèi)由基本月租費(fèi)、保險費(fèi)和超額費(fèi)組成.每個月的

保險費(fèi)為3元，當(dāng)每個月使用的煤氣量不超過。機(jī)3時，只繳納基本月租費(fèi)C元；如果超過這個使

用量，超出的部分按b元/爪3計費(fèi).

(1)請寫出每個月的煤氣費(fèi)y(元)關(guān)于該月使用的煤氣量X(爪3)的函數(shù)解析式；

(2)如果某個居民7~9月份使用煤氣與收費(fèi)情況如下表，請求出a,b,c,并畫出函數(shù)圖象；

月份煤氣使用量/爪3煤氣費(fèi)/元

744

81010

91619

其中，僅7月份煤氣使用量未超過cm?.

21.已知函數(shù)/(%)=%2—(a+2)%+alnx+2a+2,其中a<2.

(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(n)若函數(shù)〃久)在(0,2］上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.已知函數(shù)f(x)=sin(3%+0)(3〉0,0<0<兀)兩相鄰的零點(diǎn)之間的距離為將/'(x)的圖象向

左平移?個單位后圖象對應(yīng)的函數(shù)g(%)是偶函數(shù).

(1)求函數(shù)〃久)的解析式；

(U)求函數(shù)/(*)的對稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案及解析

1.答案：D

解析:試題分析:???逆否命題就是把原命題的條件與結(jié)論同時否定并交換位置,都是的否定為不都是,

二答案是D.

考點(diǎn)：四種命題.

2.答案：C

2

解析:解：,."(%)x+x+l

x2+l

x2+x+lx2-x+l2(x2+l)

???f(x)+/(-%)=+；----二2n

x2+lx2+lx2+l

,?"(a)=|>

???f(a)+/(-a)=2,

即/(-a)=2-/(a)=2-H|,

故選：C

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，證明/(久)+/(-x)=2即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件證明f(x)+〃-K)=2是解決本題的根據(jù).

3.答案：A

解析：解：將函數(shù)"%)=2tan(l+兮的圖象向左平移E個單位，得"X)=2tm(3+§=2tme+

再向下平移1個單位，得到函數(shù)=2tan(^+5-1的圖象，所以g(x)的解析式為g(x)=2tan^+

…

故選A.

直接利用左加右減、上加下減的平移原則，推出平移后的函數(shù)解析式即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，值域左加右減以及上加下減的法則，值域平移的方向與x的系

數(shù)的關(guān)系.

4.答案：B

解析：解：-.-0<a=0.23<0.2°=1,

b=log30.2<log3l=0,

c=30-2>3°=1,

■■b<a<c.

故選：B.

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

本題考查三個數(shù)的大小的比較，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力,

考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：解：不等式(x-2)(x-a-4)<0的解集中恰有三個正整數(shù)，

所以a+4>2,不等式的解是2<久<a+4,

由不等式的解集中不可能有三個正整數(shù)，

所以這三個正整數(shù)分別是3,4,5；

則5<a+4W6,

解得1<aW2,

所以a的取值范圍是(1,2].

故選：D.

根據(jù)不等式的解集中恰有三個正整數(shù)，得出a+4>2,再由不等式的解集求出a的取值范圍.

本題考查了一元二次不等式解法與應(yīng)用問題，是中檔題.

6.答案：B

解析：解：a,beR+,a+b=1,

1111

..._+_=(a+Z?)(_+_)

>2+2l-x^=4.

故選：B.

由題設(shè)條件知工+3=(a+b)G+3=l+2+W+l，由此利用均值不等式可得到工+:的最小值.

ab'''a匕'abab

本題考查基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用.

7.答案：B

解析：試題分析：般=富#工為非奇非偶函數(shù)，般在:螂，榴旗是減函數(shù)，般=-d在:卿序呵!:是減

需

函數(shù)，般,=對對在度上即是奇函數(shù)又是增函數(shù).

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.

8.答案：D

解析：

本題考查正余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可設(shè)Q=5+1,c=b—1,結(jié)合已知3b=20。?cos/和余弦定理可求得a,b,c的值，根

據(jù)正弦定理即可得到答案.

解：由題意可設(shè)a=b+l,c=b—1.

3b=20a-cosA,

???由余弦定理得36=20(6+1)?廬

整理得7爐-27b-40=0,解得b=5或b=-3舍去)，

故a=6,c=4,

由正弦定理得sirM:sinB：sinC=a：6：c=6：5：4.

故選D

9答案:BC

解析：

本題考查了不等式的基本性質(zhì).

根據(jù)選項(xiàng)的條件，取特殊值，即可判斷力D；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，即可判斷B；利用作差法，結(jié)

合不等式的基本性質(zhì)，即可判斷C.

解：4當(dāng)c=0時，叱2>尻2不成立，故A錯誤；

8.由a<b<0,可知a?〉ab,ab>b2,■-a2>ab>b2,故8正確；

C.va>b>0Rc>0,a(a+c)=^>?>故C正確；

D由a<6<0且c<0,取a=-2,b=-1,c=-1,貝臉不成立，故。錯誤.

故選：BC.

10.答案：BD

解析：

本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐一判斷即可.

解：選項(xiàng)A,y=x+l不是奇函數(shù)，是增函數(shù)，不符合題意；

選項(xiàng)3,y=x是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，符合題意；

選項(xiàng)C,y=工是反比例函數(shù)，為奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，不符合題意；

選項(xiàng)，y=x|x|為奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)，符合題意.

v—x￡,x<0

故選：BD.

11.答案：BC

解析：解：對于41—2COS2750=—cosl50°=cos30°,故錯誤；

對于sml35°cosl50—cos45°cos75°=sm45°cosl50—cos45osinl5o=sin(45°—15°)=sin300,

故正確；

(2

對于C,cos35oyi.-si7i20。_COS(450—100)J(COS10。-sinio。)？_w(coslO°+si?ilO°)(coslO°-si7ilO°)

V2cos20°-V2cos20°-V2cos20°

=女cosZlOfiMlO。)=浮。s2。。=%=,故正確；

V2cos20°V2cos2002

對于D,tan2O°+tan25°+tan20°tan25°=tan(25°+20°)(l—tan25°tan2O0')+tan20°tan25°=

1—tan25°tan200+tan2O°tan25°=1,故錯誤.

故選：BC.

利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡各個選項(xiàng)即可計算得解.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

12.答案：BD

解析：

直接利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用判定2D的結(jié)論，利用命題的否定判斷B的結(jié)

論，利用充分條件和必要條件判斷C的結(jié)論.

本題考查的知識要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，命題的否定，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識

的理解.

解：對于4：函數(shù)/O)=(的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),所以函數(shù)在(0,+8)和(一8,0)上都為單調(diào)

遞減函數(shù)，但在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯誤；

對于8：命題'TxGR,x2+x+l>0,,的否定是“VxeR,x2+x+l<0>,故8正確;

對于C：兩個三角形全等，則兩個三角形必相似，但是兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等，

則兩個三角形全等是兩個三角形相似的充分不必要條件，故C錯誤；

對于。：若y=/(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y=K也為奇函數(shù)，則函數(shù)則y=K/(x)為偶函數(shù)，故O正確.

故選：BD.

13.答案：14

解析：解：,??加密密鑰為y=loga(x+2),

由其加密、解密原理可知，

當(dāng)x=6時，y=3,從而a=2；

不妨設(shè)接受方接到密文為“4”的“明文”為b,

則有4=log2(b+2),

從而有b=24-2=14.

即解密后得明文為14

故答案為：14

根據(jù)題意中給出的解密密鑰為y=loga(x+2),如上所示，明文“6”通過加密后得到密文“3”，

我們不難求出底數(shù)a的值，若接受方接到密文為“4”，不妨解密后得明文為6,構(gòu)造方程，解方程即

可解答.

這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定

義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果.

14.答案：|

解析：

本題考查扇形的面積公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出PB,計算直角三角形的面積，由條件建

立等式，解此等式求出tcma與a的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

解：設(shè)扇形的半徑為r,

則扇形的面積為之"2,直角三角形POB中，PB=rtana,

APOB的面積為|rxrtana,由題意得］xrtana=2x|ar2,

???tana=2a,

a1

tana20

故答案為：

15.答案:1>|或々=>

解析：解：若關(guān)于久的方程在-kx+2k-3=0有且只有一個實(shí)數(shù)根，

則函數(shù)y=VI二1T的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有1個交點(diǎn)

?函數(shù)y-kx+3-2k的圖象恒過(2,3)點(diǎn)

故在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=,4一％2的圖象與y=kx+3-2k的圖象如下圖所示:

由圖可知

當(dāng)/￡=5時，直線與圓相切，

當(dāng)々=，時，直線過半圓的左端點(diǎn)(-2,0)

若函數(shù)y=回三次的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有1個交點(diǎn)，則k>:或k=5

故答案為k>3或k=*

根據(jù)方程的根與對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，我們可用圖象法解答本題，即關(guān)于x的方程VT二菱-依+

2k-3=0有且只有一個實(shí)數(shù)根,則函數(shù)y=回三F的圖象與y=依+3-2/c的圖象有且只有1個交

點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=的圖象與y=依+3-2k的圖象，分析圖象即可得到答案.

本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)的圖象，其中

在確定無法解答的方程問題時，將其轉(zhuǎn)化為確定對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，利用圖象法解答是最常用的方法.

16.答案:27r

37r7i

[2/CTT——/2/CTT+

V2

T

解析:解：/(%)=sinx+cosx=V2sin(x+

4

則函數(shù)的周期7=?=2兀，

由2/CTT—g%<2/CTT+3，kEZf

242

解得kE,Z,

2/CTT——4<4%<2/C7T+

故函數(shù)的遞增區(qū)間為［2/m—午,2/OT+)

9與=任也(一行+$=V2sin”/x|=

故答案為：2兀，［2/OT—手,2/OT+m，—.

L44J2

利用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡即可得到結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

17.答案：當(dāng)2Wa<10時，均有ACB=B.

2

解析：解：4={x\x-3%+2=0}={1,2},

由久2—ax+3a—5=0,知/=a?-4(3a—5)=a?—12a+20=(a—2)(a—10).

(1)當(dāng)2<a<10時，4<0,S=e)S.A;

(2)當(dāng)aW2或a210時，A>0,則B力。.

若久-1,貝！|1—a+3a—5=0,得a=2,

此時B={x}x2-2x+1=0}={1}C：X;

若x-2,貝！|4—2a+3a—5=0,得a=1,

此時B={2,-l}CA.

綜上所述，當(dāng)2Wa<10時，均有ACB=B.

18.答案：解：(I)根據(jù)題意，函數(shù)/0)=%+:，且"1)=5,

則f(l)=1+m=5,解得nr=4；

(II)由(I)可知/(x)=x+:，，其定義域?yàn)閧久40},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又由/'(-X)=一萬一(=一(久+》=-f(x)，

所以/(%)是奇函數(shù)；

(m)f(乃在(2,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).

證明如下：

設(shè)2<X]V%2，

/(/)-/(%2)=01+/)一(％2+/)=(X1-久2)

人2人142

因?yàn)?<無1<乂2，

所以％1久2>4,%1-%2<0,

則f(Xl)—1(不)<0,即/。1)<f(X2),

所以f(%)在(2,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).

解析：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，注意先求出函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

(I)根據(jù)題意，將x=l代入函數(shù)解析式，求解即可；

(口)利用奇函數(shù)的定義判斷并證明即可；

(HI)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即.

19.答案:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(x+。)為偶函數(shù)，所以sinQ+。)=sin(-x+(/)'),2sinx-cos(f)=

0,cos?=0,

所以。=/CTT+pkez,

0的值Mr+],kEZ,

(2)/(%)=sin(2x+-)+V3sin(2x+巴)=V3sin2x+2cos2x=V7sin(2x+0)G[—V7,V7],其中

63'--1

..2,V3

sin(p1=萬，cos(p1=萬，

所以/=[—V7,V7]?g(x)=x2—(4夕tern。)％+1=(%—2V7tan0)2+1—28tan20

由題意可知：2由tan。>V7.tand>|,

所以/ot+arctan|<x<fczr+pkEZ.

解析：(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求得cos。=0,即可求得0的值；

(2)利用兩角和的正弦公式展開，利用輔助角公式求得〃久)，即可求得4由題意可知：2V7tand>V7,

3+c=4,

(2)由表格可以知道3+c+b(10—a)=10,

、3+c+b(16—CL)=19.

a=6,

b=I，

(c=1.

f4(0<%<6),

所以y=b,、

［-x—5(%>6).

圖象如圖：

解析：(1)利用已知條件，結(jié)合分段函數(shù)寫出每個月的煤氣費(fèi)y(元)關(guān)于該月使用的煤氣量支(租3)的函

數(shù)解析式；

(2)利用某個居民7?9月份使用煤氣與收費(fèi)情況，列出方程組即可求出a,b,c,然后畫出函數(shù)圖象；

本題考查實(shí)際問題的解決方法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是

中檔題.

21.答案：解：(/)函數(shù)定義域?yàn)閤〉0,且尸O)=2x—(a+2)+/=(2=?(XT),

①當(dāng)aW0,即與WO時，令尸(x)<0,得0<乂<1,函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),

令((%)>0,得1>1,函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8);

②當(dāng)0<BV1,即0VaV2時,令/'(%)>0,得0V%V|或汽>1,

函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,今，(1,+8),

令「(久)<0,得；<久<1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為?,1)；

③當(dāng)三=1,即a=2時，f(x)>0恒成立，函數(shù)/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

(II)①當(dāng)aW0時，由(I)可知，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),/(?在(1,2］單調(diào)遞增.

所以f(x)在(0,2］上的最小值為f(l)=a+1,

由于f(。)=|一展一)+2=(4-1)2_已+1>0,

要使/(x)在(0,2］上有且只有一個零點(diǎn)，

需滿足/⑴=0或有？::解得a=—1或a<--

②