2024年中考數(shù)學(xué)二模試卷（無(wú)錫卷）（全解全析）

2024年中考第二次模擬考試(無(wú)錫卷)數(shù)學(xué)·全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：140分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列計(jì)算結(jié)果最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，，，故結(jié)果最小的為，故選：D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；C、與不是同類項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；D、，此選項(xiàng)正確，故符合題意，故選：D．3．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、，故A正確，不符合題意；B、，故B正確，不符合題意；C、，故C正確，不符合題意；D、，故D不正確，符合題意，故選：D．4．2024年，中國(guó)將迎來(lái)一系列重要的周年紀(jì)念活動(dòng)，某校開展了主題為“牢記歷史·吾輩自強(qiáng)”的演講比賽，九年級(jí)8名同學(xué)參加該演講比賽的成績(jī)分別為76，78，80，85，80，74，78，80．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．80，79 B．80，78 C．78，79 D．80，80【答案】A【解析】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：74，76，78，78，80，80，80，85．80出現(xiàn)3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是80，最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)是78，80，故中位數(shù)是．故選：A5．若，則的值是（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】解：，∵，∴，∴原式．故選：D．6．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課要求用一張正方形紙片制作圓錐，同學(xué)們分別剪出一個(gè)扇形和一個(gè)小圓作為圓錐的側(cè)面和底面，下列圖示中的剪法恰好能構(gòu)成一個(gè)圓錐的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，如圖，連接，，則，，在上，設(shè)，過(guò)作于，連接，∴四邊形為矩形，∴，，，而，∴，解得：（舍去），，∴大的半圓的弧長(zhǎng)為，小圓的周長(zhǎng)為，故A不符合題意；如圖，由正方形與圓的性質(zhì)可得：，∴大的半圓的弧長(zhǎng)為，小圓的周長(zhǎng)為，故B符合題意；如圖，連接，，則，設(shè)，同理可得：，，，∴，解得：，∴∴大的扇形的弧長(zhǎng)為，小圓的周長(zhǎng)為，故C不符合題意；如圖，連接，，

設(shè)，當(dāng)剛好要圍成一個(gè)圓錐時(shí)，則扇形的弧長(zhǎng)等于小圓的周長(zhǎng)，∴，∴，而圖中裁剪的條件中沒有這個(gè)條件，故D不一定能夠剛好圍成圓錐，不符合題意；故選B7．如圖1是變量y與變量x的函數(shù)關(guān)系的圖象，圖2是變量z與變量y的函數(shù)關(guān)系的圖象，則z與x的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：由圖1可設(shè)（k，b為常數(shù)，且，由圖2可設(shè)（m為常數(shù)，），將代入得：，與的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，，，，，，與的函數(shù)圖象過(guò)一、二、四象限．故選：D．8．如圖，矩形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，，，為邊中點(diǎn)，，在和中，，∴，，，垂直平分，，，∵，，，∵，∴，∵，∴，故選：A．9．如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)在邊上，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，，垂足為．若，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖，則，∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，∵四邊形為菱形，∴，，，∵，即，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故選：D．10．如圖，在直角三角形中，，分別是上兩點(diǎn)，以為直徑作圓與相切于點(diǎn)，且．若則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：連接，

∵，∴，∴為的直徑，∵與相切于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11．維生素C能夠促進(jìn)白細(xì)胞的產(chǎn)生，且?guī)椭浒l(fā)揮免疫作用，成年人每天維生素C的攝入量最少為80mg．已知，則將數(shù)據(jù)80mg用科學(xué)記數(shù)法可表示為g．【答案】【解析】解：∵，∴；故答案為：．12．因式分解：．【答案】【解析】解：，故答案為：．13．已知一元二次方程有一個(gè)根為2，則另一根為．【答案】【解析】解：一元二次方程有一個(gè)根為2，設(shè)另一個(gè)根為，，解得，故答案為：．14．如圖，在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)D，連接，則，∵在中，，，，∴，∴，∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，，∴，∴．故答案為：15．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為10和12，則等腰三角形的面積為．【答案】48或【解析】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為10時(shí)：如圖，過(guò)A作于D，∵，∴，由勾股定理得：，∴的面積是．當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為12時(shí)，則：，∴，∴的面積是；故答案為：48或．16．如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形網(wǎng)格中，已知，在網(wǎng)格格點(diǎn)上，在剩余的格點(diǎn)中任選一點(diǎn)，恰好能使的面積為的概率是．【答案】【解析】如答圖，因?yàn)樵谑Ｓ喔顸c(diǎn)中任選一點(diǎn)，共有種等可能的結(jié)果，其中恰好能使的面積為的結(jié)果有種，所以恰好能使的面積為的概率為．故答案為：．17．如圖所示，已知拋物線，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過(guò)點(diǎn)A作交拋物線于點(diǎn)D，連接，則的度數(shù)．【答案】/度【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，在中當(dāng)時(shí)，解得或，∴，∴，在中當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∵，∴可設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立解得或，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)在圖形Q的內(nèi)部（不包含邊界），則稱點(diǎn)P是圖形Q關(guān)于直線m的“伴隨點(diǎn)”．如圖，已知，，，直線l：，若原點(diǎn)O是關(guān)于直線l的“伴隨點(diǎn)”，則b的取值范圍是．【答案】【解析】解：如下圖所示，點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，并且軌跡為直線；直線與直線交點(diǎn)為點(diǎn)，與直線交點(diǎn)為點(diǎn)接下來(lái)只要求兩個(gè)點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可，B點(diǎn)通過(guò)觀察，直角在直線上，直接求G點(diǎn)即可；∵，；設(shè)直線解析式為；把兩個(gè)點(diǎn)帶入解析式中的得；；解得：，；∴；在聯(lián)立兩條直線求交點(diǎn)G坐標(biāo)；；解得：，；∴；在計(jì)算線段中點(diǎn)坐標(biāo)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，分別帶入中；其中線段中點(diǎn)為，線段中點(diǎn)為可以求出兩個(gè)b的值，，；∴；故答案為：．

三、解答題（本大題共10小題，共86分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（8分）（1）計(jì)算；（2）解方程組：．【解析】解：（1）；（2）把①代入②得：，解得，把代入①得：．故方程組的解．20．（8分）(1)解方程；(2)解不等式組．【解析】（1）解：，方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，得，解得，檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，原方程的解為；（2）解：，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集為：．21．（8分）已知點(diǎn)M，N在矩形的邊上，利用直尺和圓規(guī)，按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)如圖1，在矩形邊上找點(diǎn)E，F(xiàn)，使得為平行四邊形；(2)如圖2，在矩形邊上找P，G，H三點(diǎn)，使得四邊形為菱形．【解析】（1）解：如圖，四邊形即為所求；（2）解：如圖，四邊形即為所求．22．（8分）在中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)作，分別交邊，于點(diǎn)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：在中，，，．是對(duì)角線的中點(diǎn)，，，．又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．

（2）四邊形是菱形，．又是的中點(diǎn)，．，，，，．23．（8分）據(jù)國(guó)家電影局統(tǒng)計(jì)，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國(guó)電影票房為80.16億元，觀影人次1.63億，春節(jié)檔是闔家團(tuán)圓的喜慶日子，龍年春節(jié)檔電影票房火熱的當(dāng)屬A《熱辣滾燙》、B《飛馳人生2》、C《第二十條》．小優(yōu)和小秀恰好同一天去看這三部電影中的一部，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小優(yōu)和小秀看同一部電影的概率．【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，小優(yōu)和小秀看同一部電影的可能性有三種，故看同一場(chǎng)電影的概率為．24．（8分）八年級(jí)二班舉辦了主題為“致敬航天人，共筑星河夢(mèng)”的演講比賽．由學(xué)生1，學(xué)生2，老師、班長(zhǎng)一起組成四人評(píng)委團(tuán)，對(duì)演講者現(xiàn)場(chǎng)打分，滿分10分．圖1是甲、乙二人的演講得分的不完整折線圖，已知二人得分的平均數(shù)都是8分．(1)班長(zhǎng)給乙的打分是分，補(bǔ)全折線圖；(2)在參加演講的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的四個(gè)數(shù)據(jù)的方差越小，則認(rèn)為評(píng)委對(duì)該同學(xué)演講的評(píng)價(jià)越一致．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算推斷評(píng)委對(duì)甲、乙兩位同學(xué)中哪位同學(xué)的評(píng)價(jià)更一致；(3)要在甲、乙兩位同學(xué)中選出一人參加年級(jí)的演講比賽．按照扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）中各評(píng)委的評(píng)分占比，分別計(jì)算兩人各自的最后得分，得分高的能被選中，請(qǐng)判斷誰(shuí)被選中．【解析】（1）解：（分），∴班長(zhǎng)給乙的打分是，故答案為：8；補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）解：∵，∴∵，∴即評(píng)委對(duì)乙同學(xué)的評(píng)價(jià)更一致；（3）解：各評(píng)委的評(píng)分占比為，甲：（分），乙：（分）．∵∴甲被選中．25．（8分）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．如圖是從正面看到的一個(gè)“老碗”，其橫截面可以近似的看成是如圖（1）所示的以為直徑的半圓，為臺(tái)面截線，半圓與相切于點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)．水面截線，，．(1)如圖（1）求水深；(2)將圖（1）中的老碗先沿臺(tái)面向左作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)到如圖（2）的位置，使得、重合，求此時(shí)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離的長(zhǎng)；(3)將碗從（2）中的位置開始向右邊滾動(dòng)到圖（3）所示時(shí)停止，若此時(shí)，求滾動(dòng)過(guò)程中圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【解析】（1）解：連結(jié)，如圖所示：

，在中，由勾股定理可得，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)，如圖所示：

，，在和中，，，由（1）知，，，，在中，由勾股定理可得；（3）解：如圖所示：

由（1）可知，，在中，，，由題意可得，圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)度．26．（10分）火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)，，在同一直線上，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點(diǎn)，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長(zhǎng)度不變，在某種工作狀態(tài)下測(cè)得液壓桿，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)高空作業(yè)時(shí)，將伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度，云梯繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【解析】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大約旋轉(zhuǎn)了．

27．（10分）問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，王老師提出了如下問(wèn)題：如圖（1），在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法，作關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圖形，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．請(qǐng)你幫助小明完成畫圖和后面的解答．嘗試運(yùn)用：如圖（2），是的中線，，，，試判斷線段與的關(guān)系，并加以證明．遷移拓展：如圖（3），是的中線，，，直接用含的代數(shù)式寫出與之間的面積關(guān)系．【解析】解：（1）問(wèn)題背景：作圖如圖．由中心對(duì)稱的性質(zhì)知，．在中，，，即，．（2）嘗試運(yùn)用：．理由如下：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，由前面知，，，，，，，，，，，，．，，，，；（3）遷移拓展：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，由（1）可知：，，，又由（2）可知，，，,又，,，即．28．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，軸交于點(diǎn),交軸于點(diǎn)，求的最大值；(3)如圖，在軸上取一點(diǎn)，拋物線沿方向平移個(gè)單位得新拋物線，新拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，線段關(guān)于線段的對(duì)稱線段所在直線交新拋物線于點(diǎn)，直線與直線所成夾角為，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解析】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，如圖所示：∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵軸，∴軸，∴，∴為直角三角形，把代入得出，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，設(shè)，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為；（3）解：∵，，∴，∵，∴，∴拋物線沿方向平移個(gè)單位時(shí)，沿x軸、y軸移動(dòng)的距離為：個(gè)單位，∵拋物線，∴拋物線沿方向平移個(gè)單位后新拋物線的解析式為：，把