高中物理競賽-話題6：碰撞與散射問題

PAGEPAGE15話題6：碰撞與散射問題一、兩體碰撞在水平面上運(yùn)動的兩個光滑小球發(fā)生碰撞時，小球之間的作用力是沖力，作用在小球上的其他力都是常規(guī)力，如重力、地面的支撐小球的力等等，一般情況下常規(guī)力可以忽略不計。碰撞分為彈性與非彈性碰撞，也可以分成正碰與斜碰，既可以在實驗室坐標(biāo)系討論，也可以在質(zhì)心坐標(biāo)系分析。二、兩體正碰正碰是是指碰撞前后兩個質(zhì)點(diǎn)的速度均在兩質(zhì)點(diǎn)的連線上的一種碰撞，參碰的兩個質(zhì)點(diǎn)都在一條直線上運(yùn)動，速度的正負(fù)號就表示了速度矢量的方向。用與表示兩個發(fā)生碰撞的物體的質(zhì)量，分別用與表示碰撞前的初速度，碰撞后的速度,是待求的量。忽略所有常規(guī)力，則動量守恒給出初、末速度的關(guān)系僅有動量守恒不能求出兩個質(zhì)點(diǎn)的末速度，還需要其他條件，按照不同的類型分別求出末速度。三、兩體正碰壓縮過程壓縮階段：兩小球接觸后，發(fā)生微小的壓縮形變，物體各部分速度不同。達(dá)到最大壓縮后，壓縮階段結(jié)束，此時物體各部分都有相同的速度，而且碰撞的兩物體速度也相等。在這一階段沖擊力的沖量稱為壓縮沖量。從開始碰撞到兩物體達(dá)到最大壓縮為壓縮階段稱為壓縮階段。四、兩體正碰恢復(fù)階段恢復(fù)階段：壓縮階段結(jié)束達(dá)到最大壓縮。如果兩物體之間，兩物體質(zhì)元之間沒有力作用兩物體不再發(fā)生形變，沒有恢復(fù)階段。如果仍然存在力的作用，存在恢復(fù)過程?；謴?fù)過程中壓縮逐漸變小，恢復(fù)過程結(jié)束時，兩物體之間，兩物體內(nèi)部各質(zhì)元之間，不再有相互作用力，物體內(nèi)部各質(zhì)元之間有相同的速度，兩物體之間不再有相互作用力，碰撞過程結(jié)束。五、彈性碰撞動量守恒能量守恒1、兩體正碰彈性碰撞機(jī)械能守恒壓縮形變是彈性形變，如同彈簧那樣，形變能完全消除。發(fā)生彈性形變時，兩物體之間作用力做功使動能減少轉(zhuǎn)化為彈性勢能。而恢復(fù)階段，相互作用力做功，彈性勢能減少，又轉(zhuǎn)化為動能，原來轉(zhuǎn)化為勢能的動能又完全恢復(fù)為動能。勢能和動能都是機(jī)械能，能完全恢復(fù)，表明只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，沒有機(jī)械能和非機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化。因此彈性碰撞機(jī)械能守恒由動量守恒與動能守恒式解得碰撞結(jié)束時粒子與粒子的速度2、討論：利用碰撞末速度表達(dá)式,當(dāng)兩個小球質(zhì)量相等，，由上式得到,表明完全彈性碰撞過程結(jié)束時，兩個小球互換速度。如果，則有,，碰撞結(jié)束靜止，而獲得速度。如果但,則有,在條件下求出,當(dāng)，則,。表明碰撞結(jié)束后速度反向，而仍然靜止。當(dāng)，則有,表明質(zhì)量很大的與靜止的質(zhì)量很小的發(fā)生彈性碰撞后，的速度不因碰撞而變化，但質(zhì)量很小的碰撞后獲得速度近似入射粒子初速度兩倍的速度。利用碰撞結(jié)束兩粒子速度表達(dá)式得到表明碰撞前后兩個粒子碰撞后的分離速度等于碰撞前的接近速度。在碰撞過程中，沒有外力作用，碰撞前后動量守恒。上式兩邊除以總質(zhì)量，得到關(guān)系這表明碰撞前后碰撞系統(tǒng)的質(zhì)心速度不變。兩個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心定義式一般寫成分量式質(zhì)心的速度由上式給出是六、兩次碰撞如圖，球與球發(fā)生正彈性碰撞，墻壁也是彈性的。如果兩個球的質(zhì)量分別是、，球的初速度為，球靜止，討論兩球只發(fā)生兩次碰撞時它們質(zhì)量滿足的關(guān)系。【分析】球與球球發(fā)生彈性碰撞，定量守恒，動能守恒。碰撞后球球會繼續(xù)與墻壁發(fā)生碰撞，然后改變方向，與球發(fā)生碰撞。這處決與球與球球的速度，也即與球球球的質(zhì)量有關(guān)。【解】按照動量、動能守恒，求出球與球球發(fā)生正彈性碰撞后的末速度分別是可見碰撞后小球球的速度為正，而小球的速度的正負(fù)或者為零與兩個小球的質(zhì)量有關(guān)系，下面分別討論。、由式知，兩個小球的速度均為正，因此第一次碰撞后兩個小球均向右運(yùn)動。且球球的速度比球的速度大，球球繼續(xù)向右與墻壁發(fā)生正碰后以左行，與以速度右行的球發(fā)生第二次碰撞。求出碰撞結(jié)束后的速度分別是因為，第二次碰撞后球球的速度仍然為正，因此球球必然右行，與墻壁發(fā)生彈性碰撞后以速度左行。如果球球不與球發(fā)生第三次碰撞，則要求球的速度。由式求出小球質(zhì)量之間滿足的條件是改寫成不僅如此，還要求左行的球球追不上球，即要求，由式，得到關(guān)系改寫為由與，得到以及利用這兩個不等式，以及我們假定的前提。我們得到兩個小球只發(fā)生兩次碰撞的條件是、設(shè)質(zhì)量完全相同的兩個小球發(fā)生彈性碰撞后交換速度。本題條件給出第一次碰撞后，球靜止，球球以速度右行，與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，以速度左行，與靜止的球發(fā)生第二此彈性碰撞，結(jié)果球球靜止，球以速度左行，此后兩球不再發(fā)生碰撞。、再討論兩球第一次碰撞后按照式，球速度為負(fù)而左行，球球右行，球球與墻壁發(fā)生碰撞后，以速度左行。要求兩個球再發(fā)生第二次碰撞，則球球的速度大于球的速度，即，按照式，即要求，或者寫成。因為，因此第二次碰撞后，球左行速度加大，球球仍然左行（不會改變右行）且速度減少(少于球左行速度）所有兩球不會發(fā)生第三次碰撞?？傊?，在條件下，兩個小球只發(fā)生兩次碰撞的條件是總結(jié)以上得到：時剛好碰撞兩次。為了使兩個小球只能碰兩次，且只能作兩次碰撞的條件是例1、兩次碰撞質(zhì)量分別為、、限制在光滑導(dǎo)槽內(nèi)運(yùn)動。其中的小球以初速度與發(fā)生碰撞。求兩者再一次發(fā)生碰撞時三個小球的速度?！窘狻坑懻撆c發(fā)生碰撞后的速度，利用得到可見，當(dāng),方向向右，當(dāng),方向向左。而的速度向右?？梢耘c發(fā)生碰撞。與發(fā)生碰撞后的速度分別是可見當(dāng),時，才能夠與右行的發(fā)生第二次碰撞。此時初條件是求出第二次碰撞后的速度七、完全非彈性碰撞動量守恒機(jī)械能不守恒1、兩體正碰完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞只有壓縮階段，沒有恢復(fù)階段。壓縮時發(fā)生朔性形變，形變時減少的動能以熱量的形式散失到外界。因為沒有恢復(fù)階段，碰撞結(jié)束后兩個物體速度相同因為沒有外力作用，動量守恒仍然成立。上式與動量守恒聯(lián)立解得共同速度完全非彈性碰撞機(jī)械能不守恒?？梢郧蟪瞿芰繐p失例2、沖擊擺。設(shè)擺長為,質(zhì)量為。在質(zhì)量為的子彈沖擊下，擺的最大偏轉(zhuǎn)角為。求子彈的速度。【解】子彈進(jìn)入擺后停止下來的過程時間很短。擺還沒有明顯的偏轉(zhuǎn)，擺線的張力與重力的合力可以看成為零（即使不為零，他們與沖擊力相比，完全可以忽略），子彈與擺組成的系統(tǒng)動量守恒。然后，子彈與擺之間的摩擦力做功，把子彈的動能轉(zhuǎn)換為熱能，這是一個完全非彈性碰撞。子彈與擺的共同速度，就是其質(zhì)心速度，動量守恒給出是子彈進(jìn)入擺后兩者獲得共同的速度，擺動過程機(jī)械能守恒。得到方程其中高度與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系利用以上三式，求出子彈入射的初速度2、兩體正碰一般碰撞介于完全彈性與完全非彈性碰撞之間的碰撞是一般碰撞。這種碰撞不是彈性碰撞那樣得到完全恢復(fù)，也不是完全非彈性碰撞那樣沒有恢復(fù)階段。這種碰撞形變是彈性的，壓縮階段轉(zhuǎn)化的動能不是全部轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能，也不是全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能。在恢復(fù)階段，轉(zhuǎn)化為彈性勢能的那部分又轉(zhuǎn)化為動能。在同樣的初條件下，這種碰撞機(jī)械能損失比完全非彈性碰撞小。設(shè)壓縮階段結(jié)束兩物體共同速度為，用表示對的沖量，則有方程消去得用表示恢復(fù)階段質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的沖量，則有消去解得由兩式得到如果，則，這是完全彈性碰撞的情況。如果(沒有恢復(fù)階段的情況完全非彈性碰撞)，此時，正是完全非彈性碰撞的結(jié)果。介于彈性與完全非彈性兩者之間的情況是定義為恢復(fù)系數(shù)。則為完全非彈性碰撞，為完全彈性碰撞，而為不完全的非彈性碰撞。利用恢復(fù)系數(shù)的定義，把寫成為聯(lián)立有關(guān)公式解得正碰時末速度為例3、如圖質(zhì)量為的小球與質(zhì)量的小球都用長為的繩子吊起來，將其中一個小球拉過偏角無初速度釋放，它撞擊另一個小球，使其產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)角度，求兩者之間的恢復(fù)系數(shù)。解：按照機(jī)械能守恒求出小球的初速度碰撞結(jié)束后小球的末速度為碰撞過程動量守恒由此得出于是按定義八、多次碰撞例4、在傾斜角為的斜面的處斜上拋一個小球，初速度為，速度的方向與斜面成角，設(shè)小球運(yùn)動位于豎直平面內(nèi)，用表示碰撞系數(shù)。如果小球在第次與斜面相碰時回到點(diǎn)，證明如果小球第次碰撞時，小球正好與斜面垂直相碰，證明：。【解】如圖，用表示小球第次與斜面相碰的點(diǎn)。并分別用,表示小球第次與斜面相碰后在與方向上的速度。小球僅受重力作用，加速度分別是,設(shè)小球由到用時間為,在此過程中小球在方向的位移為零。滿足關(guān)系求出由此求出到表所用的總時間小球在方向上的速度依次為 把代入求出由求出按題目要求，當(dāng)時， ,由得到解出這就是要證明的結(jié)果。設(shè)第次碰撞與斜面垂直，即有關(guān)系按照得到化成聯(lián)立得到九、兩體斜碰如果碰撞的兩個物體（譬如兩個小球）碰撞前兩球心速度的方向不與聯(lián)心線重合，發(fā)生的碰撞一定不是正碰，不是正碰的都稱為斜碰。發(fā)生斜碰時問題比較復(fù)雜，如果兩個小球的球心速度的方向與兩個小球的聯(lián)心線在一個平面內(nèi)則是兩維問題，不在一個平面時為三維碰撞問題。下面討論一個比較簡單的情況，分析兩個大小相同均質(zhì)光滑的小球在水平面上發(fā)生二維斜碰的問題。忽略碰撞期間小球與水平面的摩擦力，以及其它常規(guī)力及沖量。把速度在聯(lián)心線及垂直方向分解，聯(lián)心線即兩球接觸點(diǎn)的法線方向，聯(lián)心線垂直方向就是接觸點(diǎn)的切線方向如下圖所示?？梢园褍蓚€小球的初、末速度投影到這兩個方向，注意到在切線方向兩個小球沒有力的作用，則在切線方向各自保持自己的速度不變，即有關(guān)系在法線方向利用動量守恒及能量關(guān)系得到由此二式解出十、散射角入射粒子質(zhì)量,初速度,散射后速度為，靶粒子靜止，散射后速度為，稱初速度方向與末速度方向之夾角為散射角。散射是特殊的碰撞過程，入射粒子與靶粒子之間存在相互作用力(如庫侖力、萬有引力等)。散射前兩粒子距離非常大，同樣散射后兩粒子距離也非常大，可以不及相互作用力的作用。彈性碰撞，質(zhì)心速度為為常矢量動量、能量守恒給出把動量守恒方程分別在入射方向(也即質(zhì)心速度方向)、垂直方向上投影，得到待求的是末速度、或者、共個量，僅有方程是不夠的，還要給出另外的條件。對于已知作用力的時候，可以求解散射的軌道方程，來計算出散射角，再計算其他量。例5、證明：在質(zhì)心參照系中運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)與靜止質(zhì)點(diǎn)發(fā)生彈性散射后，兩者速度大小不變，僅是方向發(fā)生變化。證明：設(shè)質(zhì)心參考系的運(yùn)動速度為在質(zhì)心系中，動量關(guān)系有動能關(guān)系有（柯尼希定理）解之由此可見，、大小和方向與質(zhì)量比值有關(guān)，兩者的方向一定在同一直線上。當(dāng)然，對于每個質(zhì)點(diǎn)來說，對于地面參照系的速度大小和方向與質(zhì)量比值有關(guān)。證明:初速度為、質(zhì)量為的球射向質(zhì)量為的靜止小球，發(fā)生彈性碰撞的最大散射角滿足關(guān)系式。證明：質(zhì)心系速度為在質(zhì)心系中兩者速度大小在質(zhì)心參照系中散射后兩者速度大小不變，方向發(fā)生變化，所以后來的速度為球方向最大偏轉(zhuǎn)發(fā)生在其速度與矢徑圓相切的位置，如果，則最大散射角為。例6、個相同的小球在光滑的水平桌面上均勻地排成半圓，它們的總質(zhì)量是。另外一個質(zhì)量為的球從左邊以速度射向最邊上的小球。在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，與所有的個小球依次發(fā)生彈性碰撞，最后又徑直向左離去。在的極限下，發(fā)生上述碰撞要滿足什么條件？離開半圓的速度是多少？解：本題中，每次偏角為而質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)之間發(fā)生彈性碰撞時發(fā)生的最大偏轉(zhuǎn)角設(shè)質(zhì)心參考系的運(yùn)動速度為在質(zhì)心參照系中的入射速度大小在質(zhì)心參照系中被散射后速度大小不變，方向與原入射方向相反，所以后來的速度為例7、有三個質(zhì)量相等的質(zhì)點(diǎn)小球，與中間夾置一個被充分壓縮了的輕質(zhì)短彈簧，并用輕質(zhì)細(xì)線縛在一起(可視為一個小物體)，靜止地放置在光滑水平面上．另一個小球沿該光滑水平面射向它們．和相碰撞并粘連在一起運(yùn)動．后輕質(zhì)細(xì)線自動崩斷，使彈簧釋放，三個質(zhì)點(diǎn)小球分成兩部分：一部分為小球，另一部分為粘在一起的．已知彈簧被充分壓縮時的彈性勢能是.為了使被釋放出的