【數(shù)學】第八章立體幾何全章復習講義-2023-2024學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第八章立體幾何初步立體幾何初步全章復習第一部分多面體的認識知識點一柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱：幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。2、棱錐：幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。3、棱臺：幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點4、圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。5、圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。6、圓臺：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點③側(cè)面展開圖是一個弓形。7、球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。典例1、如圖所示，觀察下面四個幾何體，其中判斷正確的是()A.（1）是圓臺B.（2）是圓臺 C.（3）是圓錐 D.（4）是圓臺隨堂練習：下列說法正確的是()A.圓錐的底面是圓面，側(cè)面是曲面B.用一張扇形的紙片可以卷成一個圓錐C.一個物體上、下兩個面是相等的圓面，那么它一定是一個圓柱D.圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交也可能不相交典例2、下列平面圖形中，通過圍繞定直線l旋轉(zhuǎn)可得到如圖所示幾何體的是()A.B.C. D.隨堂練習：如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是()A.該幾何體是由2個同底的四棱錐組成的幾何體B.該幾何體有12條棱、6個頂點C.該幾何體有8個面，并且各面均為三角形D.該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余各面均為三角形典例3、下列說法中正確的個數(shù)是()①由五個面圍成的多面體只能是三棱柱；②由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體；③僅有一組對面平行的五面體是棱臺；④有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.A.0 B.1 C.2 D.3隨堂練習：（多選）下列說法正確的是()A.多面體至少有四個面 B.平行六面體六個面都是平行四邊形C.長方體,正方體都是正四棱柱 D.棱臺的側(cè)面都是梯形知識點二空間幾何體的直觀圖1、斜二測畫法的基本步驟：①建立適當直角坐標系（盡可能使更多的點在坐標軸上）②建立斜坐標系，使=450（或1350）③畫對應(yīng)圖形：在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄坏淅?、下列說法正確的是()A.相等的角在直觀圖中仍然相等B.相等的線段在直觀圖中仍然相等C.正方形的直觀圖是正方形D.若兩條線段平行,則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行隨堂練習：如圖所示一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是()A. B. C. D.2、直觀圖與原圖形的面積關(guān)系：典例5、如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（）A． B． C． D．隨堂練習：1、如圖，的斜二側(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為()A.2 B.4C. D.2、已知水平放置的按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，求原的面積。

第二部分多面體的表面積和體積知識點一棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積幾何體側(cè)面積說明棱柱＝ChC為棱柱的底面周長，h為棱柱的高棱錐=C為棱錐的底面周長，h為棱錐的斜高棱臺＝EQ\F(1,2)(c+)hc,分別為棱臺的上、下底面周長，h為棱臺的斜高幾何體表面積說明棱柱＝Ch+2sC為棱柱的底面周長，h為棱柱的高,S為棱柱的底面積棱錐=+SC為棱錐的底面周長，h為棱錐的斜高，S為棱錐的底面積棱臺＝EQ\F(1,2)(c+)h+S+c,分別為棱臺的上、下底面周長，h為棱臺的斜高S，分別為棱臺的上、下底面面積正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐。、總結(jié)：1、將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開分別是平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積.2、棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和.典例1、棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9B．1∶8C.1:6D.1:5典例2、若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)隨堂練習：如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．知識點二圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)總結(jié)：對圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積與表面積的求解1、求圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積或表面積時，可直接使用公式.但圓臺的表面積公式比較復雜，不要求記憶，因此，表面積的求解方法是最重要的.2、在計算圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積時，應(yīng)根據(jù)條件計算以上旋轉(zhuǎn)體的母線長和底面圓的半徑長.3、這些公式的推導方法向我們提示了立體幾何問題的解題思路，那就是主要通過空間觀念等有關(guān)知識，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.4、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間的關(guān)系S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl.典例3、如圖所示,該幾何體是一棱長為4cm的正方體,若在其中一個面的中心位置上,挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形洞,則挖洞后幾何體的表面積是cm2.(π取3.14)隨堂練習：已知圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°,求圓臺的表面積.知識點三棱柱、棱錐、棱臺的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺V棱臺＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高總結(jié)：1、等底、等高的兩個棱柱的體積相同.2、等底、等高的棱錐和棱柱的體積之間的關(guān)系：等底、等高棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.3、柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V＝eq\f(1,3)Sh.4、求棱臺的體積可轉(zhuǎn)化為求棱錐的體積.根據(jù)棱臺的定義進行“補形”，還原為棱錐，采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積.典例4、已知高為3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1－ABC的體積為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)隨堂練習：1、如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)隨堂練習：2、如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為.典例5、四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為z，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)隨堂練習：正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面面積為780cm2．求其體積.知識點四圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積說明圓柱V圓柱＝Sh＝πr2h圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺V圓臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h總結(jié)：1、等底、等高的兩個圓柱的體積相同.2、等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實驗得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍.3、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間的關(guān)系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V＝eq\f(1,3)Sh.4、求圓臺的體積轉(zhuǎn)化為求圓錐的體積.根據(jù)臺體的定義進行“補形”，還原為圓錐，采用“大圓錐”減去“小圓錐”的方法求圓臺的體積.典例6、若一飛行昆蟲被長為12cm的細繩綁在房間兩垂直墻面與天花板形成的交點處,則飛行昆蟲活動范圍的體積為 ()A.144πcm3 B.288πcm3C.576πcm3 D.864πcm3隨堂練習：如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于()A.πB.2π C.4π D.8π典例7、將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為()A.6cm B.6cmC.2cmD.3cm隨堂練習：如圖所示,一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱.(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積.(2)當x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大?最大是多少?知識點五球的表面積和體積.1、球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑).2、球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.總結(jié)：1、從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù).2、利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.典例8、球的體積是eq\f(32π,3)，則此球的表面積是()A．12πB．16πC．eq\f(16π,3)D．eq\f(64π,3)典例9、一平面截一球得到直徑為2eq\r(5)cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是()A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3D．108πcm3隨堂練習：一球與棱長為2的正方體的各個面相切，則該球的體積為是多少？第三部分空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識點一、平面的概念1、概念：幾何里所說的“平面”是從生活中的物體中抽象出來的，是無限延展的．2、平面的畫法：①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖a.②如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖b.3、表示法：可以用希臘字母α，β，γ等來表示；用兩個大寫的英文字母(表示平面的平行四邊形的相對的頂點)來表示；用四個大寫的英文字母(表示平面的平行四邊形的四個頂點)來表示典例1、如圖所示，用符號語言可表示為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，知識拓展：平面概念的理解及特點1、平面是一個只描述而不定義的原始概念，它是由平時生活中常見的平面抽象出來的，是理想的，是無限延展的，是無厚薄、大小的．2、要注意平面具有如下特點：①平面是平的；②平面是沒有厚度的；③平面是無限延展而沒有邊界的；④平面是由空間的點、線組成的無限集合；⑤平面圖形是空間圖形的重要組成部分．典例2、下列命題：①書桌面是平面；②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；③有一個平面的長是50m，寬為20m；④平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為________．(2)下圖中的兩個相交平面，其中畫法正確的是________．隨堂練習：下列四種說法正確的是________．①平面的形狀是平行四邊形；②任何一個平面圖形都可以表示平面；③平面ABCD的面積為100cm2；④空間圖形中，后作的輔助線都是虛線．知識點二平面的基本性質(zhì)1、公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)；符號語言表述：，，，；圖形語言表述：注：公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點都在平面內(nèi)”．2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；符號語言表述：、、三點不共線有且只有一個平面，使得，，；圖形語言表述：注：公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點”這一條件．“有且只有一個”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個”說明“唯一”，所以“有且只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．公理2的推論：①過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②過兩條相交直線，有且只有一個平面；③過兩條平行直線，有且只有一個平面.3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；符號語言表述：且；圖形語言表述：注：公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上的依據(jù).典例3、下列命題中正確的是（）A．過三點確定一個圓B．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形隨堂練習：以下說法中，正確的個數(shù)是（）①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；③首尾依次相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3典例4、下列說法中正確的是（）A．空間三點可以確定一個平面B．梯形一定是平面圖形C．若A，B，C，D既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合D．兩組對邊都相等的四邊形是平面圖形隨堂練習：下列命題正確的是（）①三點確定一個平面；②圓上三點確定一個平面；③圓心與圓上的兩點確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面A．①② B．②③ C．②④ D．③④典例5、三個平面可以把空間分成n個部分，在下列選項中，n的值正確的有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個2、證明三線共點問題(1)證明三線共點常用的方法:先證明兩條直線相交于一點,然后證明這個點在兩個平面內(nèi),第三條線是這兩個平面的交線,于是該點在第三條直線上,從而得到三線共點.也可以先證明a,b相交于一點A,b與c相交于一點B,再證明A,B是同一點,從而得到a,b,c三線共點.(2)類比線共點的證明方法,可得到三點共線的證明方法:①首先找出兩個平面的交線,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)公理3,可推知這些點都在交線上,即三點共線.②選擇其中兩點確定一條直線,然后證明第三個點也在這條直線上.典例5、如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點．典例6、如圖，在三棱錐中，分別是的中點，點在上，點在上，且有.試判定直線的位置關(guān)系.隨堂練習：如圖，四面體A－BCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求證：EF，GH，BD交于一點．3、線共面問題(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．(2)重合法：即先證明一些元素在一個平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個平面內(nèi)，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內(nèi)．典例7、證明：空間不共點且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi)．隨堂練習、已知直線b∥c，且直線a與b，c都相交，求證：直線a，b，c共面．知識點三直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點典例8、如圖所示，用符號語言可表述為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，隨堂練習：如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是（）A．B．C． D．典例9、（多選）下列說法正確的是（）A．三點確定一個平面B．三角形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．四邊形一定是平面圖形隨堂練習：如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a與b的位置關(guān)系可能是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直典例10、如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且.求證：三條直線、、交于一點.隨堂練習：如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，求證：點P在直線DE上.3、證明兩條直線平行及角相等的方法(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；②利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)由公理4可以想到，平面幾何中的有些結(jié)論推廣到空間仍然是成立的，但有些平面幾何的結(jié)論推廣到空間是錯誤的．因此，要把平面幾何中的結(jié)論推廣到空間，必須先經(jīng)過證明．(3)空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．典例11、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.隨堂練習：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.4、求兩條異面直線所成角的方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．注：平移直線得出的角不一定恰好是所求角，因此要說明此角是異面直線所成的角或是其補角．典例12、在正方體中，則異面直線AC與的所成角為（）A． B． C． D．隨堂練習：在四面體中，且，、分別為、的中點，那么異面直線與所成的角等于（）．A．B．C． D．典例13、如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF和AB所成的角．隨堂練習：在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成的角的大?。R點四直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示典例14、空間四邊形的對角線分別為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B． C． D．1隨堂練習：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是_______；（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．知識點五平面與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點，這些點在一條直線上1、平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行.符號：典例15、在四棱臺中，平面與平面的位置關(guān)系是（）A．相交B．平行C．不確定D．異面隨堂練習：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，B1C1的中點.求證:平面ACC1A1與平面BEF相交.第四部分直線和平面的平行知識點一直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號：注：1、利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．2、證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平行公理等．典例1、能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b2、證明線面平行的方法、步驟(1)利用判定定理判斷或證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面α內(nèi)找一條直線b和已知直線a平行．即要證直線a與平面α平行，先證直線a與直線b平行．即由立體向平面轉(zhuǎn)化．(2)證明線面平行的一般步驟：①在平面內(nèi)找一條直線；②證明線線平行；③由判定定理得出結(jié)論．(3)在與中點有關(guān)的平行問題中，?？紤]中位線定理．典例2、如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，E是PC的中點．求證：PA∥平面BDE.隨堂練習：如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB).求證：MN∥平面SBC.3、直線與平面平行的綜合問題的解題策略直線與平面平行的判定定理應(yīng)用廣泛，常與三視圖、棱柱、棱錐等知識綜合設(shè)計題目，有時也會與翻折問題綜合，其解決方法一般是先確定直觀圖，再利用直觀圖中的線線平行去證線面平行．典例3、一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示，M，N分別是A1B，B1C1的中點．求證：MN∥平面ACC1A1.典例4、如下圖(1)，在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF與平面ABCD相交，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如下圖(2)．求證：BE∥平面ADF.隨堂練習：如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：A1B1平面DEC1.知識點二直線和平面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行.符號:知識拓展：利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟典例5、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1A1.典例6、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.隨堂練習：如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．知識點三平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行.符號：典例7、如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC//AB，求證：平面PAB//平面EFG.2、線線平行、線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化(1)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．此即為面面平行判定定理的推論產(chǎn)生的依據(jù)．(2)在轉(zhuǎn)化為線面平行證面面平行時，首先觀察面內(nèi)已有的直線是否平行，若不平行，再利用條件有針對性地構(gòu)造平面找出平行直線．例8、已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：平面BDF∥平面B1D1E.隨堂練習：如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.3、三角形重心性質(zhì)在解題中的應(yīng)用(1)要證明平面MNG∥平面ACD，主要是充分利用三角形重心的性質(zhì)找出與平面平行的直線．(2)求兩個三角形的面積比，實質(zhì)是求兩個三角形對應(yīng)邊的平方比．典例9、如圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△DCA.隨堂練習：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD1B1.2、平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，則線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；典例10四面體如圖所示，過棱的中點作平行于，的平面，分別交四面體的棱于點．證明：四邊形是平行四邊形．隨堂練習：如圖，在三棱錐中，，，分別是，，的中點．是上一點，連接，是與的交點，連接，求證：．3、線面、面面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例11、如圖所示，矩形和矩形中，，點M，N分別位于上，且，矩形可沿任意翻折．（1）求證：當F，A，D不共線時，線段總平行于平面．（2）“不管怎樣翻折矩形，線段總和線段平行，”這個結(jié)論對嗎？如果對，請證明；如果不對，請說明能否改變個別已知條件使上述結(jié)論成立．典例12、如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H.隨堂練習：如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，分別為，的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．第五部分直線和平面的垂直知識點一直線與平面垂直判斷⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。簡記為：線線垂直，則線面垂直.符號：性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行。符號：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．符號語言：a∥b,a⊥α，?b⊥α典例1、線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．在平面α內(nèi)D．無法確定隨堂練習：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，不能保證該直線與平面垂直的是____(填序號)．①平行四邊形的兩條對角線；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．典例2、如圖所示，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A,B的任意一點，A1A=AB=2.求證:BC⊥平面A1AC．隨堂練習：如圖所示，是邊長為的正六邊形所在平面外一點，，在平面內(nèi)的射影為的中點.證明.知識點二直線與平面垂直的性質(zhì)定理1、基本性質(zhì)文字語言：一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.符號語言：圖形語言：2、性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：圖形語言：典例3、如圖所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈平面α，AB⊥l，垂足為B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，則AC＝________.隨堂練習：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD相交于O，A1C1與B1D1相交于O1，則OO1與平面A1B1C1D1的位置關(guān)系是________．知識點三平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。⑵判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直簡記為：線面面垂直，則面面垂直.符號：推論：如果一個平面平行于另一個平面的一條垂線，則這個平面與另一個平面垂直。典例4、如圖，空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么圖中互相垂直的平面有________．隨堂練習：在二面角α－l－β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，則必須具有的條件是()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β典例5、已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點．求證:平面⊥平面.知識拓展：1、確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．2．求二面角大小的步驟(1)找出這個平面角；(2)證明這個角是二面角的平面角；(3)作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大?。淅?、四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)．隨堂練習：如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。?、用定義證明兩個平面垂直的步驟利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直，判定的方法是：①找出兩個相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個平面互相垂直．典例7、如圖所示，在四面體A－BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.隨堂練習：如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.證明：平面AEC⊥平面AFC.4、證明面面垂直的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”．(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．典例8、如圖所示，在四面體A－BCD中，CB＝CD，AD⊥BD.且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．求證：(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.隨堂練習：如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB.5、折疊問題：即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．典例9、如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E為BC的中點，把△ABE和△CDE分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P.(1)求證：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大?。S堂練習：如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.知識點四平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。簡記為：面面垂直，則線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線