2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式恒能成立考點(diǎn)3雙變量的恒能成立問(wèn)題

雙變量的恒(能)成立問(wèn)題[解析](1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價(jià)于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3))).令g′(x)>0得x<0或x>eq\f(2,3)，令g′(x)<0得0<x<eq\f(2,3)，又x∈[0,2]，所以g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq\f(85,27)，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝eq\f(112,27)≥M，則滿足條件的最大整數(shù)M＝4.(2)對(duì)于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，等價(jià)于在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，函數(shù)f(x)min≥g(x)max，由(1)可知在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，g(x)的最大值為g(2)＝1.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx≥1恒成立等價(jià)于a≥x－x2lnx恒成立．設(shè)h(x)＝x－x2lnx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，h′(x)＝1－2xlnx－x，令m(x)＝xlnx，由m′(x)＝lnx＋1>0得x>eq\f(1,e).即m(x)＝xlnx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調(diào)遞增，可知h′(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是減函數(shù)，又h′(1)＝0，所以當(dāng)1<x<2時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)eq\f(1,2)<x<1時(shí)，h′(x)>0.即函數(shù)h(x)＝x－x2lnx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．名師點(diǎn)撥：“雙變量”的恒(能)成立問(wèn)題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見(jiàn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換有：(1)?x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex＋1＋mx2，當(dāng)0<m≤6時(shí)，g(x)＝x3－eq\f(4,x)－mx，x∈(0,2]．若存在x1∈R，x2∈(0,2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]x∈(－∞，＋∞)且f′(x)＝ex＋1＋(x－1)·ex＋1＋2mx＝x(ex＋1＋2m)，當(dāng)m>0時(shí)，因?yàn)閑x＋1>0，所以ex＋1＋2m>0，所以當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(0)＝－e.又g′(x)＝3x2＋eq\f(4,x2)－m≥4eq\r(3)－m，因?yàn)?<m≤6，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0,2]上為增函數(shù)．所以g(x)max＝g(2)＝8－2－2m＝6－2m.依題意有f(x1)min