北京農(nóng)十二師高級中學高三數(shù)學理期末試題含解析

北京農(nóng)十二師高級中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列中，

，那么的值是：（

）

A．12

B．24

C．16

D．48參考答案：答案：B2.已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則＝(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.正△ABC的邊長為1，則（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先化簡，再利用平面向量的數(shù)量積公式計算得解.【詳解】解：∵正△ABC的邊長為1，∴.故選：B．【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.設（是虛數(shù)單位），則

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.己知函數(shù)的圖像關于直線對稱，它

的周期為，則

A.的圖像過

B.在上是減函數(shù)

C.的一個對稱中心是

D．將的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像參考答案：C略6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為（[x]表示不超過×的最大整數(shù)）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9參考答案：C7.若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+2分成面積相等的兩部分，則k的值為(

) A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據(jù)直線將平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，得到直線過AB的中點，求出相應的坐標即可得到k的值．解答： 解：作出不等式組對應平面區(qū)如圖（三角形ABC部分），B（0，5），∵直線y=kx+2過定點C（0，2），∴C點在平面區(qū)域ABC內(nèi)，要使直線y=kx+2將可行域分成面積相等的兩部分，則直線y=kx+2必過線段AB的中點D．由，解得（，），即A（，），∴AB的中點D（，），將D的坐標代入直線y=kx+2得=k+2，解得k=1，故選：A點評：本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域以及三角形的面積的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．8.等差數(shù)列的前n項和為，若，則等于（

）

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56

58參考答案：A9.已知實數(shù)滿足：，，則的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：畫出約束條件限定的可行域為如圖陰影區(qū)域，令，則，先畫出直線，再平移直線，當經(jīng)過點，時，代入，可知，∴，故選．10.設函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)：,取函數(shù)，若對任意的，恒有，則A.k的最大值為2 B.k的最小值為2

C.k的最大值為1 D.k的最小值為1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，AB=2，AC=3，，則BC=___________________參考答案：c=2b=3

注意；

注意正負號 夾角是

夾角是

夾角是12.給出下列四個命題：①命題“”的否定是“”；②a、b、c是空間中的三條直線，a//b的充要條件是；③命題“在△ABC中，若”的逆命題為假命題；④對任意實數(shù).其中的真命題是

▲

.（寫出所有真命題的編號）參考答案：13.向量a、b是單位正交基底,c=xa+yb,x,y∈R,(a+2b)c=-4,(2a-b)c=7,則x+y=______________.參考答案：-1略14.函數(shù)的最大值是

參考答案：15.已知單位向量_______.參考答案：3

解得16.若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是參考答案：解：因為，對任意恒成立，所以有17.方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是

▲

．參考答案：或0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.（文）某種型號汽車的四個輪胎半徑相同，均為，該車的底盤與輪胎中心在同一水平面上.該車的涉水安全要求是：水面不能超過它的底盤高度.如圖所示：某處有一“坑形”地面，其中坑形成頂角為的等腰三角形，且，如果地面上有()高的積水(此時坑內(nèi)全是水，其它因素忽略不計).(1)

當輪胎與、同時接觸時，求證：此輪胎露在水面外的高度(從輪胎最上部到水面的距離)為；(2)假定該汽車能順利通過這個坑(指汽車在過此坑時，符合涉水安全要求)，求的最大值.

(精確到1cm).參考答案：解：(1)當輪胎與AB、BC同時接觸時，設輪胎與AB邊的切點為T，輪胎中心為O，則|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600，

…………………..2分故|OB|=.

.……………………..4分

所以，從B點到輪胎最上部的距離為+40，……..6分此輪胎露在水面外的高度為d=+40-(+h)=，得證.

…..8分(2)只要d40，

…………..12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值為16cm.

…..14分19.已知函數(shù)f（x）=ax2+bx．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=3處的切線與直線24x﹣y+1=0平行，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；（Ⅱ）若a=1，且函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f'（1）=0，f'（3）=24確定函數(shù)的解析式，然后令f'（x）＜0求單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）把a=1代入函數(shù)f（x）后對函數(shù)進行求導，由題意可得f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立，分離參數(shù)b得答案．【解答】解：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b，又函數(shù)f（x）圖象在點x=3處的切線與直線24x﹣y+1=0平行，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3，∴f（x）=x3﹣3x．令f′（x）=3x2﹣3≤0，得﹣1≤x≤1，∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[﹣1，1]（Ⅱ）當a=1時，f（x）=x3+bx（x∈R），又函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是減函數(shù)，∴f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立．即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立，∴b≤﹣3．20.如圖，點A是以線段BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點E，點G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．（1）求證：BF=EF；（2）求證：PA是圓O的切線．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段；圓的切線的判定定理的證明．【分析】（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線．【解答】證明：（1）∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中點，即DG=AG．∴BF=EF．（2）連接AO，AB．∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圓O的切線，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圓的切線判定定理，得PA是圓O的切線．21.袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.（I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率；（II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù)，記此時紅球的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望E.參考答案：解：解:（Ⅰ）摸出的2個小球為異色球的種數(shù)為從8個球中摸出2個小球的種數(shù)為故所求概率為

（Ⅱ）符合條件的摸法包括以下三種：一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球，

共有種

一種是有2個紅球，1個其它顏色球，共有種，

一種是所摸得的3小球均為紅球，共有種不同摸法，

故符合條件的不同摸法共有種.

由題意知，隨機變量的取值為，，.其分布列為：123

略22.設函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|（I）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；（II）若關于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】帶絕對值的函數(shù)．【分析】（I）先將原函數(shù)式可化為一個分段函數(shù)的形式，再分段畫出函數(shù)在各段上的圖象即得原函數(shù)的圖象．（II）關于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解等價于：（f（x）+4）max≥|1﹣2m|，再根據(jù)分段函數(shù)的圖象