幾何概率公理化定義

關(guān)于幾何概率公理化定義

把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法

——幾何方法.

概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn),但它也有明顯的局限性.要求樣本點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè),概率的古典定義就不適用了.第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天一、幾何概率定義1.4

第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定義1.5

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

幾何概型的概率的性質(zhì)(1)對任一事件A,有第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

那末

兩人會面的充要條件為例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天蒲豐投針試驗(yàn)例2

1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針,試求針與任一平行直線相交的概率.解蒲豐資料第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問題.第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時(shí)間試驗(yàn)者第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天利用蒙特卡羅(Monte-Carlo)法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu),給出了概率的嚴(yán)格定義,使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的公理化定義與性質(zhì)柯爾莫哥洛夫資料第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天概率的可列可加性1.概率的定義1.7第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明由概率的可列可加性得2.性質(zhì)第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

ABAB第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例3

在1~100的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天于是所求概率為第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天2.最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型

古典概率

幾何概型試驗(yàn)結(jié)果連續(xù)無窮三、小結(jié)1.頻率(波動)概率(穩(wěn)定).第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天3.概率的主要性質(zhì)第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例2

甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車,又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車它們的開車時(shí)刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的,且每人在1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的.第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,則有解第31頁,共34頁，2024年2月25日，星期天Born:25April1903inTambov,Tambov

province,Russia

Died:20Oct1987inMoscow,Russia柯爾莫哥洛夫資料AndreyNikolaevichKolmogorov第32頁,共34頁，2024年2月25日，星期天蒲豐資料Born:7Sept1707inMontbard,C?ted'Or,Fr