任意角的三角比定義

關(guān)于任意角的三角比定義初中銳角三角函數(shù)定義(正弦，余弦，正切)

思考

角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x任意角

的三角函數(shù)呢？

AB鄰邊

斜邊對(duì)邊C復(fù)習(xí)第2頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

任意角三角函數(shù)的定義

已知

是任意角，P(x，y)，P'

(x'，y')是角

的終邊與兩個(gè)半徑不同的同心圓的交點(diǎn)，

則由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得由于點(diǎn)

P，P

在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此得P'PyxOx'y'r'yxr新授第3頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

所以當(dāng)角

不變時(shí)，不論點(diǎn)P在角

的終邊上的位置如何，這三個(gè)比值都是定值，只依賴于

的大小，與點(diǎn)P在角

終邊上的位置無(wú)關(guān).新授第4頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)角

的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)

P到原點(diǎn)的距離為

r.

于是我們有如下定義：比值叫做角

的余弦.記作cos

比值叫做角

的正弦.記作sin

比值叫做角

的正切.記作tan

新授第5頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角

，都分別有唯一確定的三角函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以這三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系都是以角

為自變量的函數(shù)，分別稱作角

的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)．新授第6頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天計(jì)算三角函數(shù)值的步驟：S1

畫(huà)角在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角

；S2

找點(diǎn)在角的終邊上任找一點(diǎn)P，使

OP

＝1，并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；S3求值根據(jù)三角函數(shù)定義，求出角

的三角函數(shù)值．

三角函數(shù)求值新授第7頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

已知角

終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-3）如圖，求角

的三個(gè)三角函數(shù)值．OyxP（2，-3）解已知點(diǎn)P（2，-3），則例題講解第8頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)．解由三角函數(shù)的定義可知，sin

＝，角

終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的正、負(fù)與角

的正弦值同號(hào)；cos

＝，角

終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的正、負(fù)與角

的余弦值同號(hào)；tan

＝，則當(dāng)x與y同號(hào)時(shí)，正切值為正，當(dāng)x與y異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)．例題講解第9頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天記憶口訣：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦xyoxyoxyo三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示：

新授第10頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)因?yàn)?30

是第二象限角，所以cos130

＜0.練習(xí)1確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)

；(2)cos130

；

(3)

(3)因?yàn)槭堑谌笙藿?，?1)因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?/p>

所以＞0.所以＜0.例題講解第11頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：(1)sin67.5

，cos372

，tan(－86

)；(2)sin1.2，cos，tan．例題講解第12頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓稱為單位圓.2.如圖，角

的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)x，

y分別為cos

和sin

，即P(

cos

,sin

).O

M

x

A(1,0)y1

P由于cos

＝x＝OM；

sin

＝y(tǒng)＝MP，于是我們把規(guī)定了方向的線段OM稱作角

的余弦線，MP稱作角

的正弦線.

單位圓與三角函數(shù)線(cos

,sin

)新授第13頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)2（1）

在單位圓中作出下列各角的正弦線、余弦線．

（1）；（2）．yxOyxOPMPM新授第14頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天如何畫(huà)正切線？yxOATT'所以

AT(AT')稱作角

的正切線．新授附注

通過(guò)單位圓研究三角函數(shù)的幾何演示過(guò)程可在主界面單擊“單位圓研究三角函數(shù).gsp”文件觀看.第15頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)2（2）在單位圓中作出下列各角的正切線．

（1）；（2）．yxOyxOMMTATA新授第16頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：1．任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）．2．任意角三角