二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和分類(lèi)試題

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和分類(lèi)試題【精華篇】二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線(xiàn)的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線(xiàn)與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向，的大小決定開(kāi)口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．⑴在的前提下，當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置．的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說(shuō)就是“左同右異”總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是．5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式．十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離.②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有．2.拋物線(xiàn)的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，；3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線(xiàn)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線(xiàn)與軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考：

十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則的值是綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類(lèi)型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，求這條拋物線(xiàn)的解析式?？疾橛门浞椒ㄇ髵佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線(xiàn)（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－eq\f(3,2)（1）確定拋物線(xiàn)的解析式；（2）用配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專(zhuān)項(xiàng)壓軸題。【例題經(jīng)典】由拋物線(xiàn)的位置確定系數(shù)的符號(hào)例1（1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(1)(2)【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線(xiàn)的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方．下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)答案：D會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C例4、（2006年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線(xiàn)L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合．設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．（1）寫(xiě)出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸.例5、已知拋物線(xiàn)y=x2+x-．（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸．（2）若該拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題（1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，10)，交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿(mǎn)足3AO=OB．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．(1)解：如圖∵拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，O)，則x1·x2=3<0，又∵x1<x2，∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．∴點(diǎn)A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2b=3∴．二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6．(2)存在點(diǎn)M使∠MC0<∠ACO．(2)解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’(1，O)，∴直線(xiàn)A，C解析式為y=6x-6直線(xiàn)A'C與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5．當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足-1<x<O或O<x<5時(shí)，∠MCO>∠ACO．例7、“已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，－2），求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程，并畫(huà)出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。[解答]（1）根據(jù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，－2），圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3，得解得所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+”或“拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是令x=3代入解析式，得所以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為所以也可以填拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過(guò)不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過(guò)程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例1已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)．（1）求出日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40．（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225元．【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn)．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B分類(lèi)試題二次函數(shù)的定義（考點(diǎn)：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式）1、下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是.①y=x2－4x+1；②y=2x2； ③y=2x2+4x； ④y=－3x；⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y=EQ\F(4,x)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。； ⑧y=－5x。2、在一定條件下，若物體運(yùn)動(dòng)的路程s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系式為s=5t2+2t，則t＝4秒時(shí)，該物體所經(jīng)過(guò)的路程為。3、若函數(shù)y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍為。4、若函數(shù)y=(m－2)xm－2+5x+1是關(guān)于的二次函數(shù)，則m的值為。6、已知函數(shù)y=(m－1)xm2+1+5x－3是二次函數(shù)，求m的值。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、最值（技法：如果解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，則最值為k；如果解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c則最值為EQ\F(4ac-b2,4a)1．拋物線(xiàn)y=2x2+4x+m2－m經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則m的值為。2．拋物y=x2+bx+c線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則b＝，c＝.3．拋物線(xiàn)y＝x2＋3x的頂點(diǎn)在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4．若拋物線(xiàn)y＝ax2－6x經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，則拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為() A. B. C.D.5．若直線(xiàn)y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)二、四象限，則拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c() A.開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是y軸B.開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是y軸C.開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸D.開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸6．已知拋物線(xiàn)y＝x2＋(m－1)x－EQ\F(1,4)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則m的值是_.7．拋物線(xiàn)y=x2+2x－3的對(duì)稱(chēng)軸是。8．若二次函數(shù)y=3x2+mx－3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，則m＝。9．當(dāng)n＝______，m＝______時(shí)，函數(shù)y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的圖象是拋物線(xiàn)，且其頂點(diǎn)在原點(diǎn)，此拋物線(xiàn)的開(kāi)口________.10．已知二次函數(shù)y=x2－2ax+2a+3，當(dāng)a=時(shí)，該函數(shù)y的最小值為0.11．已知二次函數(shù)y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m＝______。12．已知二次函數(shù)y=x2－4x+m－3的最小值為3，則m＝。函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)1．拋物線(xiàn)y=x2+4x+9的對(duì)稱(chēng)軸是。2．拋物線(xiàn)y=2x2－12x+25的開(kāi)口方向是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是。3．試寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－2，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）的拋物線(xiàn)的解析式。4．通過(guò)配方，寫(xiě)出下列函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1）y=EQ\F(1,2)x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－EQ\F(1,4)x2+x－45．把拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，在向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式是y=x2－3x+5，試求b、c的值。6．把拋物線(xiàn)y=－2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，問(wèn)所得的拋物線(xiàn)有沒(méi)有最大值，若有，求出該最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由。7．某商場(chǎng)以每臺(tái)2500元進(jìn)口一批彩電。如每臺(tái)售價(jià)定為2700元，可賣(mài)出400臺(tái)，以每100元為一個(gè)價(jià)格單位，若將每臺(tái)提高一個(gè)單位價(jià)格，則會(huì)少賣(mài)出50臺(tái)，那么每臺(tái)定價(jià)為多少元即可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？函數(shù)y=a(x－h(huán))2的圖象與性質(zhì)1．填表：拋物線(xiàn)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2．已知函數(shù)y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。（1）分別說(shuō)出各個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。（2）分析分別通過(guò)怎樣的平移?？梢杂蓲佄锞€(xiàn)y=2x2得到拋物線(xiàn)y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？3．試寫(xiě)出拋物線(xiàn)y=3x2經(jīng)過(guò)下列平移后得到的拋物線(xiàn)的解析式并寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。（1）右移2個(gè)單位；（2）左移EQ\F(2,3)個(gè)單位；（3）先左移1個(gè)單位，再右移4個(gè)單位。4．試說(shuō)明函數(shù)y=EQ\F(1,2)(x－3)2的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)（開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值）。5．二次函數(shù)y=a(x－h(huán))2的圖象如圖：已知a=EQ\F(1,2)，OA＝OC，試求該拋物線(xiàn)的解析式。二次函數(shù)的增減性1.二次函數(shù)y=3x2－6x+5，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而；當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最值是。2.已知函數(shù)y=4x2－mx+5，當(dāng)x>－2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x<－2時(shí)，y隨x的增大而減少；則x＝1時(shí),y的值為。3.已知二次函數(shù)y=x2－(m+1)x+1，當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是.4.已知二次函數(shù)y=－EQ\F(1,2)x2+3x+EQ\F(5,2)的圖象上有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，則y1,y2,y3的大小關(guān)系為.二次函數(shù)的平移技法：只要兩個(gè)函數(shù)的a相同，就可以通過(guò)平移重合。將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，平移規(guī)律：左加右減，對(duì)x；上加下減，直接加減6.拋物線(xiàn)y=－EQ\F(3,2)x2向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)的關(guān)系式為。7.拋物線(xiàn)y=2x2，，可以得到y(tǒng)=2(x+4}2－3。8.將拋物線(xiàn)y=x2+1向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)的關(guān)系式為。9.如果將拋物線(xiàn)y=2x2－1的圖象向右平移3個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)的關(guān)系式為。10.將拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=2x2－4x－1則a＝，b＝，c＝.11.將拋物線(xiàn)y＝ax2向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，移動(dòng)后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－1)，那么移動(dòng)后的拋物線(xiàn)的關(guān)系式為_(kāi).函數(shù)的交點(diǎn)11.拋物線(xiàn)y=x2+7x+3與直線(xiàn)y=2x+9的交點(diǎn)坐標(biāo)為。12.直線(xiàn)y=7x+1與拋物線(xiàn)y=x2+3x+5的圖象有個(gè)交點(diǎn)。函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)13.拋物線(xiàn)y=2x2－4x關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的關(guān)系式為。14.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)為y=2x2－4x+3，則a=b=c=函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系1.已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號(hào)為（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象2如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（） A．a(chǎn)+b+c>0 B．b>-2a C．a(chǎn)-b+c>0 D．c<03.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖3，有以下結(jié)論：①c>0；②a+b+c>0 ③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0；其中正確的為（）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤4.當(dāng)b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）5.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是圖所示的()6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有() A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)7.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2+c與y=EQ\F(c,x)(a<c)圖象可能是圖所示的()ABCD8.反比例函數(shù)y=EQ\F(k,x)的圖象在一、三象限，則二次函數(shù)y＝kx2-k2x-1c的圖象大致為圖中的（）ABCD9.反比例函數(shù)y=EQ\F(k,x)中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y＝kx2+2kx的圖象大致為圖中的（）ABCD10.已知拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a，b同號(hào)； ②當(dāng)x＝1和x＝3時(shí)，函數(shù)值相同； ③4a＋b＝0; ④當(dāng)y＝－2時(shí)，x的值只能取0； 其中正確的個(gè)數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．411.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)一、三、四象限（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第二象限）則直線(xiàn)y＝ax＋bc不經(jīng)過(guò)（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）如果二次函數(shù)y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c＝（寫(xiě)一個(gè)即可）二次函數(shù)y＝x2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為拋物線(xiàn)y＝－3x2＋2x－1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.沒(méi)有交點(diǎn)B.只有一個(gè)交點(diǎn)C.有兩個(gè)交點(diǎn)D.有三個(gè)交點(diǎn)如圖所示，二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則△ABC的面積為() A.6B.4 C.3D.1已知拋物線(xiàn)y＝5x2＋(m－1)x＋m與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為EQ\F(49,25)，則m的值為() A.－2 B.12 C.24 D.48若二次函數(shù)y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的圖象全部在x軸的上方，則m的取值范圍是已知拋物線(xiàn)y＝x2-2x-8，（1）求證：該拋物線(xiàn)與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若該拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積。函數(shù)解析式的求法一、已知拋物線(xiàn)上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式。2．已知拋物線(xiàn)過(guò)A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式。二、已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線(xiàn)上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k求解。3．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－6），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，－8），求該二次函數(shù)的解析式。4．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，0）點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。三、已知拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－x1)(x－x2)。5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（－1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值－8，求該二次函數(shù)的解析式。6．已知x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值5，且圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，－3），則該二次函數(shù)的解析式。7．拋物線(xiàn)y=2x2+bx+c與x軸交于（2，0）、（－3，0），則該二次函數(shù)的解析式。8．若拋物線(xiàn)