2022年北京初二（上）期末數(shù)學(xué)試卷匯編：勾股定理

第1頁(yè)/共1頁(yè)2022北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編勾股定理一、單選題1．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）A．194 B．144 C．13 D．122．（2022·北京房山·八年級(jí)期末）如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，它被第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)選定為會(huì)徽，是國(guó)際數(shù)學(xué)界對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)偉大成就的肯定．“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，大正方形邊長(zhǎng)為3，小正方形邊長(zhǎng)為1，那么ab的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·北京順義·八年級(jí)期末）下列以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)＝1，b＝1，c＝ B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝C．a(chǎn)＝3，b＝5，c＝7 D．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝104．（2022·北京懷柔·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)C在x軸上．若ABC為等腰三角形時(shí)，∠ABC=30°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．(-2，0)，(，0)，(-4，0) B．(-2，0)，(，0)，(4+，0)C．(-2，0)，(，0)，(，0) D．(-2，0)，(1，0)，(4-，0)5．（2022·北京平谷·八年級(jí)期末）如圖，五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京通州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．7．（2022·北京延慶·八年級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，68．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）下列四組線段中，能作為直角三角形三條邊的是（）A．5、12、14 B．6、8、9 C．1、2、3 D．3、4、5二、填空題9．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則兩點(diǎn)間的距離是_________．10．（2022·北京平谷·八年級(jí)期末）如圖，將兩個(gè)含30°角的全等的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半如果BC＝2，那么點(diǎn)C到AB的距離為_(kāi)_______．11．（2022·北京石景山·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，以為直角邊作等腰直角，再以為直角邊作等腰直角，…，按照此規(guī)律作圖，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____，的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．12．（2022·北京平谷·八年級(jí)期末）如圖，∠AOB＝90°，按以下步驟作圖：①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C，交OB于D；②分別以C、D為圓心，以大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線OP．如圖，點(diǎn)M在射線OP上，過(guò)M作MH⊥OB于H，若MH＝2，則OM＝________．13．（2022·北京昌平·八年級(jí)期末）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為_(kāi)_______．14．（2022·北京房山·八年級(jí)期末）如今人們鍛煉身體的意識(shí)日漸增強(qiáng)，但是發(fā)現(xiàn)少數(shù)人保護(hù)環(huán)境的意識(shí)仍顯淡薄，應(yīng)提醒注意．下圖是房山某公園的一角，有人為了抄近道而避開(kāi)路的拐角（），于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“捷徑路AC”．已知米，米，他們踩壞了______米的草坪，只為少走_(dá)_____米的路．15．（2022·北京延慶·八年級(jí)期末）小明學(xué)了在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫(huà)數(shù)軸，原點(diǎn)為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點(diǎn)A，然后過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P表示的數(shù)是___．16．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖是我校的長(zhǎng)方形彩色操場(chǎng)，如果一學(xué)生要從角走到角，至少走_(dá)_______米；三、解答題17．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，，，，，，求四邊形的面積．18．（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，中，，，的垂直平分線交于，交于，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．19．（2022·北京順義·八年級(jí)期末）我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)（D與A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；（2）在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上（D與A、B不重合）時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長(zhǎng)為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說(shuō)明理由．20．（2022·北京石景山·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，．AD平分交BC于點(diǎn)D．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)．21．（2022·北京房山·八年級(jí)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出示了一個(gè)題：如圖，在中，，，，的平分線交CB于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．曉涵同學(xué)思索了一會(huì)兒，考慮到角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸這一特點(diǎn)，于是構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，解決了這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)你在曉涵同學(xué)的啟發(fā)下（或者獨(dú)立思考后有自己的想法），解答這道題．22．（2022·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的長(zhǎng)．23．（2022·北京通州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，在中，，與交于點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．24．（2022·北京延慶·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和高BE的交點(diǎn)，AC＝，BD＝2．求線段DF的長(zhǎng)度．25．（2022·北京延慶·八年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上．(1)計(jì)算線段AB的長(zhǎng)度；(2)判斷△ABC的形狀；(3)寫(xiě)出△ABC的面積；(4)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形△A1B1C1．26．（2022·北京昌平·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．（1）當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，①c的取值范圍是________；②若這個(gè)三角形是直角三角形，則c的值是________；（2）當(dāng)三邊長(zhǎng)滿足時(shí)，①若兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的值是________；②在作圖區(qū)內(nèi)，尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法：已知兩邊長(zhǎng)為a，c（a＜c），求作長(zhǎng)度為b的線段（標(biāo)注出相關(guān)線段的長(zhǎng)度）．27．（2022·北京昌平·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C90°．（1）用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法：在邊BC上求作一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到AB的距離等于DC的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的長(zhǎng)．28．（2022·北京昌平·八年級(jí)期末）若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠ABC和∠ADE互余時(shí)，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．①若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”：_______（填“是”或“否”）；②當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，若△ADE的“余高”AH＝，則DE＝_______；③當(dāng)0°＜∠BAC＜180°時(shí)，判斷DE與AH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．①畫(huà)出△OAB與△OCD，使它們互為“底余等腰三角形”；②若△OCD的“余高”長(zhǎng)為a，則點(diǎn)A到BC的距離為_(kāi)______（用含a的式子表示）．

參考答案1．B【分析】如圖，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根據(jù)正方形的面積公式得到a2=21，c2=169，則可計(jì)算出b2=144，從而得到字母B所代表的正方形的面積．【詳解】解：如圖，∵a2+b2=c2，而a2=25，c2=169，∴b2=169-25=144，∴字母B所代表的正方形的面積為144．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理：會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．2．B【分析】根據(jù)大正方形的面積是9，小正方形的面積是1，可得直角三角形的面積，即可求得ab的值．【詳解】解：∵大正方形邊長(zhǎng)為3，小正方形邊長(zhǎng)為1，∴大正方形的面積是9，小正方形的面積是1，∴一個(gè)直角三角形的面積是(9-1)÷4=2，又∵一個(gè)直角三角形的面積是ab=2，∴ab=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了與弦圖有關(guān)的計(jì)算，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系．3．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【詳解】解：、，該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、，該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、，該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、，該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．4．A【分析】分別以AB為腰和底兩種情況結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，0)，∴AO=2，BO=在Rt中，由勾股定理得：①當(dāng)AB為的腰時(shí)，∴;∴②當(dāng)AB為底邊時(shí)，∵∴∴由勾股定理得，∴∴綜上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2，0)，(，0)，(-4，0)故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的定義、勾股定理以及解直角三角形，熟練掌握線等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐一判斷即可．【詳解】A、對(duì)于△ABD，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；B、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；C、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合題意；D、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，其內(nèi)容是：兩條短邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方，則此三角形是直角三角形，為便于利用平方差公式計(jì)算，常常計(jì)算兩條長(zhǎng)邊的平方差即兩條長(zhǎng)邊的和與這兩條長(zhǎng)邊的差的積，若等于最短邊的平方，則此三角形是直角三角形．6．D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)分析解題即可．【詳解】解：A.5，12，13能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B.1，2，能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C.1，，2能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D.，4，5，6不能構(gòu)成直角三角形，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．8．D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】A、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；B、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；C、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；D、，能作為直角三角形三條邊，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．9．5【分析】利用勾股定理即可求解．【詳解】∵A(1,1)，B(4,5)，∴，即AB之間的距離為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用勾股定理求解直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離的知識(shí)，熟練掌握勾股定理并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)題干所給結(jié)論和勾股定理可求得AB和AC，再根據(jù)等面積法即可求得h．【詳解】解：依據(jù)題意可得，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，則，即，解得，即點(diǎn)C到AB的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形，掌握等面積法是解題關(guān)鍵．11．

【分析】根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍分別求解即可．【詳解】解：∵，∴同理可得，?故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍是解題的關(guān)鍵．12．【分析】先根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)OP是∠AOB的角平分線，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：由題意可得OP是∠AOB的角平分線，即∠MOH=∠AOB=45°∵M(jìn)H⊥OB∴∠OMH=45°∴△OMH是等腰直角三角形∴OH=MH=2,∴OM=．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的做法、運(yùn)用勾股定理解直角三角形，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)OP是∠AOB的角平分線是解答本題的關(guān)鍵．13．25【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)正方形的面積公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，，，則所代表的正方形的面積為25，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．14．

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20【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC，計(jì)算AB+BC-AC的值即可．【詳解】∵，，，∴AC==50（米），∴AB+BC-AC=30+40-50=20（米），故答案為：50，20．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，準(zhǔn)確用定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OB的長(zhǎng)度，即點(diǎn)P在數(shù)軸正半軸表示的數(shù)．【詳解】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，∴OB=，∴以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑與正半軸交點(diǎn)P表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用及數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，根據(jù)題意先計(jì)算OB的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．16．100【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理解答即可．【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以AC的長(zhǎng)即為從A到C的最短距離，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得，BC=AD=80米，再根據(jù)勾股定理，得，AC=（米）故答案為100.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．還要熟記6，8，10勾股數(shù)，從而能夠快速進(jìn)行求解．17．36【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，得到四邊形的面積就等于兩個(gè)直角三角形的面積之和.【詳解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴．∵BC=5，BD=12，CD=13，∴，∴△BCD是直角三角形，且斜邊為CD，∴．即四邊形ABCD的面積為36．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.18．(1)8(2)【分析】（1）先求出∠B=∠C=30°，再根據(jù)DE垂直平分AC，可得AD=CD，∠DEC=90°，在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2，可得CD=2DE=4，即AD=CD=4，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=4，即BD可求；（2）在Rt△ABD中利用勾股定理即可求解．（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=，∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠DEC=90°，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=90°，在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2，∴CD=2DE=4，∴AD=CD=4，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=4，∴BD=2AD=8，即BD的值為8；（2）∵∠DAB=90°，∴在Rt△ABD中，BD=8，AD=4，，即AB的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)．19．（1）（2）圖見(jiàn)解析，∠A=45°（3）存在，正度為或．【分析】（1）當(dāng)∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根據(jù)△ACD的正度是，可得△ACD是以AC為底的等腰直角三角形，故可作圖；（3）由△ABC的正度為，周長(zhǎng)為22，求出△ABC的三條邊的長(zhǎng)，然后分兩種情況作圖討論即可求解．【詳解】（1）∵∠A＝90°，則△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC=∴△ABC的正度為故答案為：；（2）∵△ACD的正度是，由（1）可得△ACD是以AC為底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D點(diǎn)，如圖，△ACD即為所求；∵△ACD是以AC為底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度為，∴＝，設(shè)：AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x，∵△ABC的周長(zhǎng)為22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AC＝CD＝6時(shí)，如圖過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝5，∵CD＝6，∴DE＝CD?CE＝1，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝∴△ACD的正度＝；②當(dāng)AD＝CD時(shí)，如圖由①可知：BE＝5，AE＝，∵AD＝CD，∴DE＝CE?CD＝5?AD，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2?DE2＝AE2，即：AD2?（5?AD）2＝11，解得：AD＝，∴△ACD的正度＝．綜上所述存在兩個(gè)點(diǎn)D，使△ABD具有正度．△ABD的正度為或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解正度的含義、熟知勾股定理與等腰三角形的性質(zhì)．20．（1）；（2）3．【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE=DC，利用面積法得到關(guān)于CD的方程，求解即可．【詳解】解：（1）∵AB=10，AC=6，∴BC=；（2）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∴DE=DC，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴×10×DE+×6×CD=×6×8，∴CD=3．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．21．【分析】在AB上截取，連接DE，根據(jù)證明，證得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．【詳解】解：在AB上截取，連接DE∵，，∴，∵AD平分，∴在和中，∴，∴，∵，∴設(shè)，則，∵∴即，解得，∴CD的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．22．（1）見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出∠EAD＝∠ADE即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可．【詳解】解：（1）∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE．（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得．∴．∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC＝．又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF．∴AF＝AC＝3．∴Rt△DEF中，由勾股定理得．設(shè)AE＝x，則DE＝x，，∴，∴x＝2．

∴AE＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是利用角平分線和平行線證明等腰，設(shè)未知數(shù)，依據(jù)勾股定理列方程．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．先根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)勾股定理即可證明．【詳解】證明：（1）如下圖所示，標(biāo)出，，．∵，，∴，．∵和是對(duì)頂角，∴．∴，即．（2）在（1）中圖延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．由（1）可知，即．∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴．∴．∵，即，∴．∴．由（1）可知，即．在和中，，∵∴．∴．∴∵在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理，綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，同時(shí)注意等價(jià)代換思想的使用．24．1【分析】由勾股定理可求CD＝1，由“AAS”可證△BFD≌△ACD，可得CD＝DF＝1．【詳解】解：∵AD和BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．∴∠DAC＝∠DBF．∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°．∴∠ABC＝∠DAB．∴DA＝DB．

在△ADC與△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA）．∴AC＝BF＝．在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，

∴BD2＋DF2＝BF2．∵BD＝2，BF＝，∴DF＝1

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．25．(1)(2)直角三角形(3)5(4)圖形見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）求出BC、AC的長(zhǎng)即可判斷△ABC的形狀；（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面積；（4）分別畫(huà)出A、B、C關(guān)于直線l的軸對(duì)稱點(diǎn)，再依次鏈接即可．（1）（2），∴∴△ABC的形狀是一個(gè)直角三角形（3）由（2）可知△ABC是直角三角形∴（4）圖形如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中作對(duì)稱及利用勾股定理求邊長(zhǎng)，屬于常規(guī)題，解題的關(guān)鍵是熟練在網(wǎng)格中找到線段所在的直角三角形．26．（1）①；②或5；（2）①2或或5；②圖見(jiàn)解析．【分析】（1）①根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；②分斜邊長(zhǎng)為和斜邊長(zhǎng)為兩種情況，分別利用勾股定理即可得；（2）①先根據(jù)已知等式得出，再分中有一個(gè)為3，；中有一個(gè)為4，；中有一個(gè)為3，另一個(gè)為4三種情況，分別代入求解即可得；②先畫(huà)出射線，再在射線上作線段，然后在射線上作線段，最后作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)即可得．【詳解】解：（1）①由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即，故答案為：；②當(dāng)斜邊長(zhǎng)為時(shí)，，當(dāng)斜邊長(zhǎng)為時(shí)，，綜上，的值為或5，故答案為：或5；（2）①由得：，因此，分以下三種情況：當(dāng)中有一個(gè)為3，時(shí)，不妨設(shè)，則，將代入得：，解得，符合題設(shè)，當(dāng)中有一個(gè)為4，時(shí)，不妨設(shè)，則，將代入得：，解得，符合題設(shè)，當(dāng)中有一個(gè)為3，另一個(gè)為4時(shí)，不妨設(shè)，則，將代入得：，解得，符合題設(shè)，綜上，第三邊的值是2或或5，故答案為：2或或5；②由得：，如圖，線段即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的三邊關(guān)系定理、作線段和線段垂直平分線（尺規(guī)作圖）等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）①，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．27．（1）圖見(jiàn)詳解；（2）3.【分析】（1）根據(jù)題意作∠BAC的平分線交B